Techniques de calcul des primitives

La première technique de calcul consiste à utiliser la linéarité pour séparer l'intégrale d'une somme en une somme d'intégrales. L'exemple le plus simple est celui des polynômes.

$$\int_c^x (t^3+2t^2+4t+2) \mathrm{d}t = \frac{1}{4}x^4 +\frac{2}{3}x^3+2x^2+2x +C\;.$$

On peut aussi intégrer des polynômes en $\sin(x)$ et $\cos(x)$, ou bien $\sinh(x)$ et $\cosh(x)$. On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle ou complexe).

$${\sin(x)= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}}$$	$${\cos(x)= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}}$$
$${\sinh(x)= \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}}$$	$${\cosh(x)= \frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}}$$

Le principe est le suivant : tout polynôme en $\sin(x)$ et $\cos(x)$ est une combinaison linéaire de termes de la forme $\sin^n(x)\cos^m(x)$, qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons linéaires de termes en $\sin(kx)$ et $\cos(kx)$, dont on connaît une primitive. Voici un exemple.

$$\sin^4(x)\cos^6(x) = \frac{1}{2^{10}} (\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})^4 (\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})^6$$

$$= \frac{1}{1024} (\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x})^4 (\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})^2$$

$$= \frac{1}{1024} (\mathrm{e}^{8\mathrm{i}x} - 4\mathrm{e}^{4\mathrm... ...e}^{-8\mathrm{i}x}) (\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x} +2 + \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x})$$

$$= \frac{1}{1024} (\mathrm{e}^{10\mathrm{i}x} - 4\mathrm{e}^{6\mathr... ...hrm{e}^{2\mathrm{i}x}- 4\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-6\mathrm{i}x}$$

$$\hspace*{2cm}+ 2\mathrm{e}^{8\mathrm{i}x} - 8\mathrm{e}^{4\mathrm{i}x} + 12- 8\mathrm{e}^{-4\mathrm{i}x} + 2\mathrm{e}^{-8\mathrm{i}x}$$

$$\hspace*{2cm}+\mathrm{e}^{6\mathrm{i}x} - 4\mathrm{e}^{2\mathrm{i... ...e}^{-2\mathrm{i}x} - 4\mathrm{e}^{-6\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-10\mathrm{i}x})$$

$$= \frac{1}{512} \big(6 +2 \cos(2x) - 8 \cos(4x) - 3\cos(6x) + 2\cos(8x)+ \cos(10x)\big).$$

D'où une primitive de $\sin^4(x)\cos^6(x)$ :

$$\frac{3x}{256} + \frac{\sin(2x)}{512} - \frac{\sin(4x)}{256} - \frac{\sin(6x)}{1024} + \frac{\sin(8x)}{2048} + \frac{\sin(10x)}{5120}\;.$$

Observons que les questions de parité permettent de prévoir a priori que la linéarisation ne contiendra que des $\cos(kx)$. En effet, $x\mapsto\sin(x)$ est une fonction impaire et $x\mapsto \cos(x)$ une fonction paire. Donc si on remplace $x$ par $-x$, $\sin^n(x)\cos^m(x)$ sera inchangé si $n$ est pair, changé en son opposé si $n$ est impair. Dans le premier cas, la linéarisation ne contiendra que des cosinus, dans le second cas, elle ne contiendra que des sinus. La même technique s'utilise aussi pour les cosinus et sinus hyperboliques.

Comme autre application de l'exponentielle complexe, signalons la possibilité d'intégrer des expressions du type $\mathrm{e}^{\lambda x}\cos(\omega x)$ ou $\mathrm{e}^{\lambda x}\sin(\omega x)$, en les exprimant comme parties réelles ou imaginaires d'exponentielles complexes, que l'on peut intégrer formellement comme des exponentielles réelles. Voici un exemple.

$$\mathrm{e}^{3x}\cos(2x) =$$   Re$$(\exp((3+2\mathrm{i})x))\;.$$

Or une primitive (formelle) de $\exp((3+2\mathrm{i})x)$ est :

$$\frac{1}{3+2\mathrm{i}}\exp((3+2\mathrm{i})x) = \frac{3-2\mathrm{i}}{13}\mathrm{e}^{3x}(\cos(2x)+\mathrm{i}\sin(2x))\;.$$

La partie réelle de cette expression est :

$$\frac{1}{13}\mathrm{e}^{3x}(3\cos(2x)+2\sin(2x))\;,$$

qui est donc une primitive de $\mathrm{e}^{3x}\cos(2x)$.

$$\int_c^x \mathrm{e}^{3t}\cos(2t) \mathrm{d}t = \frac{1}{13}\mathrm{e}^{3x}(3\cos(2x)+2\sin(2x)) + C\;.$$

