QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1    
\framebox{A}
La longueur de la courbe $ \gamma : t\in [-2\pi,2\pi[ \mapsto (R \sin t, R \cos t, 1)$ est $ 2\pi R$.
\framebox{B}
La longueur de la courbe $ \gamma : t\in [-2\pi,2\pi[ \mapsto (R \sin t, R \cos t, 2)$ est $ 4\pi R$.
\framebox{C}
La longueur de la courbe $ \gamma : t\in [0,2\pi[ \mapsto (R \sin t, R \cos t, 2t)$ est $ 2\pi \sqrt{R^2 + 2}$.
\framebox{D}
La longueur de la courbe $ \gamma : t\in [0,3[ \mapsto (t,2t^2)$ est $ \frac{sh(2argsh(12))}{16} +\frac{argsh(12)}{8}$.
\framebox{E}
La longueur de la courbe $ \gamma : t\in [0,2\pi[ \mapsto (t-\sin t,1-\cos t)$ est $ 10$.

Question 2   On considère la courbe paramétrée

\begin{displaymath}
\begin{array}{llll}
\gamma :& \mathbb{R}&\to &\mathbb{R}^2\\...
...(t^2,-t^2) \mbox{ si } t < 0 \\
\end{array}\right.
\end{array}\end{displaymath}

 
\framebox{A}
La courbe $ \gamma$ est régulière.
\framebox{B}
La courbe $ \gamma$ admet une tangente en tout point.
\framebox{C}
La courbe $ \gamma$ est de classe $ C^1$.
\framebox{D}
La courbe $ \gamma$ est de classe $ C^2$.
\framebox{E}
La droite tangente au point de paramètre $ \pi$ passe par 0.

Question 3   On considère la courbe paramétrée

\begin{displaymath}
\begin{array}{llll}
\gamma :& \mathbb{R}&\to &\mathbb{R}^2\\
&t&\mapsto &
(t - sh t ch t ,2ch t)\\
\end{array}\end{displaymath}

 
\framebox{A}
Une abscisse curviligne est donnée par $ s(t)=sh^2(t)$ pour tout $ t\in \mathbb{R}$
\framebox{B}
Une abscisse curviligne est donnée par $ s(t)=sh^2(t)$ si $ t\geq 0$ et par $ s(t)=-sh^2(t)$ si $ t<0$.
\framebox{C}
La courbe est de classe $ C^3$
\framebox{D}
La courbe paramétrée $ \gamma$ est régulière.
\framebox{E}
La droite tangente au point de paramètre $ 1$ est horizontale.

Question 4   On considère la courbe $ \gamma: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$ paramétrée par abscisse curviligne régulière de classe $ C^3$.  
\framebox{A}
La courbe est plane si et seulement si sa torsion est nulle.
\framebox{B}
La courbe est inclus dans une sphère si et seulement si sa courbure est constante.
\framebox{C}
La courbe est inclus dans un cercle si et seulement si sa courbure est constante.
\framebox{D}
Si la courbe a un une courbure nulle, alors elle a un point d'inflexion.
\framebox{E}
La longueur de la courbe entre les paramètres $ -10$ et $ 10$ est forcément finie.

Question 5   On considère la courbe paramétrée

\begin{displaymath}
\begin{array}{llll}
\gamma :& \mathbb{R}&\to &\mathbb{R}^2\\
&t&\mapsto &
(t^2-2t^3,5t^3+1)\\
\end{array}\end{displaymath}

 

\framebox{A}
La droite tangent au paramètre $ t=0$ est verticale.
\framebox{B}
La droite tangente au point de paramètre $ t=1$ a pour équation

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-1-4u\\
y=6+15u\\
\end{array}\right.
\quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R}
\end{displaymath}

\framebox{C}
La droite tangente au point de paramètre $ t=1$ a pour équation

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-5-4u\\
y=2+5u\\
\end{array}\right.
\quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R}
\end{displaymath}

\framebox{D}
La droite tangente au point de paramètre $ t=0$ a pour équation

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x=u\\
y=0\\
\end{array}\right.
\quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R}
\end{displaymath}

