Corrigé du devoir

Questions de cours :  

1. La conique $C$ de foyer $F$, de directrice $D$ et d'excentricité $e>0$, où $F$ est un point du plan n'appartenant pas à $D$, est l'ensemble des points du plan dont le rapport $\dfrac{MF}{MH}$ (où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $D$) des distances à $F$ et à $D$ est égal à $e$ :
   $$C=\left\{ M \mid \dfrac{d(M,F)}{d(M,D)}=e\right\}=\left\{ M \mid \dfrac{MF}{MH}=e\right\} \; .$$

2. Les coniques admettant deux couples foyer-directrice sont les ellipses et les hyperboles.

   Une ellipse $E$ de foyers $F$ et $F'$ est l'ensemble des points $M$ du plan dont la somme $MF+MF'$ des distances à ses deux foyers est une constante $2a$ strictement supérieure à la distance focale $FF'$ :

   $$E=\{M \mid MF+MF'=2a\}$$    avec $$2a>FF'\; .$$

   Une hyperbole $H$ de foyers $F$ et $F'$ est l'ensemble des points $M$ du plan dont la différence $MF-MF'$ des distances à ses deux foyers est égale en valeur absolue à une constante $2a$ strictement inférieure à la distance focale $FF'$ :

   $$H=\{M \mid \vert \, MF-MF'\,\vert=2a\}$$    avec $$2a<FF' \; .$$

3. Une hyperbole est dite équilatère si ses asymptotes sont perpendiculaires. Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une hyperbole soit équilatère est que son excentricité soit égale à $\sqrt{2}$.

   L'hyperbole d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ admet comme asymptotes les droites d'équations $\dfrac{x}{a}=\pm \dfrac{y}{b}$. Si le repère est orthonormé, elle est équilatère si et seulement si $a=b$.

4. L'équation $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey=0$ en repère orthonormal est celle d'un cercle si et seulement si $a=c\not =0$ et $b=0$. On remarque que l'ensemble des points vérifiant cette équation n'est jamais vide puisqu'il contient l'origine (ce cercle est réduit à un point si $d=e=0$).

5. La courbe d'équation $x^2-y^2=1$ dans un repère orthonormal est une hyperbole équilatère de centre l'origine, d'axe focal l'axe $Ox$ et d'asymptotes les bissectrices des axes.

   Elle admet les représentations paramétriques

   $\bullet$

   $x=\varepsilon\ch {t}, \quad y=\sh {t} \quad (t\in\mathbb{R},\varepsilon\in\{-1,+1\})$ ;

   $\bullet$

   $x=\dfrac{1}{\cos t}, \quad y=\tan t \quad \left( t\in \left] -\dfrac{\pi}{2},\... ...ac{3\pi}{2}} \right[ \cup \left] \dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[ \right)$ ;

   $\bullet$

   $x=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right), \quad y=\dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{1}{t}\right) \quad (t\in\mathbb{R}^*)$.

Exercice 1 :  

1. L'axe $Ox$ est axe de symétrie pour $P$, puisque si le point $(x,y)$ appartient à $P$, le point $(x,-y)$ appartient aussi à $P$.

   Il en résulte que le sommet de $P$ est l'origine $O$ du repère.

   Le foyer $F$ a donc comme coordonnées $(c,0)$ pour un réel $c$ et la directrice $D$ comme équation $x=-c$. Un point $M$ de coordonnées $(x,y)$ appartient à $P$ si et seulement si $MF=MH$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $D$, i.e. le point de coordonnées $(-c,y)$, d'où l'équation de $P$ : $(x-c)^2+y^2=(x+c)^2$, soit encore $y^2=4cx$. En identifiant cette équation à celle de $P$, on obtient $c=p/2$, d'où les coordonnées de $F$ $(p/2,0)$ et l'équation de $D$ : $x=-p/2$.