La seconde technique de calcul à connaître est l'intégration par parties :

$$\int_{a}^{b} u(x) v'(x) dx = \Big[u(x) v(x)\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) v(x) dx\;.$$

Il faut penser à une intégration par parties quand l'un des facteurs de la fonction à intégrer a une dérivée plus simple, essentiellement un polynôme (dériver diminue le degré), $\ln(x)$ (dérivée $1/x$), $\arcsin(x)$ (dérivée $1/\sqrt{1-x^2}$) ou $\arctan(x)$ (dérivée $1/(1+x^2)$). Encore faut-il connaître une primitive de l'autre facteur. Par exemple, pour $\lambda\neq 0$ :

$$\int_c^x t \mathrm{e}^{\lambda t} \mathrm{d}t = \Big[ t\cdot \f... ...a} x \mathrm{e}^{\lambda x} -\frac{1}{\lambda^2} \mathrm{e}^{\lambda x} +C\;.$$

$${u(t) = t}$$	$${u'(t) = 1}$$
$${v'(t) = \mathrm{e}^{\lambda t}}$$	$${v(t) = \frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda t}}$$

La technique de calcul d'intégrales (ou de primitives) la plus importante est le changement de variable.

Théorème 4   Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et $\phi$ une fonction dérivable, de dérivée continue sur $]a,b[$. Alors :

$$\int_a^b f(t) \mathrm{d}t = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(\phi^{-1}(u)) (\phi^{-1})'(u) \mathrm{d}u\;.$$

Il est fortement déconseillé de retenir la formule par cur. Un changement de variable doit se penser de la manière suivante.

1. Je souhaite remplacer $t$ par $u=\phi(t)$.
2. J'exprime $t$ en fonction de $u$ : $t=\phi^{-1}(u)$ (je m'assure que $\phi$ est bien une bijection).
3. J'exprime $\mathrm{d}t$ en fonction de $u$ et $\mathrm{d}u$ en dérivant l'expression de $t$ fonction de $u$ : $\mathrm{d}t = (\phi^{-1})'(u) \mathrm{d}u$.
4. J'ajuste les bornes de l'intervalle d'intégration : si $t$ varie de $a$ à $b$, alors $u=\phi(t)$ varie de $\phi(a)$ à $\phi(b)$. (Cet ajustement des bornes est la raison pour laquelle il est conseillé de calculer une primitive comme une intégrale de $c$ à $x$).
5. Je remplace $t$ et $\mathrm{d}t$ par leurs valeurs en fonction de $u$ et $\mathrm{d}u$.

Comme exemple, nous allons traiter trois primitives d'un type fréquent, comportant la racine carrée d'un trinôme. Voici la première.

$$\int_c^x \frac{1}{\sqrt{t^2 + 2t +5}} \mathrm{d}t\;.$$

Notons que la fonction à intégrer est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier. La première étape consiste à mettre le trinôme sous forme canonique, de manière à faire apparaître l'une des trois expressions $\sqrt{u^2 +1}$, $\sqrt{u^2 -1}$ ou $\sqrt{1-u^2}$. Nous sommes ici dans le premier cas.

$$\int_c^x \frac{1}{\sqrt{t^2 + 2t +5}} \mathrm{d}t = \int_c^x \f... ...= \int_c^x \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(\frac{t + 1}{2})^2 +1}} \mathrm{d}t\;.$$

Nous devons donc poser :

$$u = \frac{t+1}{2}$$   soit$$\quad t = 2u-1$$   et$$\quad \mathrm{d}t=2\mathrm{d}u\;.$$

On obtient :

$$\int_c^x \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(\frac{t + 1}{2})^2 +1}} \mathrm{d}t = \int_{\frac{c+1}{2}}^{\frac{x+1}{2}}\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{u^2+1}} 2\mathrm{d}u$$

$$= \int_{\frac{c+1}{2}}^{\frac{x+1}{2}} \frac{1}{\sqrt{u^2+1}} \mathrm{d}u$$

$$= \Big[\ln(u+\sqrt{u^2+1})\Big]_{\frac{c+1}{2}}^{\frac{x+1}{2}}$$

$$= \ln({\scriptstyle \frac{x+1}{2}+\sqrt{(\frac{x+1}{2})^2+1}})+C$$

$$= \ln({\scriptstyle \frac{x+1+\sqrt{x^2+2x+5}}{2}})+C$$

$$= \ln(x+1+\sqrt{x^2+2x+5})+C^*\;.$$

Voici une situation proche, mais qui du fait des signes rencontrés dans le trinôme, conduit à des résultats différents.

