Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soient $f$ une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$.

1. Qu'appelle-t-on primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?
2. Soit $a$ un réel. Soit $F$ une primitive de $f$. Exprimer $F(x)$ à l'aide de $F(a)$ et $${\int_a^x f(t) \mathrm{d}t}$$.
3. On supose qu'il existe $x>a$ tel que $F(x)=F(a)$. Montrer que $f$ s'annule au moins une fois sur l'intervalle $[a,x]$.
4. En utilisant une intégration par parties, exprimer $${\int_a^x tf(t) \mathrm{d}t}$$ à l'aide de $F$.
5. Exprimer $${\int_a^x \mathrm{e}^{-t}f(\mathrm{e}^{-t}) \mathrm{d}t}$$ à l'aide de $F$.

Exercice 1 : On rappelle les définitions suivantes du cosinus et du sinus hyperboliques.

$$\cosh(x)=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}$$   et$$\quad \sinh(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}\;.$$

1. Vérifier que :
   $$\forall x\in\mathbb{R}\;,\quad \int_0^x \cosh(t) \mathrm{d}t =\sinh(x)$$   et$$\quad \int_0^x \sinh(t) \mathrm{d}t=\cosh(x)-1\;.$$

2. Démontrer la formule suivante.
   $$\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad \cosh^{2n+1}(x)=\frac{1}{2^{2n}} \sum_{j=0}^{n}\binom{2n+1}{j}\cosh((2n+1-2j)x)\;.$$

3. Démontrer la formule suivante.
   $$\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad \sinh^{2n+1}(x)=\frac{1}{2^{2n}} \sum_{j=0}^{n}\binom{2n+1}{j}(-1)^j\sinh((2n+1-2j)x)\;.$$

4. Calculer $${\int_0^1}\cosh^5(t) \mathrm{d}t$$ en fonction de $\sinh(5)$, $\sinh(3)$ et $\sinh(1)$.
5. Calculer $${\int_0^1}\sinh^5(t) \mathrm{d}t$$ en fonction de $\cosh(5)$, $\cosh(3)$ et $\cosh(1)$.

Exercice 2 : Soit $n\in\mathbb{N}$ un entier. On note $I_n$ l'intégrale suivante.

$$I_n=\int_0^1 \frac{1}{n!}(1-t)^n\mathrm{e}^{t} \mathrm{d}t\;.$$

1. Démontrer que pour tout $n\geq 1$,
   $$\int_0^1 (1-t)^n\mathrm{e}^{t} \mathrm{d}t< \int_0^1 (1-t)^{n-1}\mathrm{e}^{t} \mathrm{d}t\;.$$
   En déduire que la suite $I_n$ est strictement décroissante.
2. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$,
   $$0<I_n<\frac{\mathrm{e}}{(n+1)!}\;.$$

3. Calculer $I_0$.
4. Calculer $I_1$.
5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout $n\geq 1$ :
   $$I_n=I_{n-1}-\frac{1}{n!}\;.$$

6. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
   $$I_n=\mathrm{e}-\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\;.$$

7. Déduire des questions précédentes l'encadrement suivant pour $\mathrm{e}$.
   $$\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}<\mathrm{e}<\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}+\frac{\mathrm{e}}{(n+1)!}\;.$$

Exercice 3 : On pose $${I=\int_1^2\frac{1}{2+\sqrt{t(4-t)}} \mathrm{d}t}$$.

1. Montrer que $${I=\int_{\pi/2}^{2\pi/3} \frac{\sin(u)}{1+\sin(u)} \mathrm{d}u}$$.
2. Montrer que $${I=\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{4v}{(1+v)^2(1+v^2)} \mathrm{d}v}$$.
3. En déduire que $${I=\frac{\pi}{6}-2+\sqrt{3}}$$.