QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1    

Il existe des primitives de $x\mapsto\sin(\frac{1}{x})$ définies sur l'intervalle $[-1,1]$.

Il existe des primitives de $x\mapsto\sin(\sqrt{\vert x\vert})$ définies sur l'intervalle $[-1,1]$.

Il existe des primitives de $x\mapsto \displaystyle{\frac{1}{\sin(x)}}$ définies sur l'intervalle $[-1,1]$.

L'intégrale de $x\mapsto x\sin^2(x)$ sur $[-\pi,\pi]$ est nulle.

L'intégrale de $x\mapsto x\sin(x)$ sur $[-\pi,\pi]$ est nulle.

Question 2   On note $f$ la fonction $f$ qui à $t\in \mathbb{R}$ associe $f(t)=\vert t\vert$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on pose $g(x)=\displaystyle{\int_{-x}^{x}f(t) \mathrm{d}t}$.

La fonction $g$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

$g(x)=2\displaystyle{\int_0^xf(t) \mathrm{d}t}$.

$g(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

La fonction $g$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

Si $F$ est une primitive de $f$, alors $g(x)=2F(x)$.

Question 3    

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\sin^6(x)$ est une combinaison linéaire de $1$, $\cos(2x)$, $\cos(4x)$ et $\cos(6x)$.

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\cos^6(x)$ est une combinaison linéaire de $\cos(2x)$, $\cos(4x)$ et $\cos(6x)$.

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\sin^4(x)\cos^4(x)$ est une combinaison linéaire de $\cos(2x)$, $\cos(4x)$ et $\cos(6x)$.

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\sin^5(x)$ est une combinaison linéaire de $\sin(x)$, $\sin(3x)$ et $\sin(5x)$.

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\sin^3(x)\cos^2(x)$ est une combinaison linéaire de $\sin(x)$ et $\sin(3x)$.

Question 4   Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On pose : $I_n= \displaystyle{\int_0^1\big(t(1-t)\big)^n \mathrm{d}t}$.

$I_n = \displaystyle{-\int_0^1 \frac{n}{n+1}t^{n-1}(1-t)^{n+1} \mathrm{d}t}$.

$I_n = \displaystyle{\int_0^1 \frac{n}{n+1}t^{n+1}(1-t)^{n-1} \mathrm{d}t}$.

$I_n = 1-\displaystyle{\int_0^1 \frac{n}{n+1}t^{n+1}(1-t)^{n-1} \mathrm{d}t}$.

$I_n = \displaystyle{\int_0^1 n(1-2t)\big(t(1-t)\big)^{n-1} \mathrm{d}t}$.

$I_n = \displaystyle{\int_0^1 n(2t-1)t^{n}(1-t)^{n-1} \mathrm{d}t}$.

Question 5   On note $f$ la fonction qui à $t\in [1,2]$, associe $f(t)=\sqrt{(t-1)(2-t)}$. On pose: $I=\displaystyle{\int_1^2 f(t)dt}$.

Le changement de variable $t\mapsto u=(t-1)(2-t)$ est bijectif sur $[1,2]$.

$${I\leq \sup\{f(x) ,\;x\in[1,2]\}}$$ .

Le changement de variable $t\mapsto u=3-t$ donne $${\int_1^2 tf(t) \mathrm{d}t=3I - \int_1^2 tf(t) \mathrm{d}t}$$.

Le changement de variable $t\mapsto v=2t-3$ donne $${I=\frac{1}{2}\int_{-1}^1\sqrt{1-v^2} dv}$$ .

$f$ admet une primitive définie sur $\mathbb{R}$.

Question 6   On note $f$ la fonction qui à $t\in \mathbb{R}$, associe $${f(t)=\frac{t}{t^2+1}}$$.

$${\int_0^2f(t) \mathrm{d}t=\int_0^{\sqrt{2}}\frac{1}{1+u} \mathrm{d}u}$$.

$${\int_0^2 f(t) \mathrm{d}t > \int_0^2 t \mathrm{d}t}$$.

$${\int_0^2f(t) \mathrm{d}t=\ln(5)}$$.

