QCM

Question 1

$\framebox{A}$: La longueur de la courbe $\gamma : t\in [-2\pi,2\pi[ \mapsto (R \sin t, R \cos t, 1)$ est $2\pi R$ .
$\framebox{B}$: La longueur de la courbe $\gamma : t\in [-2\pi,2\pi[ \mapsto (R \sin t, R \cos t, 2)$ est $4\pi R$ .
$\framebox{C}$: La longueur de la courbe $\gamma : t\in [0,2\pi[ \mapsto (R \sin t, R \cos t, 2t)$ est $2\pi \sqrt{R^2 + 2}$ .
$\framebox{D}$: La longueur de la courbe $\gamma : t\in [0,3[ \mapsto (t,2t^2)$ est $\frac{sh(2argsh(12))}{16} +\frac{argsh(12)}{8}$ .
$\framebox{E}$: La longueur de la courbe $\gamma : t\in [0,2\pi[ \mapsto (t-\sin t,1-\cos t)$ est .

Question 2 On considère la courbe paramétrée

$\begin{displaymath} \begin{array}{llll} \gamma :& \mathbb{R}&\to &\mathbb{R}^2\\... ...(t^2,-t^2) \mbox{ si } t < 0 \\ \end{array}\right. \end{array}\end{displaymath}$

$\framebox{A}$: La courbe $\gamma$ est régulière.
$\framebox{B}$: La courbe $\gamma$ admet une tangente en tout point.
$\framebox{C}$: La courbe $\gamma$ est de classe .
$\framebox{D}$: La courbe $\gamma$ est de classe .
$\framebox{E}$: La droite tangente au point de paramètre $\pi$ passe par 0.

Question 3 On considère la courbe paramétrée

$\begin{displaymath} \begin{array}{llll} \gamma :& \mathbb{R}&\to &\mathbb{R}^2\\ &t&\mapsto & (t - sh t ch t ,2ch t)\\ \end{array}\end{displaymath}$

$\framebox{A}$: Une abscisse curviligne est donnée par pour tout $t\in \mathbb{R}$
$\framebox{B}$: Une abscisse curviligne est donnée par si $t\geq 0$ et par si .
$\framebox{C}$: La courbe est de classe
$\framebox{D}$: La courbe paramétrée $\gamma$ est régulière.
$\framebox{E}$: La droite tangente au point de paramètre est horizontale.

Question 4 On considère la courbe $\gamma: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$ paramétrée par abscisse curviligne régulière de classe .

$\framebox{A}$: La courbe est plane si et seulement si sa torsion est nulle.
$\framebox{B}$: La courbe est inclus dans une sphère si et seulement si sa courbure est constante.
$\framebox{C}$: La courbe est inclus dans un cercle si et seulement si sa courbure est constante.
$\framebox{D}$: Si la courbe a un une courbure nulle, alors elle a un point d'inflexion.
$\framebox{E}$: La longueur de la courbe entre les paramètres et est forcément finie.

Question 5 On considère la courbe paramétrée

$\begin{displaymath} \begin{array}{llll} \gamma :& \mathbb{R}&\to &\mathbb{R}^2\\ &t&\mapsto & (t^2-2t^3,5t^3+1)\\ \end{array}\end{displaymath}$

$\framebox{A}$

La droite tangent au paramètre

est verticale.

$\framebox{B}$

La droite tangente au point de paramètre

a pour équation

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x=-1-4u\\ y=6+15u\\ \end{array}\right. \quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R} \end{displaymath}$

$\framebox{C}$

La droite tangente au point de paramètre

a pour équation

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x=-5-4u\\ y=2+5u\\ \end{array}\right. \quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R} \end{displaymath}$

$\framebox{D}$

La droite tangente au point de paramètre

a pour équation

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x=u\\ y=0\\ \end{array}\right. \quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R} \end{displaymath}$

