Courbes paramétrées : généralités et étude métrique

Intuitivement, une courbe dans l'espace de dimension $d$ est un objet qui peut être décrit par un point qui évolue au cours du temps. Autrement dit, il suffit d'un paramètre pour le décrire, le temps. On dit d'un tel objet qu'il est $1$-dimensionnel. Le fait de décrire une courbe par un paramètre qui évolue revient à considérer une application $\gamma:I\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}^d$. Quand le paramètre $t$ parcourt l'intervalle $I$, le point $\gamma(t)$ parcourt la courbe. Une telle application $\gamma$ est une courbe paramétrée. On se concentre ici sur l'étude des courbes paramétrées de $\mathbb{R}^2$ et de $\mathbb{R}^3$.

Définition des courbes paramétrées

Définition 1   Soit $d\in\{2,3\}$. On appelle courbe paramétrée de classe $C^k$ de $\mathbb{R}^d$ une application de classe $C^k$

$$\gamma:I\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}^d,$$

où $I$ est un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$.

L'ensemble $\mathcal{C}=\gamma(I)=\{\gamma(t), t \in I\}$ est appelé le support géométrique de $\gamma: I \to \mathbb{R}^d$. On dit que $\mathcal{C}$ est une courbe géométrique et que $\gamma$ est une paramétrisation de $\mathcal{C}$. On peut remarquer que la courbe paramétrée comporte plus d'informations que la courbe géométrique : quand $t$ parcourt l'intervalle $I$, le point $\gamma(t)$ parcourt $\mathcal{C}$. Autrement dit, la courbe paramétrée donne non seulement le support géométrique, mais aussi une façon de le parcourir. Dans la suite, quand on considèrera la restriction d'une courbe $\gamma$ à un intervalle fermé $[a,b]\subset I$, on écrira $\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^d$. Si $d=2$, on dit que la courbe est plane.

Figure 1: Courbe paramétrée

Exemple : Le support géométrique de la courbe paramétrée $\gamma: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$ donnée par $\gamma(t)=(R\cos(t),R\sin(t),t)$ est une hélice (Figure 2).

Figure 2: Hélice

Prenons une route allant de Grenoble à Chamrousse et modélisons la par une courbe géométrique $\mathcal{C}$ ! Prenons maintenant une voiture qui part de Grenoble à un instant $t=0$ et arrive à Chamrousse à un instant $t=45$ minutes. Le trajet de cette voiture est naturellement modélisé par la courbe paramétrée $\gamma : [0,45]\to \mathcal{C}\subset \mathbb{R}^3$ qui à chaque instant $t$, donne la position $\gamma(t)$ de la voiture. Prenons maintenant un vélo qui va parcourir ce même trajet mais en mettant bien entendu un peu plus de temps, par exemple $180$ minutes. Cela nous définit une autre paramétrisation $\widetilde{\gamma} : [0,180] \to \mathcal{C}\subset \mathbb{R}^3$ qui est différente de $\gamma$, mais qui a exactement le même support géométrique $\mathcal{C}$.

De même, pour prendre un exemple "plus mathématique", considérons la courbe paramétrée $\gamma : [0,1] \to \mathbb{R}^2$ donnée par $\gamma(t)=(x(t),y(t)) = (Rt,R\sqrt{1-t^2})$. De l'équation $x^2(t)+y^2(t)=R^2$, on déduit que $\gamma(t)$ appartient au cercle de rayon $R$ et de centre $(0,0)$. Plus précisément, le support géométrique de $\gamma$ est le quart de cercle entre les points $(R,0)$ et $(0,R)$. Or ce support géométrique admet aussi une autre paramétrisation $\widetilde{\gamma} : [0,{\pi \over 2}]\to \mathbb{R}^2$ donnée par $\widetilde{\gamma}(\theta)=(R\cos(\theta),R\sin(\theta))$. Ainsi, une même courbe géométrique peut avoir plusieurs paramétrisations.

Reparamétrisation

Il est possible de reparamétrer une courbe. Pour cela, on rappelle la notion de difféomorphisme.

Définition 2   Soient $U$ et $V$ deux domaines ouverts de $\mathbb{R}^d$.
Une application $f:U \to V$ est un $C^1$ difféomorphisme si :

• $f$ est une bijection de $U$ dans $V$.
• $f$ et $f^{-1}$ sont toutes les deux de classe $C^1$.

Prenons maintenant une courbe paramétrée $\gamma: I \to \mathbb{R}^d$ de classe $C^1$ et un difféomorphisme $\varphi : J \to I$ (avec $J$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$). Alors $\gamma \circ \varphi : J \to \mathbb{R}^d$ est une courbe paramétrée qui a exactement le même support géométrique que $\gamma$. On dit alors que $\varphi$ est un changement de variable admissible et que $\gamma \circ \varphi$ est une reparamétrisation de $\gamma$.

