Exercices

Exercice 2 Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Écrire l'équation de l'ellipse de foyer , de directrice d'équation et d'excentricité $e=1/\sqrt{2}$ .

Exercice 4 Déterminer l'ensemble des centres des cercles passant par un point fixe et tangents à un cercle fixe (on discutera selon la position de par rapport à ).

Exercice 7 Intersection d'une parabole et d'une droite

Montrer que toute parallèle à l'axe d'une parabole coupe celle-ci en exactement un point.
Montrer que toute droite non parallèle à l'axe d'une parabole coupe celle-ci en 0, 1 ou 2 points. Montrer qu'elle coupe la parabole en exactement un point si et seulement si elle est tangente à la parabole.

Exercice 8 Intersection d'une ellipse et d'une droite

Montrer qu'une droite d'équation $\alpha x +\beta y + \gamma=0$ rencontre l'ellipse d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ en :
- 0 point si $a^2 \alpha^2+b^2 \beta^2<\gamma^2$ ;
- 1 point si $a^2 \alpha^2+b^2 \beta^2=\gamma^2$ ;
- 2 points si $a^2 \alpha^2+b^2 \beta^2>\gamma^2$ .
Montrer qu'une droite rencontre une ellipse en exactement un point si et seulement si elle est tangente à l'ellipse.

Exercice 9 Soit un point d'une parabole, son projeté orthogonal sur l'axe, le point d'intersection de l'axe et de la normale en à la parabole. Montrer que la longueur (appelée sous-normale en ) ne dépend pas du point . Exprimer cette longueur en fonction du paramètre de la parabole.

$\includegraphics[width=0.5\textwidth]{sousnormaleparabole}$

Exercice 10 Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Soient deux réels. Montrer que la famille des courbes $\Gamma_\lambda$ d'équation

$\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2+\lambda}+\dfrac{y^2}{b^2+\lambda}=1$

où $\lambda$ est un paramètre réel et différent de , est exactement la famille des coniques de foyers et , où et sont deux points du plan dont on précisera les coordonnées en fonction de et .

Exercice 11 Soit une hyperbole de demi-distance focale . Montrer qu'il existe un repère normé porté par les asymptotes de tel que l'équation de dans ce repère soit $4 \, XY=c^2$ .

Exercice 12 Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormal. Soient de coordonnées $\left(t,\dfrac{1}{t}\right)$ , de coordonnées $\left(u,\dfrac{1}{u}\right)$ , de coordonnées $\left(v,\dfrac{1}{v}\right)$ trois points distincts de l'hyperbole équilatère d'équation .

Écrire l'équation de la perpendiculaire $\Delta$ à la droite passant par .
Déterminer les coordonnées du second point d'intersection de $\Delta$ avec .
Montrer que ce point appartient aux deux autres hauteurs du triangle .
En déduire que l'orthocentre de tout triangle dont les sommets appartiennent à une hyperbole équilatère appartient à cette même hyperbole.

Exercice 13 Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormal, l'ellipse d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ .

Montrer qu'une droite est tangente à si et seulement si elle coupe en un point et un seul.
Soit un point de coordonnées et un réel. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la droite de pente passant par soit tangente à .
Déterminer en fonction de le nombre de tangentes à passant par .
Montrer que deux droites de pentes respectives et sont perpendiculaires si et seulement si .
Montrer que l'ensemble des points du plan d'où l'on peut mener deux tangentes à perpendiculaires entre elles est un cercle de centre le centre de dont on précisera le rayon.

Exercice 14 Une propriété des tangentes aux coniques

Soit $\Gamma$ une conique de foyer , de directrice et d'excentricité , un point de $\Gamma$ , son projeté orthogonal sur . On suppose que la tangente à $\Gamma$ en coupe la directrice en un point .

Montrer que $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{MT}+e^2 \overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{MT}=0$ (on pourra dériver la relation ).
En déduire que les droites et sont orthogonales (on pourra calculer le produit scalaire $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FT}$ ).

$\includegraphics[width=0.4\textwidth]{tangenteconique}$

Exercice 15 Soit une ellipse de foyers et . Déterminer le lieu des images de par :

les symétries orthogonales par rapport aux tangentes à ;
les projections orthogonales sur les tangentes à .