$$\int_c^x \frac{1}{\sqrt{t^2 - 2t - 3}} \mathrm{d}t\;.$$

La fonction à intégrer est définie sur $]-\infty,-1[\cup]3,+\infty[$. Nous devons donc supposer que l'intervalle $[c,x]$ est soit inclus dans $]-\infty,-1[$, soit dans $]3,+\infty[$. La mise du trinôme sous forme canonique donne :

$$\int_c^x \frac{1}{\sqrt{t^2 - 2t -3}} \mathrm{d}t = \int_c^x \f... ... = \int_c^x \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(\frac{t - 1}{2})^2-1}} \mathrm{d}t\;.$$

Nous devons donc poser :

$$u = \frac{t-1}{2}$$   soit$$\quad t = 2u+1$$   et$$\quad \mathrm{d}t=2\mathrm{d}u\;.$$

On obtient :

$$\int_c^x \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(\frac{t - 1}{2})^2-1}} \mathrm{d}t = \int_{\frac{c-1}{2}}^{\frac{x-1}{2}}\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{u^2-1}} 2\mathrm{d}u$$

$$= \int_{\frac{c-1}{2}}^{\frac{x-1}{2}} \frac{1}{\sqrt{u^2-1}} \mathrm{d}u$$

$$= \Big[\ln\vert u+\sqrt{u^2-1}\vert\Big]_{\frac{c-1}{2}}^{\frac{x-1}{2}}$$

$$= \ln\vert{\scriptstyle \frac{x-1}{2}+\sqrt{(\frac{x-1}{2})^2-1}}\vert+C$$

$$= \ln\vert{\scriptstyle \frac{x-1+\sqrt{x^2-2x-3}}{2}}\vert+C$$

$$= \ln\vert x-1+\sqrt{x^2-2x-3}\vert+C^*\;.$$

Comme prévu, les primitives ne sont définies que pour $x<-1$ ou $x>3$. Remarquez que le signe de $x-1+\sqrt{x^2-2x-3}$ dépend de l'intervalle sur lequel on se trouve : il est négatif sur $]-\infty,-1[$, positif sur $]3,+\infty[$. Voici le dernier cas que l'on peut rencontrer selon le signe du trinôme.

$$\int_c^x \frac{1}{\sqrt{-t^2 + 2t + 3}} \mathrm{d}t\;.$$

La fonction à intégrer n'est définie que sur l'intervalle $]\!-\!1,3[$. Nous devons donc supposer que l'intervalle $[c,x]$ est inclus dans $]-1,3[$. La mise du trinôme sous forme canonique donne :

$$\int_c^x \frac{1}{\sqrt{-t^2 + 2t +3}} \mathrm{d}t = \int_c^x \... ... = \int_c^x \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{t - 1}{2})^2}} \mathrm{d}t\;.$$

Nous devons donc poser :

$$u = \frac{t-1}{2}$$   soit$$\quad t = 2u+1$$   et$$\quad \mathrm{d}t=2\mathrm{d}u\;.$$

On obtient :

$$\int_c^x \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{t - 1}{2})^2}} \mathrm{d}t = \int_{\frac{c-1}{2}}^{\frac{x-1}{2}}\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} 2\mathrm{d}u$$

$$= \int_{\frac{c-1}{2}}^{\frac{x-1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \mathrm{d}u$$

$$= \Big[\arcsin(u)\Big]_{\frac{c-1}{2}}^{\frac{x-1}{2}}$$

$$= \arcsin\left(\frac{x-1}{2}\right)+C\;.$$

Comme prévu, les primitives ne seront définies que pour $x\in ]\!-\!1,3[$. Nous verrons plus loin d'autres applications classiques des changements de variable. Il n'est pas toujours facile de deviner le bon changement de variable. Pour cela, il faut se laisser guider par l'expression de $f$ : si elle contient une fonction $\psi(t)$ et sa dérivée $\psi'(t)$, il pourra être judicieux de poser $u=\psi(t)$. Dans le cas le plus favorable, la fonction se met sous la forme $f(t)=g'(\psi(t))\psi'(t)$, qui est la dérivée de $g(\psi(t))$. Il suffira donc de connaître une primitive de $g$. Ceci ne relève pas directement du théorème 4, et s'applique d'ailleurs même si $\psi$ n'est pas monotone. Voici un exemple, avec $\psi(t)=\mathrm{e}^{t^2}$, et $\psi'(t)=2t\mathrm{e}^{t^2}$.

$$\int_c^x \frac{2t}{1+\mathrm{e}^{-t^2}} \mathrm{d}t = \int_c^x \... ...thrm{d}t= \Big[\ln(1+\mathrm{e}^{t^2})\Big]_c^x= \ln(1+\mathrm{e}^{x^2})+C\;.$$