2. Le vecteur dérivé $(t/p,1)$ du vecteur $(t^2/2p,t)$ est un vecteur directeur de la tangente à $P$ au point de paramètre $t$. Une équation de cette tangente est donc :
   $$\begin{vmatrix} t/p &x-t^2/p\\ 1 & y-t \end{vmatrix}=0$$
   ou encore
   $$2ty-2px-t^2=0\; .$$

3. La tangente à $P$ au point de paramètre $t$ passe par $M_0$ si et seulement si
   $$t^2-2ty_0+2px_0=0 \; . \qquad \qquad (*)$$
   Cette équation du second degré en $t$ admet des solutions réelles si et seulement si son discriminant réduit $\Delta '=y_0^2-2px_0$ est positif ou nul. Si $\Delta'=0$, le point $M_0$ appartient à $P$ et l'unique solution de l'équation est $t=y_0$, ce qui traduit le fait que cette droite est la tangente à $P$ en $M_0$.

   Si $\Delta'>0$, le point $M_0$ est situé à l'extérieur de la parabole $P$ (en convenant d'appeler intérieur de la parabole la partie convexe du plan délimitée par celle-ci et extérieur son complémentaire) et il passe par $M_0$ deux tangentes à $P$.

4. Pour qu'il passe par $M_0$ deux tangentes à $P$ perpendiculaires, il faut que $\Delta'$ soit strictement positif et que le produit des pentes des tangentes à $P$ passant par $M_0$ soit égal à 1, i.e. que $\dfrac{p^2}{t_1t_2}=-1$, où $t_1$ et $t_2$ sont les deux racines de $(*)$. Or $t_1t_2=2px_0$, d'où la condition $x_0=-p/2$. Si cette condition est vérifiée, on a $\Delta'>0$ et il passe donc bien par $M_0$ deux tangentes à $P$. Il en résulte que l'ensemble des points d'où l'on peut mener à $P$ deux tangentes perpendiculaires entre elles est la directrice $D$ de $P$.

5. On sait que la tangente en $M$ à $P$ est la médiatrice du segment $[FH]$ (proposition 4). Tout point de cette tangente est donc équidistant de $F$ et $H$.

   On pouvait aussi redémontrer ce résultat : le point $F$ a pour coordonnées $(p/2,0)$ et le point $H$ $(-p/2,t)$ ; il en résulte que la médiatrice de $[FH]$ a pour équation

   $$(x-p/2)^2+y^2=(x+p/2)^2+(y-t)^2$$
   soit encore
   $$2ty-2px-t^2=0$$
   qui est l'équation de la tangente en $M$ à $P$.

6. Si un point $M_0$ du plan appartient à la tangente en $M$ à $P$, le cercle de centre $M_0$ et de rayon $M_0F$ coupe $D$ en $H$. Pour construire les tangentes à $P$ passant par $M_0$, il suffit donc de tracer le cercle de centre $M_0$ et de rayon $M_0F$. Si ce cercle ne coupe pas $D$, il ne passe pas par $M_0$ de tangente à $P$ (cette condition équivaut à $d(M_0,D)>M_0F$ et signifie que $M_0$ est à l'intérieur de la parabole). S'il coupe $D$ en un unique point $H$, le point $M_0$ appartient à $P$ et la tangente à $P$ en $M_0$ est l'unique tangente à $P$ passant par $M_0$. S'il coupe $D$ en deux points distincts $H_1$ et $H_2$, on construit deux points $M_1$ et $M_2$ de $P$ en prenant l'intersection de la médiatrice de $[FH_i]$ avec la perpendiculaire à $D$ en $H_i$, et les tangentes à $P$ en $M_1$ et $M_2$ sont les deux tangentes à $P$ passant par $M_0$.
   

7. Les tangentes à $P$ menées par $M_0$ sont donc les médiatrices des segments $[FH_1]$ et $[FH_2]$, où $H_1$ et $H_2$ sont les points d'intersection du cercle $C$ de centre $M_0$ passant par $F$ avec $D$. Ces deux tangentes sont perpendiculaires si et seulement si les droites $(FH_1)$ et $(FH_2)$ le sont, ce qui signifie que le point $F$ appartient au cercle de diamètre $[H_1H_2]$. Mais ce cercle n'est autre que $C$, puisqu'il passe par les trois points $F$, $H_1$ et $H_2$. Son centre $M_0$ est le milieu de $[H_1H_2]$ et appartient donc à $D$. Réciproquement, si $M_0$ appartient à $D$, il ressort immédiatement de la construction précédente qu'il passe par $M_0$ deux tangentes à $P$ perpendiculaires entre elles. La directrice est ce qu'on appelle la courbe orthoptique de la parabole (ensemble des points d'où l'on voit la parabole sous un angle droit).
   

