Propriétés des intégrales

Toutes les fonctions considérées sont supposées continues, ou continues par morceaux, sur leur intervalle d'intégration, et sont donc intégrables. Nous commençons par résumer les principales propriétés des intégrales.

Théorème 1    

1. Relation de Chasles :
   $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x +\int_b^c f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x\;.$$

2. Linéarité :
   $$\int_a^b (\lambda f(x)+\mu g(x)) \mathrm{d}x = \lambda \int_a^bf(x) \mathrm{d}x + \mu\int_a^b g(x) \mathrm{d}x\;.$$

3. Monotonie :
      Si $$\forall x\in [a,b] ,\; f(x)\leq g(x)$$    alors $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x) \mathrm{d}x\;.$$

La relation de Chasles permet d'étendre la définition de l'intégrale au cas où la fonction $f$ n'est continue que par morceaux sur l'intervalle d'intégration. On intègre séparément chacun des morceaux et on ajoute ensuite les intégrales obtenues. Considérons par exemple la fonction $f$ qui vaut $x$ si $x\in [0,1]$ et $\frac{1}{2}$ si $x\in ]1,2]$.

Figure 1: Exemple de fonction discontinue.

Son intégrale sur l'intervalle $[0,2]$ vaut :

$$\int_0^2 f(x) \mathrm{d}x = \int_0^1 x \mathrm{d}x +\int_1^2\frac{1}{2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\;.$$

À propos de cet exemple, il est conseillé de ne pas perdre de vue l'interprétation géométrique d'une intégrale : l'intégrale d'une fonction constante positive est la surface d'un rectangle, l'intégrale d'une fonction affine positive ou nulle (du type $x\mapsto \alpha x+\beta$) est la surface d'un triangle si la fonction s'annule sur l'une des deux bornes, la surface d'un trapèze dans le cas général.

La relation de Chasles reste vraie même si les bornes des intervalles d'intégration ne sont pas dans le bon ordre, ce qui peut arriver après un changement de variable. On convient de changer le signe de l'intégrale quand on échange les bornes. Cette convention est cohérente avec le fait que l'intégrale sur un intervalle de longueur nulle vaut nécessairement 0.

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x +\int_b^a f(x) \mathrm{d}x =\int_a^a f(x) \mathrm{d}x = 0\;.$$

La propriété 2 du théorème (linéarité), dit que l'intégrale est une application linéaire, de l'espace vectoriel des fonctions intégrables, dans $\mathbb{R}$. On l'utilisera souvent, soit pour mettre en facteur une constante devant l'intégrale, soit pour séparer le calcul en deux intégrales plus simples. Par exemple :

$$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2(x) \mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\p... ...}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \mathrm{d}x = \frac{\pi}{8} +\frac{1}{4}\;.$$

On peut utiliser la monotonie pour vérifier certains calculs. Par exemple si une fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, son intégrale doit être positive. L'intégrale d'une fonction positive et non identiquement nulle est même strictement positive : on utilise souvent ce résultat sous la forme suivante.

Proposition 1   Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Si l'intégrale de $\vert f\vert$ sur $[a,b]$ est nulle, alors $f$ est identiquement nulle.

$$\int_a^b \vert f(x)\vert \mathrm{d}x =0 \Longrightarrow f(x)=0 ,\;\forall x\in[a,b]\;.$$

L'intégrale peut être encadrée à l'aide du minimum et du maximum de $f$ sur l'intervalle $[a,b]$ :

$$(b-a)\inf_{x\in[a,b]}f(x) \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \leq (b-a)\sup_{x\in[a,b]}f(x) \;.$$

Si on divise ces inégalités par la longueur de l'intervalle, on obtient :

$$\inf_{x\in[a,b]}f(x) \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \leq \sup_{x\in[a,b]}f(x) \;.$$

Il faut comprendre $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ comme la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle. Le théorème de la moyenne dit que cette valeur moyenne est atteinte sur l'intervalle.

Théorème 2   Si $f$ est continue sur $[a,b]$, il existe $c\in [a,b]$ tel que :

$$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = f(c)\;.$$

Figure 2: Illustration du théorème de la moyenne.