\framebox{E}
La droite tangente au point de paramètre $ t=1$ a pour équation

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x=u^2+1\\
y=1\\
\end{array}\right.
\quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R}
\end{displaymath}

Question 6    
\framebox{D}
La longueur de la courbe $ \gamma : t\in [0,2[ \mapsto (t,2t^2)$ est $ \frac{sh(2argsh(4))}{16} +\frac{argsh(4)}{8}$.
\framebox{B}
La longueur de la courbe $ \gamma : t\in [0,2[ \mapsto (\cos ^3t,\sin^3t)$ est $ 2\pi$.
\framebox{C}
La courbure de la courbe $ \gamma : t\in [0,2\pi[ \mapsto (R \sin t, R \cos t, 2t)$ est constante égale à $ \frac{R}{4+R^2}$.
\framebox{D}
La torsion de la courbe $ \gamma : t\in [0,2\pi[ \mapsto (R \sin t, R \cos t, 2t)$ est constante égale à $ \frac{R}{4+R^2}$.
\framebox{E}
La développée de la courbe $ \gamma : t\in [0,2\pi[ \mapsto (R \sin t, R \cos t, 2t)$ est une hélice.

Question 7   On considère la surface paramétrée $ f:(x,y)\in \mathbb{R}^2\mapsto (x^2+3,x^2-y^2,5x^2+7)$  
\framebox{A}
Le support de $ f$ est inclus dans un plan affine.
\framebox{B}
Le support de $ f$ est inclus dans un paraboloïde.
\framebox{C}
La surface paramétrée $ f$ est régulière.
\framebox{D}
La surface paramétrée $ f$ admet une reparamétrisation régulière.
\framebox{E}
La courbure de cette surface est non nulle aux points de paramètres $ (x,y)\neq(0,0)$.

Question 8   On considère la surface paramétrée

$\displaystyle f:(x,y)\in \mathbb{R}^2\mapsto (5x-3y^2+3,-x+y^2,3x-4y^2)
$

 
\framebox{A}
L'espace tangent au point de paramètres $ (0,0)$ est donné par

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
3+5u\\
-u\\
3u\\
\end{array}\right.
\quad \mbox{avec }u,v\in \mathbb{R}^2
\end{displaymath}

\framebox{B}
L'espace tangent au point de paramètres $ (1,1)$ est donné par

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
3+5u-6v\\
-u+2v\\
3u-8v\\
\end{array}\right.
\quad \mbox{avec }u,v\in \mathbb{R}^2
\end{displaymath}

\framebox{C}
L'espace tangent au point de paramètres $ (0,1)$ est donné par

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
-6v\\
1+2v\\
-4-8v\\
\end{array}\right.
\quad \mbox{avec }u,v\in \mathbb{R}^2
\end{displaymath}

\framebox{D}
L'espace tangent au point de paramètres $ (1,0)$ est donné par

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
5u-6v\\
-u+2v\\
3u-8v\\
\end{array}\right.
\quad \mbox{avec }u,v\in \mathbb{R}^2
\end{displaymath}

\framebox{E}
La surface est régulière en tout paramètres $ (x,y)\neq(0,0)$.

Question 9   Soit $ f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ la surface paramétrée par $ f(x,y)=(x,y,15x^2+13y^3 + 7)$.  
\framebox{A}
Le plan tangent en $ f(0,0)$ est horizontal.
\framebox{B}
Le plan tangent en $ f(0,0)$ traverse la surface.
\framebox{C}
Les deux courbures principales en $ f(0,0)$ sont strictement positives.
\framebox{D}
La surface est un paraboloïde de révolution.
\framebox{E}
Le plan tangent en $ f(0,0)$ passe par le point $ (0,0,0)$.

Question 10   Soit $ f:\mathbb{R}\times[0,2\pi]\to\mathbb{R}^3$ la surface paramétrée par $ f(t,\theta)=(t\cos \theta,t\sin \theta,t)$.  
\framebox{A}
Le support géométrique est un cylindre.
\framebox{B}
Le support géométrique est un cône.
\framebox{C}
La paramétrisation est régulière en tout point.
\framebox{D}
La paramétrisation admet un espace tangent en $ (0,0,0)$.
\framebox{E}
Il existe une infinité de points réguliers.

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