Réduction des équations

On a vu à la section 1.1 que toute conique admettait, dans un certain repère orthonormal, une équation polynomiale du second degré. Cette propriété ne dépend en fait pas du repère : si une courbe admet, dans un certain repère cartésien du plan (non nécessairement orthonormé) une équation du second degré, alors elle admet, dans tout repère cartésien du plan, orthonormé ou pas, une équation du second degré.

Soit en effet $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$, avec $a,b,c$ non tous nuls, l'équation d'une telle courbe $\Gamma$ dans un certain repère cartésien $\mathcal R=(O,\vec{i},\vec{j})$ et soit $\mathcal R'= (O',\vec{i}',\vec{j}')$ un autre repère cartésien du plan. Notons $X$ (resp.$X'$) le vecteur colonne des coordonnées $(x,y)$ (resp. $(x',y')$) d'un point $M$ dans le repère $\mathcal R$ (resp. $\mathcal R'$), $A$ la matrice $\begin{pmatrix}a&b\\ b&c \end{pmatrix}$, $B$ le vecteur colonne de composantes $(d,e)$, $P$ la matrice de passage de la base $(\vec{i},\vec{j})$ à la base $(\vec{i}',\vec{j}')$ et $C$ le vecteur colonne des coordonnées de $O'$ dans le repère $\mathcal R$.

L'équation de $\Gamma$ dans le repère $\mathcal R$ s'écrit alors $\;{\vphantom{X}}^t \hspace{-0.15em}{X}A X+ 2 \;{\vphantom{B}}^t \hspace{-0.15em}{B} X +f=0$. Mais les coordonnées de $M$ dans le repère $\mathcal R'$ sont données par $X=PX'+C$. Il en résulte que l'équation de $\Gamma$ dans le repère $\mathcal R'$ s'écrit $\;{\vphantom{(PX'+C)}}^t \hspace{-0.15em}{(PX'+C)}A(PX'+C)+2\;{\vphantom{B}}^t \hspace{-0.15em}{B}(PX'+C)+f=0$, soit encore $\;{\vphantom{X'}}^t \hspace{-0.15em}{X'}A'X'+2\;{\vphantom{B'}}^t \hspace{-0.15em}{B'} X'+f'=0$, où $A'=\;{\vphantom{P}}^t \hspace{-0.15em}{P}A P$, $B'=\;{\vphantom{P}}^t \hspace{-0.15em}{P}(B+AC)$, $f'=f+\;{\vphantom{C}}^t \hspace{-0.15em}{C}AC+2\;{\vphantom{B}}^t \hspace{-0.15em}{B}C$. Cette équation est encore polynomiale du second degré en $x',y'$.

Le but de cette section est de montrer que, réciproquement, toute courbe plane admettant une équation du second degré est une conique (éventuellement dégénérée) et de ramener son équation, par un changement de repère approprié, à une des formes canoniques obtenues à la section 1.1.

On considère donc dans toute cette section une courbe plane $\Gamma$ (éventuellement vide ou réduite à un point) admettant, dans un certain repère orthonormal $\mathcal R=(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan, une équation du second degré, de la forme :

$$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0 \, ,$$

où $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ sont 6 réels quelconques, avec $(a,b,c)\not = (0,0,0)$.

En introduisant comme précédemment la matrice $A=\begin{pmatrix}a&b\\ b&c \end{pmatrix}$ et les matrices colonnes $B=\begin{pmatrix}d\\ e \end{pmatrix}$ et $X=\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}$, l'équation de $\Gamma$ dans le repère $\mathcal R$ s'écrit

$$\;{\vphantom{X}}^t \hspace{-0.15em}{X}A X+ 2 \;{\vphantom{B}}^t \hspace{-0.15em}{B} X +f=0 \; .$$

