Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours :  

1. Donner la définition par foyer, directrice et excentricité d'une conique.

2. Rappeler quelles sont les coniques admettant deux foyers. Donner, pour ces coniques, une définition faisant intervenir les deux foyers.

3. Rappeler la définition d'une hyperbole équilatère. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les réels positifs $a$ et $b$ pour que l'hyperbole d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ dans un repère orthonormé soit équilatère.

4. Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les réels $a,b,c,d,e$ pour que l'équation $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey=0$ soit celle d'un cercle.

5. Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Donner la nature et une représentation paramétrique de la conique d'équation $x^2-y^2=1$.

Exercice 1 : Soit $p$ un réel positif et $P$ la parabole d'équation $y^2=2px$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Déterminer l'axe, le sommet, le foyer $F$ et la directrice $D$ de $P$.

2. On considère la représentation paramétrique $x=\dfrac{t^2}{2p}$, $y=t$ de $P$. Écrire l'équation de la tangente à $P$ au point de paramètre $t$.

3. Soit $M_0$ de coordonnées $(x_0,y_0)$ un point du plan. Écrire une équation vérifiée par le paramètre $t$ d'un point de $P$ pour que la tangente à $P$ en ce point passe par $M_0$. Discuter selon la position de $M_0$ le nombre de tangentes à $P$ passant par $M_0$.

4. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $M_0$ pour qu'il passe par $M_0$ deux tangentes à $P$ perpendiculaires entre elles.

5. Soit $M$ un point de $P$, $H$ son projeté orthogonal sur $D$. Montrer que tout point de la tangente en $M$ à $P$ est équidistant de $H$ et $F$.

6. En déduire une construction à la règle et au compas des tangentes à $P$ menées par un point $M_0$ du plan (dans le cas où il existe de telles tangentes). Retrouver ainsi les résultats de la question 3.

7. Déduire de la question précédente une nouvelle démonstration du résultat de la question 4.

Exercice 2 : Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Écrire l'équation de l'hyperbole $H$ de foyer $F(3,2)$, de directrice $D$ d'équation $x-y+1=0$ et d'excentricité $\sqrt{2}$.

2. Écrire l'équation de $H$ sous la forme $(x-a)(y-b)=c$ pour des réels $a,b,c$. En déduire les coordonnées du centre $\Omega$ de $H$.

3. Déterminer les axes, puis le second couple foyer-directrice $(F',D')$ de $H$ (on donnera les coordonnées de $F'$ et une équation de $D'$).

4. Montrer que la courbe $E$ d'équation $3x^2+3y^2+2xy-14x-26y+27=0$ est une ellipse.

5. Montrer que $\Omega$ est le centre de $E$.

6. Déterminer les axes et l'équation réduite de $E$.

7. En déduire les longueurs des axes, la distance focale et l'excentricité de $E$.

8. Montrer que les coniques $E$ et $H$ ont les mêmes foyers.