Définition par foyer et directrice

Définition 1   Soit $D$ une droite, $F$ un point n'appartenant pas à $D$, et $e>0$ un réel. On appelle conique de directrice $D$, de foyer $F$ et d'excentricité $e$ l'ensemble des points $M$ du plan dont le rapport des distances à $F$ et à $D$ est égal à $e$, i.e. qui vérifient $\dfrac{MF}{MH}=e$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $D$. Si $e<1$, la conique est appelée ellipse, si $e=1$ parabole, et si $e>1$ hyperbole.

Proposition 1   La perpendiculaire $\Delta$ à la directrice $D$ menée par le foyer $F$ est axe de symétrie de la conique. Cette droite est appelée axe focal de la conique (focal = qui porte le foyer).

Démonstration : Soit $M$ un point de la conique, $s$ la symétrie orthogonale d'axe $\Delta$, $M'=s(M)$. Le point $F$ est fixe par $s$ et la droite $D$ globalement invariante par $s$. Une symétrie orthogonale conserve les distances et l'orthogonalité. Il en résulte que le projeté orthogonal de $M'$ sur $D$ est l'image $H'=s(H)$ du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $D$ et que $M'F=MF$, $M'H'=MH$. Le point $M'$ appartient donc à la conique.$\square$

Dans le cas particulier où $e=1$, la parabole de directrice $D$ et de foyer $F$ est l'ensemble des points du plan équidistants de la droite $D$ et du point $F$ ; on peut aussi décrire cet ensemble comme le lieu des centres des cercles tangents à $D$ passant par $F$.

La figure GeoGebra illustre cette propriété. Vous pouvez déplacer le point $M$ sur la parabole. C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com

Équations réduites

Nous allons chercher dans ce paragraphe un repère dans lequel l'équation de la conique soit la plus simple possible. Une telle équation sera appelée équation réduite de la conique.

La proposition 1 nous amène à travailler dans un repère orthonormal dont l'axe des $x$ est l'axe focal. Soit donc $(O,\vec{i},\vec{j})$ un tel repère, $(x_F,0)$ les coordonnées de $F$, $x=x_D$ l'équation de $D$ dans ce repère. L'équation $\dfrac{MF}{MH}=e$ équivaut à $MF^2=e^2MH^2$, soit encore :

$$(x-x_F)^2+y^2=e^2(x-x_D)^2\, .$$

Si $e=1$, cette équation s'écrit encore :

$$2(x_F-x_D)\left( x-\dfrac{x_D+x_F}{2}\right) = y^2\, ,$$

ce qui amène à poser $x_F=p/2$, $x_D=-x_F$. L'équation s'écrit alors $y^2=2px$. Le réel $p>0$ est appelé paramètre de la parabole (c'est la distance du foyer à la directrice), l'origine $O$ sommet de la parabole (c'est le seul point de la parabole situé sur l'axe focal).
Si $e\not =1$, l'équation s'écrit :

$$(1-e^2)x^2+y^2-2x(x_F-e^2x_D)+x_F^2-e^2x_D^2=0\, .$$

On est alors amené à choisir l'origine $O$ du repère de façon à avoir $x_F-e^2x_D=0$, ce qui revient à dire que $O$ est barycentre du système de points pondérés $[(F,1)$, $(K,-e^2)]$, où $K$ est le point d'intersection de la directrice et de l'axe focal. Le point $O$ est aussi le milieu du segment $AA'$, où $A$ et $A'$ sont les deux points de la conique situés sur l'axe focal (ces points sont les barycentres des systèmes pondérés $[(F,1)$, $(K,e)]$ et $[(F,1)$, $(K,-e)]$). Si on appelle $a$ et $-a$ les abscisses de ces points, de sorte que $x_D=\dfrac{a}{e}$, $x_F=ae$, l'équation s'écrit :

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1 \, .$$

On constate alors que l'axe $Oy$ est axe de symétrie et le point $O$ centre de symétrie de la conique. L'ellipse et l'hyperbole sont ainsi appelées coniques à centre, ce qui les distingue de la parabole, qui ne possède pas de centre de symétrie.