La matrice $A$ étant symétrique réelle, il existe une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale réelle $D=\begin{pmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \mu \end{pmatrix}$ (où $\lambda$ et $\mu$ sont les valeurs propres de $A$) telles que $A=PDP^{-1}=PD\;{\vphantom{P}}^t \hspace{-0.15em}{P}$, d'où $D=\;{\vphantom{P}}^t \hspace{-0.15em}{P}AP$. La matrice $P$ est la matrice de passage de la base $(\vec{i},\vec{j})$ à une base orthonormée $(\vec{i}',\vec{j}')$, où les vecteurs $\vec{i}'$ et $\vec{j}'$ ont pour composantes dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ les vecteurs colonnes de la matrice $P$. Notons $(x',y')$ les coordonnées dans le repère $\mathcal R'=(O,\vec{i}',\vec{j}')$ du point de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ et $X'=\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}$. L'équation de $\Gamma$ dans le repère $\mathcal R'$ s'écrit donc

$$\;{\vphantom{X'}}^t \hspace{-0.15em}{X'}DX'+2\;{\vphantom{B'}}^t \hspace{-0.15em}{B'}X'+f=0 \; ,$$

soit encore

$$\lambda x'^2+\mu y'^2+2d'x'+2e'y'+f=0 \; ,$$

où $B'=\begin{pmatrix} d'\\ e' \end{pmatrix}=\;{\vphantom{P}}^t \hspace{-0.15em}{P}B$. Les matrices $A$ et $D$ étant semblables, on a

$$ac-b^2=\mathrm{det}(A)=\mathrm{det}(D)=\lambda \mu \; .$$

Premier cas : $ac-b^2>0$.

Dans ce cas, $\lambda$ et $\mu$ sont de même signe ; on peut donc, quitte à multiplier l'équation par -1, les supposer tous deux positifs et poser $\lambda=\alpha^2$, $\mu=\beta^2$ pour des réels positifs $\alpha$ et $\beta$. L'équation de $\Gamma$ dans le repère $\mathcal R'$ s'écrit alors

$$\alpha^2 \left( x'+\dfrac{d'}{\alpha^2}\right)^2 + \beta^2 \left( y'+\dfrac{e'}{\beta^2}\right)^2 +f'=0 \; ,$$

où $f'=f-\dfrac{d'^2}{\alpha^2}-\dfrac{e'^2}{\beta^2}$.

Soit $O'$ le point de coordonnées $\left( -\dfrac{d'}{\alpha^2}, -\dfrac{e'}{\beta^2}\right)$ dans le repère $\mathcal R'$, $\mathcal R''$ le repère $(O',\vec{i}',\vec{j}')$ et $(x'',y'')$ les coordonnées dans $\mathcal R''$ d'un point de coordonnées $(x',y')$ dans $\mathcal R'$, de sorte que $x''=x'+\dfrac{d'}{\alpha^2}$, $y'=y''+\dfrac{e'}{\beta^2}$. L'équation de $\Gamma$ dans $\mathcal R''$ s'écrit donc

$$\alpha^2 x''^2+\beta^2 y''^2+f'=0 \; .$$

Trois cas se présentent :

• si $f'>0$, $\Gamma$ est vide ;
• si $f'=0$, $\Gamma$ est réduite au point $O'$ ;
• si $f'<0$, l'équation de $\Gamma$ s'écrit, en posant $a'=\dfrac{\sqrt{-f'}}{\alpha}$, $b'=\dfrac{\sqrt{-f'}}{\beta}$, sous la forme
  $$\dfrac{x''^2}{a'^2}+\dfrac{y''^2}{b'^2}=1 \; .$$
  On reconnaît :
  • si $a'>b'$, une ellipse de grand axe l'axe $O'x''$ ;
  • si $b'>a'$, une ellipse de grand axe l'axe $O'y''$ ;
  • si $a'=b'$, un cercle de centre $O'$.

On dit, dans tous ces cas, que $\Gamma$ est du genre ellipse.

Deuxième cas : $ac-b^2<0$.