Exercice 2 :

1. Le point $M$ de coordonnées $(x,y)$ appartient à $H$ si et seulement si $MF^2=2d(M,D)^2$, i.e.si et seulement si $(x-3)^2+(y-2)^2=(x-y+1)^2$, ou encore $xy-4x-y+6=0$.

2. Cette équation s'écrit encore $(x-1)(y-4)=-2$, soit, en posant $X=x-1$, $Y=y-4$, $XY=-2$. Mais $(X,Y)$ sont les coordonnées du point $M$ dans le repère $(\Omega,\vec{i},\vec{j})$, où $\Omega$ est le point de coordonnées $(1,4)$ dans le repère initial $(O,\vec{i},\vec{j})$. L'équation de $H$ dans ce nouveau repère est donc $XY=-2$, ce qui montre que la symétrie centrale de centre $\Omega$ laisse $H$ invariante. On en déduit que $\Omega$ est le centre de l'hyperbole $H$.

3. Le foyer $F'$ (resp. la directrice associée $D'$) est symétrique de $F$ (resp. de $D$) par rapport à $\Omega$. La symétrie centrale de centre $\Omega$ est donnée par les formules $x'=2-x$, $y'=8-y$, où $(x,y)$ sont les coordonnées d'un point et $(x',y')$ celles de son image. Il en résulte que $F'$ a pour coordonnées dans le repère initial $(-1,6)$ et $D'$ pour équation dans ce repère $y-x-5=0$.

4. La courbe $E$ d'équation $3x^2+3y^2+2xy-14x-26y+27=0$ est une conique du genre ellipse, puisque la forme quadratique $(x,y)\mapsto 3x^2+3y^2+2xy$ est définie positive. Cette courbe n'est pas vide, puisqu'elle possède par exemple deux points d'abscisse 0, et ce n'est pas un cercle ; c'est donc une ellipse.

5. Les coordonnées du centre de $E$ sont solution du système
   $$\begin{cases} 6x+2y-14=0\\ 2x+6y-26=0 \end{cases}$$
   obtenu en annulant les dérivées partielles de $3x^2+3y^2+2xy-14x-26y+27$. Ce système admet l'unique solution $x=1$, $y=4$.

6. En utilisant les formules de changement de repère $x=X+1$, $y=Y+4$, on voit que $E$ admet comme équation $3X^2+3Y^2+2XY-32=0$ dans le repère $(\Omega,\vec{i},\vec{j})$. Des vecteurs propres de la matrice $\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ sont $(1,1)$ et $(1,-1)$. Les coordonnées $(X,Y)$ d'un point $M$ dans le repère $(\Omega,\vec{i},\vec{j})$ sont reliées aux coordonnées $(X',Y')$ de ce point dans le repère orthonormal $\left(\Omega, \dfrac{\vec{i}+\vec{j}}{\sqrt{2}}, \dfrac{-\vec{i}+\vec{j}}{\sqrt{2}}\right)$ déduit par rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\pi/4$ par
   $$X=\dfrac{X'-Y'}{\sqrt{2}},\quad Y=\dfrac{X'+Y'}{\sqrt{2}} \; .$$
   Il en résulte que $E$ a comme équation $4X'^2+2Y'^2-32=0$, soit encore
   $$\dfrac{X'^2}{8}+\dfrac{Y'^2}{16}=1$$
   dans ce nouveau repère.

7. Le demi-grand axe de $E$ vaut donc $a=4$ et le demi-petit axe $b=2\sqrt{2}$. La demi-distance focale $c$ est définie par $c^2=a^2-b^2$, d'où $c=2\sqrt{2}$. L'excentricité de $E$ est donnée par $e=c/a=\sqrt{2}/2$. Le grand axe de $E$ est porté par la droite d'équation $x+y-5=0$ (axe $\Omega Y'$ du nouveau repère) et le petit axe par la droite d'équation $x-y+3=0$ (axe $\Omega X'$ du nouveau repère) dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.

8. L'hyperbole $H$ et l'ellipse $E$ ont même centre, même axe focal, et même distance focale. Il en résulte qu'elles ont les mêmes foyers.