Primitives et intégrales

Rappelons tout d'abord la définition.

Définition 1   On appelle primitive d'une fonction $f$, définie sur un intervalle $]a,b[$, toute fonction dérivable sur $]a,b[$, dont la dérivée coïncide avec $f$ sur $]a,b[$.

Etant données deux primitives de $f$, leur différence doit avoir une dérivée nulle, et donc être constante. Deux primitives de la même fonction diffèrent donc par une constante. Pour spécifier une primitive particulière, il suffit de fixer sa valeur en un point. En général, on considère la primitive qui s'annule en un certain point. Elle s'écrit comme une intégrale, grâce au théorème suivant, que nous admettrons.

Théorème 3   Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$, et $c$ un point de l'intervalle $[a,b]$. On considère la fonction $F_c(x)$, qui à $x\in[a,b]$ associe :

$$F_c(x) = \int_c^x f(t) \mathrm{d}t\;.$$

Alors $F_c$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule au point $c$.

Observons l'écriture $\int_c^x f(t) \mathrm{d}t$, dans laquelle les deux lettres $t$ et $x$ jouent des rôles totalement différents. La lettre $x$ désigne une borne de l'intervalle d'intégration. Si on la remplace par un réel, par exemple $\sqrt{2}$, on obtiendra un résultat réel : la valeur de la fonction $F_c$ au point $\sqrt{2}$. La variable d'intégration $t$ est muette. On ne peut pas la remplacer par un réel. Par contre, n'importe quelle autre lettre (sauf $c$ et $x$) pourrait jouer le même rôle. Dans l'écriture des primitives, on évitera toujours de noter avec la même lettre la variable d'intégration et une des bornes de l'intervalle. Observons que n'importe quelle primitive peut être utilisée pour calculer une intégrale :

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F_a(b) = F_c(b)-F_c(a)\;,$$

par la relation de Chasles. L'intégrale de $f$ est donc un accroissement de primitive, qui ne dépend pas de la primitive choisie. On note :

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F_c(b)-F_c(a) = \Big[ F_c(x) \Big]_a^b\;.$$

Il est commode, en particulier pour les changements de variable, de conserver des bornes d'intégration, même quand on ne calcule que des primitives. C'est pourquoi nous continuerons de noter $${\int_c^x f(t) \mathrm{d}t}$$ la primitive de $f$ qui s'annule en $c$, même s'il est superflu de fixer $c$. De notre point de vue, il n'y a donc aucune différence entre les calculs de primitives et les calculs d'intégrales. Il est courant d'exprimer les primitives des fonctions usuelles «à une constante près». Par exemple, les primitives de $\cos(x)$ sont toutes les fonctions de la forme $\sin(x)+C$, où $C$ est une constante réelle. Nous écrirons :

$$\int_c^x \cos(t) \mathrm{d}t = \Big[ \sin(t) \Big]_c^x = \sin(x)-\sin(c) = \sin(x)+C\;.$$

Or quand $c$ parcourt $\mathbb{R}$, $\sin(c)$ ne prend que les valeurs comprises entre $-1$ et $1$, tandis que $C$ désigne une constante réelle quelconque. En pratique, il suffit de trouver une primitive particulière : la variable $c$ ne sera qu'un artifice d'écriture. Nous supposerons toujours que $c$ et $x$ sont telles que la fonction soit définie et continue sur l'intervalle $[c,x]$. Par exemple :

$$\int_c^x \frac{1}{t} \mathrm{d}t = \Big[ \ln\vert t\vert\Big]_c^x = \ln\vert x\vert+C\;,$$

ce qui suppose que l'intervalle $[c,x]$ ne contient pas 0. Dans cette écriture, $C$ désigne en fait une fonction, qui est constante sur chaque intervalle où la fonction à intégrer est définie et continue. L'ensemble des primitives de la fonction $x\mapsto 1/x$ est l'ensemble des fonctions $f$ telles que :

$$f(x) = \left\{\begin{array}{lcl} \ln(x)+C_1&\mbox{si}&x>0\\ \ln(-x)+C_2&\mbox{si}&x<0\;,\\ \end{array}\right.$$

où $C_1$ et $C_2$ sont deux réels quelconques. En pratique, pour calculer une primitive d'une fonction donnée, on la ramène à un catalogue de primitives usuelles. Ces primitives, que l'on doit connaître, sont rassemblées dans le tableau ci-dessous. Attention : les intervalles de définition ne sont pas précisés.

Fonction	Une primitive
$${x^a}$$ ( $a\in\mathbb{R} ,\;a\neq -1$)	$${\frac{x^{a+1}}{a+1}}$$
$${\frac{1}{x-a}}$$	$${\ln\vert x-a\vert}$$
$\mathrm{e}^{\lambda x}$ ( $\lambda\neq 0$)	$${\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}}$$
$\cos(\omega x)$ ( $\omega\neq 0$)	$${\frac{1}{\omega}\sin(\omega x)}$$
$\sin(\omega x)$ ( $\omega\neq 0$)	$${-\frac{1}{\omega}\cos(\omega x)}$$
$${\frac{1}{\cos^{2}(x)}=1+\tan^2(x)}$$	$\tan(x)$
$${\frac{1}{x^2+1}}$$	$\arctan(x)$
$\cosh(\omega x)$ ( $\omega\neq 0$)	$${\frac{1}{\omega}\sinh(\omega x)}$$
$\sinh(\omega x)$ ( $\omega\neq 0$)	$${\frac{1}{\omega}\cosh(\omega x)}$$
$${\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$$	$${\ln\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)}$$
$${\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}$$	$${\ln\left\vert x + \sqrt{x^2-1}\right\vert}$$
$${\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$	$\arcsin(x)$

Nous rappelons dans la section suivante les techniques de base pour le calcul des primitives, lorsqu'elles peuvent s'exprimer à l'aide des fonctions classiques.