Les deux réels $\lambda$ et $\mu$ sont de signes contraires ; on peut donc, quitte à multiplier l'équation par -1, supposer $\lambda >0$ et $\mu <0$ et poser $\lambda=\alpha^2$, $\mu=-\beta^2$ pour des réels positifs $\alpha$ et $\beta$. L'équation de $\Gamma$ dans le repère $\mathcal R'$ s'écrit alors

$$\alpha^2 \left( x'+\dfrac{d'}{\alpha^2}\right)^2 - \beta^2 \left( y'-\dfrac{e'}{\beta^2}\right)^2 +f'=0 \; ,$$

où $f'=f-\dfrac{d'^2}{\alpha^2}+\dfrac{e'^2}{\beta^2}$.

Soit $O'$ le point de coordonnées $\left( -\dfrac{d'}{\alpha^2}, \dfrac{e'}{\beta^2}\right)$ dans le repère $\mathcal R'$, $\mathcal R''$ le repère $(O',\vec{i}',\vec{j}')$ et $(x'',y'')$ les coordonnées dans $\mathcal R''$ d'un point de coordonnées $(x',y')$ dans $\mathcal R'$, de sorte que $x''=x'+\dfrac{d'}{\alpha^2}$, $y''=y'-\dfrac{e'}{\beta^2}$. L'équation de $\Gamma$ dans $\mathcal R''$ s'écrit donc

$$\alpha^2 x''^2-\beta^2 y''^2+f'=0 \; .$$

Trois cas se présentent :

• si $f'=0$ l'équation s'écrit sous la forme $\alpha^2 x''^2-\beta^2 y''^2=0$, soit encore $(\alpha x''-\beta y'')(\alpha x''+\beta y'')=0$ : $\Gamma$ est donc réunion des deux droites sécantes en $O'$ d'équations $\alpha x''-\beta y''=0$ et $\alpha x''+\beta y''=0$ ;
• si $f'<0$ , l'équation de $\Gamma$ s'écrit, en posant $a'=\dfrac{\sqrt{-f'}}{\alpha}$, $b'=\dfrac{\sqrt{-f'}}{\beta}$, sous la forme
  $$\dfrac{x''^2}{a'^2}-\dfrac{y''^2}{b'^2}=1 \; ;$$
  $\Gamma$ est donc une hyperbole d'axe focal $O'x''$ ;
• si $f'>0$ , l'équation de $\Gamma$ s'écrit, en posant $a'=\dfrac{\sqrt{f'}}{\alpha}$, $b'=\dfrac{\sqrt{f'}}{\beta}$, sous la forme
  $$-\dfrac{x''^2}{a'^2}+\dfrac{y''^2}{b'^2}=1 \; ;$$
  $\Gamma$ est donc une hyperbole d'axe focal $O'y''$.

On dit, dans tous ces cas, que $\Gamma$ est du genre hyperbole.

Troisième cas : $ac-b^2=0$.

On a alors $\lambda \mu=0$, mais un seul des deux nombres $\lambda$ et $\mu$ est nul, sinon la matrice $A$ serait nulle et l'équation de $\Gamma$ ne serait plus du second degré. On peut donc supposer $\lambda=0$, $\mu\not=0$. L'équation de $\Gamma$ dans le repère $\mathcal R'$ s'écrit $\mu y'^2+2d'x'+2e'y'+f=0$, soit encore

$$\left(y'+\dfrac{e'}{\mu}\right)^2+2d''x'+f'=0$$

en posant $d''=\dfrac{d'}{\mu}$, $f'=\dfrac{f}{\mu}-\dfrac{e'^2}{\mu^2}$.