Une symétrie centrale étant une isométrie, on en déduit (démonstration analogue à celle de la proposition 1) pour ces coniques l'existence d'un second couple foyer-directrice $(F',D')$, symétrique du premier par rapport au point $O$ (ou par rapport à l'axe $Oy$).

On est ensuite amené à séparer les cas $e<1$ et $e>1$ :

$\bullet$ Si $e<1$ (cas de l'ellipse), l'axe $Oy$ coupe la conique en deux points $B$ et $B'$, d'ordonnées $\pm a\sqrt{1-e^2}$. On pose $b=a\sqrt{1-e^2}$, de sorte que $0<b<a$. L'équation de l'ellipse s'écrit alors :

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \, .$$

Le foyer $F$ a pour coordonnées $(c,0)$, où on a posé $c=ae=\sqrt{a^2-b^2}$, de sorte que $a^2=b^2+c^2$, et la directrice $D$ pour équation $x=a^2/c$. Le foyer $F'$ a pour coordonnées $(-c,0)$ et la directrice associée $D'$ pour équation $x=-a^2/c$. Les paramètres $a$, $b$, $c$ représentent respectivement la moitié de la longueur $AA'$ du grand axe, la moitié de la longueur $BB'$ du petit axe et la demi-distance focale (distance $FF'$ entre les deux foyers).

L'ellipse est une courbe bornée : elle est tout entière contenue dans le rectangle de sommets de coordonnées $(\pm a, \pm b)$ et est en particulier comprise entre ses deux directrices.

$\bullet$ Si $e>1$ (cas de l'hyperbole), l'axe $Oy$ ne coupe pas la conique. On pose $b=a\sqrt{e^2-1}$. L'équation de l'hyperbole s'écrit alors :

$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \, .$$

On pose $c=ae=\sqrt{a^2+b^2}$, de sorte que $c^2=a^2+b^2$. Le foyer $F$ (resp. $F'$) a alors pour coordonnées $(c,0)$ (resp. $(-c,0)$) et la directrice associée $D$ (resp. $D'$) pour équation $x=a^2/c$ (resp. $x=-a^2/c$). L'hyperbole possède deux branches, situées respectivement dans les demi-plans définis par les inéquations $x\geq a$ et $x\leq -a$. Ses directrices sont situées dans la bande séparant ces deux demi-plans.

Une parabole ou une ellipse sépare le plan en deux régions, définies par les inégalités $MF>eMH$ et $MF<eMH$. Une hyperbole sépare le plan en trois régions, dont deux correspondent à l'inégalité $MF<eMH$ et une (celle située en les deux branches) à l'inégalité $MF>eMH$.

Remarque : on peut considérer le cercle d'équation $x^2+y^2=a^2$, de centre $O$ et de rayon $a$, comme un cas limite d'ellipse, pour lequel $e=0$, $b=a$, $c=0$, les directrices étant repoussées à l'infini et les deux foyers confondus. Il n'est néanmoins pas possible de donner une définition du cercle par foyer et directrice dans le cadre du plan affine euclidien.

La figure GeoGebra illustre la variation de forme de la conique en fonction de son excentricité. Elle représente une ellipse, une parabole et une hyperbole ayant même foyer $F$ et même directrice $D$. Vous pouvez en déplaçant les curseurs faire varier l'excentricité de l'ellipse et de l'hyperbole. C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com

Représentation paramétrique

Parabole La parabole d'équation $y^2=2px$ admet la représentation paramétrique :

$$\left\{ \begin{aligned}x&=\dfrac{t^2}{2p}\\ y&=t \end{aligned} \right. \qquad (t\in \mathbb{R})\, .$$

Ellipse : L'ellipse d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ admet la représentation paramétrique :

$$\left\{ \begin{aligned}x&=a \cos t\\ y&=b \sin t \end{aligned} \right. \qquad (t\in [0,2\pi[)\, .$$

Hyperbole : L'hyperbole d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ admet la représentation paramétrique :

$$\left\{ \begin{aligned}x&=\pm a\ch t\\ y&=b \sh t \end{aligned} \right. \qquad (t\in \mathbb{R})\, .$$

chaque choix de signe correspondant à la représentation paramétrique de l'une des deux branches.