Courbes régulières, espace tangent

Intuitivement, la tangente en un point $\gamma(t_0)$ à une courbe paramétrée $\gamma: I \to \mathbb{R}^d$ est la limite des droites passant par $\gamma(t)$ et $\gamma(t_0)$ quand $t$ tend vers $t_0$. Cela peut se formaliser de la manière suivante :

Définition 3   On dit que $\overrightarrow{v_0}$ est est un vecteur tangent à la courbe $\gamma$ en $\gamma(t_0)$ si

$$\overrightarrow{\gamma(t_0)\gamma(t)} = \lambda(t) \overrightarrow{v_0} + \lambda(t) \epsilon(t),$$   avec $$\lambda(t)\in \mathbb{R}$$ et $$\lim_ {t \to t_0}\epsilon(t)=(0,0).$$

La droite passant par $\gamma(t_0)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{v_0}$ est alors appelée la droite tangente à $\gamma$ en $\gamma(t_0)$.

La proposition suivante indique qu'une dérivée non nulle de la paramétrisation donne un vecteur tangent.

Proposition 1   Soit $\gamma: I \to \mathbb{R}^d$ une courbe paramétrée de classe $C^1$. Si $\gamma'(t_0)\neq 0$, alors $\gamma'(t_0)$ est un vecteur tangent à la courbe $\gamma$ en $\gamma(t_0)$.

Démonstration : Comme $\gamma$ est de classe $C^1$, on a :

$$\gamma(t) = \gamma(t_0) + \gamma'(t_0)(t-t_0) + (t-t_0)\epsilon(t),$$    avec $$\lim_ {t \to t_0}\epsilon(t)=(0,0),$$

ce qui permet de conclure.$\square$

Figure 3: Tangente à une courbe paramétrée

Définition 4   Une courbe paramétrée $\gamma: I \to \mathbb{R}^d$ de classe $C^1$ est dite régulière si pour tout $t \in I$ $\gamma'(t)\neq 0$.

Remarques :

• Si $\gamma: I \to \mathbb{R}^d$ est régulière et si $\widetilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi$ est une reparamétrisation de $\gamma$, alors $\widetilde{\gamma}$ est aussi régulière. En effet, comme $\varphi : J \to I$ est un $C^1$-difféomorphisme, on a
  $$\forall t \in J, \widetilde{\gamma}'(t) = \gamma'(\varphi(t)) \varphi'(t) \neq 0.$$

• Une courbe paramétrée régulière admet une tangente en tout point. La réciproque n'est pas vraie. Considérons la courbe paramétrée suivante :
  $$\gamma(t)=(t^2,t^4)$$    avec $$t\in \mathbb{R}.$$
  La courbe géométrique associée est la parabole d'équation $y=x^2$ qui a un vecteur tangent horizontal au point $\gamma(0)$. Pourtant $\gamma'(0)$ est nul !

Longueur d'une courbe

Comment mesurer la longueur d'une courbe ? Une façon naturelle de procéder consiste à approcher cette longueur par la longueur d'une ligne polygonale dont les sommets sont sur la courbe. La longueur de la ligne polygonale est clairement inférieure à celle de la courbe, mais on imagine bien que si on rajoute des sommets en diminuant la distance entre deux sommets consécutifs, la longueur de la ligne polygonale va tendre vers la longueur de la courbe. La définition de la longueur d'une courbe repose sur cette idée (Figure 4):

Définition 5   La longueur d'une courbe paramétrée $\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^d$ est donnée par :

$$l(\gamma) = \sup_{a=t_0<t_1<...<t_n=b}\sum_{k=0}^{n-1}\left\Vert\overrightarrow{\gamma(t_i) \gamma(t_{i+1})} \right\Vert,$$

où le supremum est pris sur toutes les subdivisions $a=t_0<t_1<...<t_n=b$ de l'intervalle $[a,b]$, $n$ étant quelconque.
De plus, si $l(\gamma)$ est fini, on dit que la courbe $\gamma$ est rectifiable.

Remarque :

La longueur ne dépend pas de la paramétrisation.

Figure 4: Longueur d'une courbe paramétrée $\gamma : I \to \mathbb{R}^2$. Si on augmente la densité des sommets de la ligne polygonale $P_n$ le long de la courbe, alors la longueur de $P_n$ approche celle de la courbe.

La définition précédente est géométrique et correspond à l'intuition que l'on peut avoir de la longueur. Ceci dit, elle n'est pas forcément pratique pour effectuer des calculs. Le théorème suivant exprime la longueur d'une courbe paramétrée par une formule intégrale.