Quatre cas se présentent :

• si $d''=0$ et $f'>0$, $\Gamma$ est vide ;
• si $d''=0$ et $f'=0$, l'équation de $\Gamma$ s'écrit $\left(y'+\dfrac{e'}{\mu}\right)^2=0$ ; $\Gamma$ est donc une droite double ;
• si $d''=0$ et $f'<0$, $\Gamma$ est réunion des deux droites parallèles d'équations $y'+\dfrac{e'}{\mu}=\pm \sqrt{-f'}$ ;
• si $d''\not = 0$, soit $O'$ le point de coordonnées $\left( -\dfrac{f'}{2d''}, -\dfrac{e'}{\mu} \right)$ dans le repère $\mathcal R'$, $\mathcal R''$ le repère $(O',\vec{i}',\vec{j}')$ et $(x'',y'')$ les coordonnées dans $\mathcal R''$ d'un point de coordonnées $(x',y')$ dans $\mathcal R'$, de sorte que $x''=x'+\dfrac{f'}{2d''}$, $y''=y'+\dfrac{e'}{\mu}$ ; l'équation de $\Gamma$ dans $\mathcal R''$ s'écrit $y''^2+2d'' x''=0$ ; $\Gamma$ est donc une parabole d'axe focal $O'x''$.

On dit, dans tous ces cas, que $\Gamma$ est du genre parabole.

En résumé, on voit que toute courbe admettant une équation polynomiale du second degré est soit une conique ou un cercle, soit vide ou réduite à un point, soit réunion de deux droites, éventuellement confondues. Dans ce dernier cas, l'équation de $\Gamma$ se décompose en produit de deux équations du premier degré : on dit que la conique est dégénérée.

Tableau 2: Réduction des équations

$ac-b^2$	Genre	Nature
$>0$	Ellipse	- Ellipse - Cercle - Point - Ensemble vide
$<0$	Hyperbole	- Hyperbole - Deux droites sécantes
$=0$	Parabole	- Parabole - Deux droites parallèles - Une droite double - Ensemble vide

Recherche d'un centre

En pratique, il est souvent intéressant de commencer par chercher si la conique possède un centre de symétrie et de déterminer, s'il existe, ce centre. Un point $O'$, de coordonnées $(x_0,y_0)$ dans $\mathcal R$, est centre de symétrie de $\Gamma$ si et seulement si l'équation de $\Gamma$ dans le repère $\mathcal R'=(O',\vec{i},\vec{j})$ ne comporte pas de termes du premier degré. Les coordonnées $(x',y')$ dans $\mathcal R'$ du point $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans $\mathcal R$ sont données par $x=x'+x_0$, $y=y'+y_0$. L'équation de $\Gamma$ dans $\mathcal R'$ s'écrit donc :

$$a(x'+x_0)^2+2b(x'+x_0)(y'+y_0)+c(y'+y_0)^2+2d(x'+x_0)+2e(y'+y_0)+f=0 \, .$$

Cette équation ne comporte pas de termes du premier degré si et seulement si :

$$\begin{cases} ax_0+by_0+d=0\\ bx_0+cy_0+e=0\, . \end{cases}$$

Ces équations (qui s'obtiennent en annulant les deux dérivées partielles par rapport à $x$ et à $y$ de l'équation de $\Gamma$) sont en général celles de deux droites. Trois cas sont alors possibles :

1. si $b^2-ac\not =0$, ces droites sont sécantes, et $\Gamma$ admet, si elle n'est pas vide, un centre de symétrie et un seul ;
2. si ces droites sont parallèles et distinctes, $\Gamma$ n'admet pas de centre de symétrie ;
3. si ces droites sont confondues, tout point de cette droite est centre de symétrie pour $\Gamma$.

Dans le cas 1, $\Gamma$ est appelée conique à centre. Dans les cas 2 et 3, $\Gamma$ est du genre parabole ; une parabole n'admet pas de centre de symétrie, mais une droite double ou la réunion de deux droites parallèles admettent une droite de centres de symétrie.

Cette situation se retrouve dans le cas particulier où l'une de ces deux équations n'est pas celle d'une droite :

• si $a=b=0$ et $d\not =0$ (ou $b=c=0$ et $e\not =0$), il n'y a pas de centre de symétrie ;
• si $a=b=d=0$ (ou $b=c=e=0$), on trouve une droite de centres de symétrie.