Soit $g$ une fonction définie et continue sur $[0,2]$ telle que $${\int_0^2\vert g(t)\vert f(t) \mathrm{d}t=0}$$. Alors pour tout $t\in [0,2]$, $g(t)=0$.

$${\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{n^2+k^2}}$$ tend vers $${\int_0^2f(t) \mathrm{d}t}$$ quand $n$ tend vers l'infini.

Question 7   On note $f$ la fonction qui à $t\in \mathbb{R}$, associe $${f(t)=\frac{1}{(t^2+4)^2}}$$. On pose $${I=\int_0^2f(t) \mathrm{d}t}$$.

$f$ possède une primitive définie sur $\mathbb{R}$.

$I=\displaystyle{\frac{1}{8}\left(\int_0^2\frac{1}{t^2+4} \mathrm{d}t+\left[\frac{t}{t^2+4}\right]_0^2 \right)}$ .

$I> \frac{2}{4^2}$.

$${I=\int_0^1\frac{1}{(1+u^2)^2} \mathrm{d}u}$$.

$${I=\int_0^{\mathrm{e}^2}\frac{1}{\mathrm{e}^v+4\mathrm{e}^{-v}} dv}$$.

Question 8   On note $f$ la fonction qui à $t\in \mathbb{R}$, associe $${f(t)=\frac{t^2+1}{(t+3)(t^2-4)}}$$.

$f$ a une primitive définie sur $\mathbb{R}$.

La décomposition en éléments simples de $f$ a la forme suivante:
$${f(t)=\frac{A}{t+3}+\frac{B}{t+2}+\frac{C}{t-2}}$$ .

Une primitive de $f(t)$ est $\ln(\vert(t+3)(t+2)^5(2-t)\vert).$

$${\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t= \int_0^{+\infty}\frac{e^{-3u}+e^{-u}}{(e^{-u}+3)(4-e^{-2u})} \mathrm{d}u}$$.

$${\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+\cos^2(u))\sin(u)}{(3+\cos( u))(\cos^2( u)-4)} \mathrm{d}u}$$.

Question 9   On note $f$ la fonction qui à $t\in \mathbb{R}$, associe $${f(t)=\frac{1}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}}}$$.

$f$ a une primitive définie sur $\mathbb{R}$.

La fonction qui à $x$ associe $\ln(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x})$ est une primitive de $f$.

Si $F$ est une primitive de $${\frac{1}{u+1/u}}$$, alors $F(\mathrm{e}^x)$ est une primitive de $f$.

La fonction qui à $x$ associe $\pi/4-\arctan(\mathrm{e}^{-x})$ est une primitive de $f$.

La primitive de $f$ qui s'annule en 0 est $x\mapsto \pi/4-\arctan(\mathrm{e}^{x})$.

Question 10   Soient $a$ et $b$ deux réels. On note $f$ la fonction qui à $t$ associe $${\frac{1}{\sqrt{at^2+b}}}$$.

Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, il existe une constante $C$ telle que $x\mapsto \arcsin(x\sqrt{a/b})$ soit une primitive de $f$.

Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, il existe une constante $C$ telle que $x\mapsto \sqrt{ax^2+b}$ soit une primitive de $t\mapsto tf(t)$.

Si $a$ est strictement négatif et $b$ strictement positif, il existe une constante $C$ telle que $x\mapsto C\arcsin(x\sqrt{a/b})$ soit une primitive de $f$.

Si $a$ est strictement positif et $b$ strictement négatif, il existe une constante $C$ telle que $x\mapsto C\arcsin(\sqrt{-ax/b})$ soit une primitive de $f$.

$f$ admet une primitive définie sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $a$ et $b$ sont de même signe.