Théorème 1   Soit $\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^3$ une courbe paramétrée de classe $C^1$. Alors $\gamma$ est rectifiable et on a :

$$l(\gamma) = \int_a^b \Vert\gamma'(t)\Vert dt.$$

Démonstration : Considérons une subdivision $a=t_0<t_1<...<t_n=b$ de l'intervalle $[a,b]$. Nous avons pour tout $i\in \{0,..n-1\}$ :

$$\left\Vert \gamma(t_{i+1}) - \gamma(t_i) \right\Vert = \left\Vert... ...dt \right\Vert \leq \int_{t_i}^{t_{i+1}} \left\Vert \gamma'(t) \right\Vert dt.$$

Cela implique en sommant sur $i$ :

$$\sum_{k=0}^{n-1}\left\Vert\overrightarrow{\gamma(t_i) \gamma(t_{i+1})} \right\Vert \leq \int_a^b \Vert\gamma'(t) \Vert dt.$$

En passant maintenant au supremum sur toutes les subdivisions, on obtient que $\gamma$ est rectifiable et vérifie :

$$l(\gamma) \leq \int_a^b \Vert\gamma'(t) \Vert dt.$$

Montrons maintenant l'égalité souhaitée. Pour cela, introduisons la fonction $\phi:[a,b]\to \mathbb{R}$ qui donne la longueur de la courbe entre les paramètres $a$ et $t$ :

$$\forall t \in [a,b], \phi(t) = l\left(\gamma_{\vert [a,t]}\right).$$

Prenons $t \in [a,b]$ et $h$ vérifiant $t+h \in [a,b]$. La longueur de la courbe entre les paramètres $t$ et $t+h$ étant plus longue que la longueur du segment reliant $\gamma(t)$ à $\gamma(t+h)$, on a :

$$\frac{1}{\vert h\vert} \left\Vert \overrightarrow{\gamma(t)\gamma(t+h)}\right\Vert \leq \frac{\phi(t+h)-\phi(t)}{h}.$$

On en déduit l'encadrement suivant :

$$\frac{1}{\vert h\vert} \left\Vert \overrightarrow{\gamma(t)\gamma... ...i(t)}{h} \leq \frac{1}{h} \int_{t}^{t+h} \left\Vert \gamma'(u) \right\Vert du.$$

Les membres de droite et de gauche ont la même limite $\Vert\gamma'(t)\Vert$, ce qui implique que $\phi$ est dérivable en $t$ et que l'on a $\phi'(t)=\Vert\gamma'(t)\Vert$.$\square$

Exemple :La longueur de l'hélice paramétrée par $\gamma(t)=(R\cos(t),R\sin(t),at)$ avec $\gamma: [0,2\pi] \to \mathbb{R}^3$ est donnée par :

$$l(\gamma)=\int_0^{2\pi}\Vert\gamma'(t)\Vert dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{R^2+a^2} dt = 2\pi \sqrt{R^2+a^2}.$$

Remarquons au passage que si $a=0$, on retrouve que la longueur d'un cercle de rayon $R$ vaut $2\pi R$.

Paramétrisation par abscisse curviligne

Maintenant que l'on sait calculer la longueur d'une courbe, il est possible de paramétrer une courbe par sa longueur. Pour expliquer ce que représente cette paramétrisation, on peut reprendre l'exemple de la courbe $\mathcal{C}$ qui modélise la route Grenoble-Chamrousse. On a déjà donné deux paramétrisations possibles de cette courbe, mais il est aussi possible d'en définir une troisième en repérant chaque point de $\mathcal{C}$ par sa distance au point d'origine, à savoir Grenoble. La longueur du trajet étant de $30$ kilomètres, cela nous définit naturellement la courbe paramétrée $\gamma : [0,30]\to \mathbb{R}^3$ qui à chaque longueur $s\in[0,30]$ associe le point $\gamma(s)$ sur la courbe $\mathcal{C}$ qui est à une distance $s$ du point de départ. Cette paramétrisation est dite normale ou par abscisse curviligne. Elle est assez naturelle dans le sens ou elle ne dépend pas de la vitesse d'un véhicule qui parcourt cette courbe (plus exactement, cette vitesse est constante). Formellement, on définit :

Définition 6   Une paramétrisation $\gamma: I \to \mathbb{R}^d$ d'une courbe géométrique est dite normale (ou par abscisse curviligne) si pour tout $[t_1,t_2] \subset I$ la longueur de la courbe géométrique entre les points $\gamma(t_1)$ et $\gamma(t_2)$ est exactement $t_2-t_1$ :

$$l(\gamma_{\vert[t_1,t_2]}) = t_2 -t_1.$$

En pratique, on n'a pas forcément une paramétrisation normale. Si on veut en avoir une, il faut reparamétrer. Pour cela, on a besoin de la notion d'abscisse curviligne.