Elle admet aussi la représentation paramétrique :

$$\left\{ \begin{aligned}x&=\dfrac{a}{\cos t}\\ y&=b\tan t \end{ali... ...{3\pi}{2}} \right[ \cup \left] \dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[\right)\, ,$$

chacun des intervalles de son domaine de définition correspondant à une branche.

Elle admet également la représentation paramétrique rationnelle :

$$\left\{ \begin{aligned}x&=\dfrac{a}{2}\left( u+\dfrac{1}{u}\right... ...nd{aligned} \right. \qquad \left(u\in ] -\infty,0[ \cup ] 0,+\infty[\right)\, ,$$

chacun des intervalles de son domaine de définition correspondant à une branche.

On en déduit que l'hyperbole d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ admet deux asymptotes d'équations $y=\dfrac{b}{a}\, x$ et $y=-\dfrac{b}{a}\, x$. En effet, en utilisant par exemple la représentation paramétrique $x=a\ch t$, $y=b\sh t$ de la branche de droite de l'hyperbole, on voit que, pour tout point $(x,y)$ de l'hyperbole, $y-\dfrac{b}{a}x=b\left( \sh t- \ch t\right) =-b\, e^{-t}$ tend vers 0 quand $t$ tend vers $+\infty$ et $y+\dfrac{b}{a}x=b\left( \sh t + \ch t\right) =b\, e^{t}$ tend vers 0 quand $t$ tend vers $-\infty$.

Équation polaire d'une conique de foyer l'origine

Les lois de Kepler (voir section 3.3) disent que les trajectoires des planètes sont approximativement des ellipses dont le soleil occupe un des foyers. La démonstration de ce résultat fait intervenir l'équation polaire d'une conique dont un des foyers est situé à l'origine du repère. C'est ce qui fait l'importance de la proposition suivante.

Proposition 2   Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$, $D$ une droite d'équation normale $x\cos \varphi + y \sin \varphi =d$, où $d>0$ est la distance de $O$ à $D$. La conique d'excentricité $e$, de foyer $O$ et de directrice $D$ admet l'équation polaire :

$$\rho=\dfrac{p}{1+e\cos ( \theta- \varphi)}$$

où $p=ed$ est appelé paramètre de la conique.

Démonstration : La droite d'équation normale $x\cos \varphi + y \sin \varphi =d$ se déduit de la droite d'équation $x=d$ (qui correspond au cas $\varphi=0$) par la rotation de centre $O$ et d'angle $\varphi$. Il suffit donc de faire la démonstration dans le cas où $\varphi=0$, le cas général se déduit en remplaçant l'angle polaire $\theta$ d'un point $M$ par $\theta-\varphi$ dans l'équation obtenue.

Les coordonnées cartésiennes de $M$ sont alors $x=\rho \cos \theta$, $y=\rho \sin \theta$ et celles du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $D$ $(d,\rho \sin \theta)$. La relation $MO^2=e^2 MH^2$ s'écrit alors $\rho^2=e^2 (\rho \cos \theta -d)^2$, soit en développant :

$$(1-e^2 \cos^2\theta)\rho^2+2e^2d \cos\theta \, \rho -e^2d^2=0 \; .$$

Les racines de cette équation du second degré sont

$$\rho=\dfrac{ed(-e\cos\theta \pm 1)}{1-e^2 \cos^2\theta}$$

si $e^2\cos^2\theta \not = 1$ (si $e\geq 1$, la ou les valeurs de $\theta$ telles que $e^2\cos^2\theta = 1$ correspondent aux directions asymptotiques de la parabole ou de l'hyperbole).

On trouve donc a priori deux courbes d'équations polaires $\rho_1(\theta)=\dfrac{ed}{1+e\cos\theta}$ et $\rho_2(\theta)=\dfrac{-ed}{1-e\cos\theta}$. Mais $\rho_2(\theta+\pi)=-\rho_1(\theta)$, ce qui signifie que le point d'angle polaire $\theta+\pi$ de la première courbe se confond avec le point de paramètre $\theta$ de la première. Il suffit donc de garder la première équation.$\square$