$\framebox{E}$

La droite tangente au point de paramètre

a pour équation

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x=u^2+1\\ y=1\\ \end{array}\right. \quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R} \end{displaymath}$

Question 6

$\framebox{D}$: La longueur de la courbe $\gamma : t\in [0,2[ \mapsto (t,2t^2)$ est $\frac{sh(2argsh(4))}{16} +\frac{argsh(4)}{8}$ .
$\framebox{B}$: La longueur de la courbe $\gamma : t\in [0,2[ \mapsto (\cos ^3t,\sin^3t)$ est $2\pi$ .
$\framebox{C}$: La courbure de la courbe $\gamma : t\in [0,2\pi[ \mapsto (R \sin t, R \cos t, 2t)$ est constante égale à $\frac{R}{4+R^2}$ .
$\framebox{D}$: La torsion de la courbe $\gamma : t\in [0,2\pi[ \mapsto (R \sin t, R \cos t, 2t)$ est constante égale à $\frac{R}{4+R^2}$ .
$\framebox{E}$: La développée de la courbe $\gamma : t\in [0,2\pi[ \mapsto (R \sin t, R \cos t, 2t)$ est une hélice.

Question 7 On considère la surface paramétrée $f:(x,y)\in \mathbb{R}^2\mapsto (x^2+3,x^2-y^2,5x^2+7)$

$\framebox{A}$: Le support de est inclus dans un plan affine.
$\framebox{B}$: Le support de est inclus dans un paraboloïde.
$\framebox{C}$: La surface paramétrée est régulière.
$\framebox{D}$: La surface paramétrée admet une reparamétrisation régulière.
$\framebox{E}$: La courbure de cette surface est non nulle aux points de paramètres $(x,y)\neq(0,0)$ .

Question 8 On considère la surface paramétrée

$\displaystyle f:(x,y)\in \mathbb{R}^2\mapsto (5x-3y^2+3,-x+y^2,3x-4y^2)$

$\framebox{A}$

L'espace tangent au point de paramètres

est donné par

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} 3+5u\\ -u\\ 3u\\ \end{array}\right. \quad \mbox{avec }u,v\in \mathbb{R}^2 \end{displaymath}$

$\framebox{B}$

L'espace tangent au point de paramètres

est donné par

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} 3+5u-6v\\ -u+2v\\ 3u-8v\\ \end{array}\right. \quad \mbox{avec }u,v\in \mathbb{R}^2 \end{displaymath}$

$\framebox{C}$

L'espace tangent au point de paramètres

est donné par

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} -6v\\ 1+2v\\ -4-8v\\ \end{array}\right. \quad \mbox{avec }u,v\in \mathbb{R}^2 \end{displaymath}$

$\framebox{D}$

L'espace tangent au point de paramètres

est donné par

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} 5u-6v\\ -u+2v\\ 3u-8v\\ \end{array}\right. \quad \mbox{avec }u,v\in \mathbb{R}^2 \end{displaymath}$

$\framebox{E}$

La surface est régulière en tout paramètres $(x,y)\neq(0,0)$ .

Question 9 Soit $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ la surface paramétrée par .

$\framebox{A}$: Le plan tangent en est horizontal.
$\framebox{B}$: Le plan tangent en traverse la surface.
$\framebox{C}$: Les deux courbures principales en sont strictement positives.
$\framebox{D}$: La surface est un paraboloïde de révolution.
$\framebox{E}$: Le plan tangent en passe par le point .

Question 10 Soit $f:\mathbb{R}\times[0,2\pi]\to\mathbb{R}^3$ la surface paramétrée par $f(t,\theta)=(t\cos \theta,t\sin \theta,t)$ .

$\framebox{A}$: Le support géométrique est un cylindre.
$\framebox{B}$: Le support géométrique est un cône.
$\framebox{C}$: La paramétrisation est régulière en tout point.
$\framebox{D}$: La paramétrisation admet un espace tangent en .
$\framebox{E}$: Il existe une infinité de points réguliers.