Définition 7   Soit $\gamma: I \to \mathbb{R}^d$ une courbe paramétrée de classe $C^1$ et $t_0\in I$. L'abscisse curviligne à partir du point de paramètre $t_0$ est la fonction $s_{t_0}:I\to \mathbb{R}$ donnée par :

$$\forall t \in I\quad s_{t_0}(t) = \int_{t_0}^t \Vert\gamma'(u)\Vert du.$$

Géométriquement, $s_{t_0}(t)$ est la longueur de la courbe géométrique $\mathcal{C}=\gamma(I)$ entre les points $\gamma(t_0)$ et $\gamma(t)$. Le résultat suivant nous indique que toute courbe paramétrée régulière de classe $C^1$ peut être reparamétrée par abscisse curviligne.

Théorème 2   Soient $\gamma: I \to \mathbb{R}^d$ une courbe paramétrée régulière de classe $C^1$ et $t_0\in I$. Alors l'abscisse curviligne $s_{t_0}^{-1}:J\to I$ est un changement de variable admissible et

$$\widetilde{\gamma} = \gamma \circ s_{t_0}^{-1} : J \to \mathbb{R}^d$$

est une paramétrisation normale qui a le même support géométrique que $\gamma$.

Démonstration : Admise.$\square$

Corollaire 1   Soient $\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^d$ une courbe paramétrée régulière de classe $C^1$. On note $l=l(\gamma)$ la longueur de $\gamma$. Alors la courbe

$$\widetilde{\gamma} = \gamma \circ s_{a}^{-1} : [0,l] \to \mathbb{R}^d$$

est une reparamétrisation normale de $\gamma$.

Intuitivement, si on "déroule" une courbe géométrique $\mathcal{C}$ de longueur $l$ le long d'une droite, on obtient un segment qui est aussi de longueur $l$ et qui peut être identifié à l'intervalle $I=[0,l]$. La correspondance point par point entre $I$ et $\mathcal{C}$ donne naturellement une paramétrisation normale $\widetilde{\gamma} : [0,l] \to\mathcal{C}$. Par convention, on note souvent $s$ le paramètre d'une courbe paramétrée par abscisse curviligne et on note souvent $t$ le paramètre dans le cas d'une paramétrisation quelconque.

Proposition 2   Soit $\gamma: I \to \mathbb{R}^d$ une courbe paramétrée de classe $C^1$. Alors on a :

   la paramétrisation $$\gamma$$    est normale$$\quad \Leftrightarrow \quad \forall s \in I \left\Vert \gamma'(s) \right\Vert =1.$$

Démonstration : Si la paramétrisation est normale, alors l'abscisse curviligne à partir du point $t_0$ de $\gamma$ vérifie pour tout $t \in I$ :

$$s_{t_0}(t) = \int_{t_0}^t \Vert\gamma'(u)\Vert du = t - t_0.$$

En dérivant, cela donne pour tout $t \in I$ : $s'_{t_0}(t) = \Vert\gamma'(t)\Vert = 1$.
Réciproquement, si pour tout $s\in [I$ on a $\Vert\gamma'(s)\Vert=1$, alors pour tout $[t_1,t_2] \subset I$ :

$$l(\gamma_{\vert[t_1,t_2]}) = \int_{t_1}^{t_2} \Vert\gamma'(s)\Vert ds = t_2 -t_1.$$

$\square$

Exemple :On considère la courbe paramétrée $\gamma:]0,1[\to\mathbb{R}^2$ définie par $\gamma(t)=(t,\sqrt{1-t^2})$. L'abscisse curviligne $s_{0}:]0,1[\to \mathbb{R}$ est donnée par :

$$s_0(t)=\int_0^t \Vert\gamma'(u)\Vert du =\int_0^t \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du =\arcsin(t).$$

La fonction $\arcsin:[0,1[\to]0,\pi/2[$ est une bijection. La reparamétrisation $\widetilde{\gamma}=\gamma \circ s_0^{-1}:]0,\pi/2[\to\mathbb{R}^2$ est donnée par :

$$\widetilde{\gamma}(s)=\gamma(\sin s) = \left(\sin s,\sqrt{1-\sin^2(s)}\right) = (\sin(s),\cos(s)).$$

On remarque que cela correspond à une paramétrisation du quart de cercle de rayon $1$ entre les points de coordonnées $(0,1)$ et $(1,0)$. Le paramètre $s$ correspond à l'angle entre $\overrightarrow{0\gamma(s)}$ et le vecteur de coordonnées $(0,1)$.