Exercice 16 Montrer que toute tangente à une hyperbole coupe les asymptotes de cette hyperbole en deux points distincts et et que l'aire du triangle , où est le centre de l'hyperbole, ne dépend pas de la tangente considérée.

Exercice 17 Diamètres conjugués d'une hyperbole

Soit une hyperbole, son centre et une droite passant par et distincte des asymptotes de .

Montrer que les milieux des cordes de parallèles à appartiennent tous à une même droite passant par .
Montrer que les milieux des cordes de parallèles à appartiennent tous à .

Exercice 18 Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ , l'hyperbole équilatère d'équation , un point de de coordonnées et $\Omega$ le symétrique de par rapport à . Le cercle de centre $\Omega$ passant par recoupe en général en trois points , , .

Écrire une équation polynomiale de degré 3 vérifiée par les abscisses , , des points , , .
En déduire, en utilisant les relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme, que $\Omega$ est l'isobarycentre du triangle .
Soit un triangle. On suppose que l'isobarycentre de est aussi le centre du cercle circonscrit à . Montrer que est équilatéral.
Que peut-on dire du triangle ?

Exercice 19 Théorème d'Apollonius pour l'ellipse

Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ , l'ellipse de représentation paramétrique $x=a\cos t$ , $y=b\sin t$ .

Soit et deux points de de paramètres respectifs et , et leurs symétriques par rapport à . Donner une condition nécessaire et suffisante sur et pour que les diamètres et de soient conjugués.
Montrer que l'aire du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués et de est constante.
Montrer que la somme des carrés des longueurs de deux demi-diamètres conjugués et de est constante.

Exercice 21 Ellipse de Steiner d'un triangle

$\includegraphics[width=0.7\textwidth]{steiner}$

Soit un triangle non aplati et son centre de gravité. Montrer qu'il existe une ellipse tangente aux trois côtés de ce triangle en leurs milieux et passant par les milieux des segments , et . (Indication : on se ramènera par une transformation affine au cas où le triangle est équilatéral.)

La figure GeoGebra permet de déformer le triangle . C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com

Exercice 22 Soient et deux triplets de réels tels que $ab'-ba' \not =0$ et un réel non nul. Montrer que la courbe d'équation est une hyperbole dont on précisera le centre et les asymptotes.

Exercice 23 Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Montrer que la courbe d'équation est une parabole. Déterminer les coordonnées de son foyer et l'équation de sa directrice.

Exercice 24 Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, $\Gamma$ la conique d'équation . Réduire l'équation de $\Gamma$ . On donnera les coordonnées du centre, les équations des axes, les longueurs du grand axe et du petit axe, les coordonnées des foyers.

Exercice 25 Soient et deux droites sécantes en un point , un point de différent de , un point de différent de . On cherche le lieu des centres des coniques tangentes en à et en à .

On rapporte le plan au repère $(O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ . Donner des conditions nécessaires et suffisantes sur les coefficients pour qu'une conique à centre d'équation soit tangente en à et en à .
En déduire que le centre d'une telle conique appartient à une droite fixe passant par . Interpréter cette droite dans le triangle .
Reprendre le problème dans le cas où les deux droites et sont parallèles, étant un point quelconque de et un point quelconque de .

Exercice 26 Montrer que toute courbe de représentation paramétrique

$\displaystyle \left\{\begin{aligned}x=a\cos t+ b \sin t\\ y=c \cos t + d \sin t\end{aligned} \qquad (t\in[0,2\pi[) \right.$

où sont des réels, est une ellipse, un cercle ou un segment de droite de centre l'origine (on pourra, dans le cas où la courbe n'est pas portée par une droite, en écrire une équation cartésienne). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que cette courbe soit un cercle (resp. un segment de droite).

Exercice 27 Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, $\Gamma$ une conique d'équation et , de coordonnées , un point de $\Gamma$ . Montrer que l'équation de la tangente en à $\Gamma$ s'écrit

$\displaystyle ax_0 x+b(y_0 x+x_0 y)+cy_0 y+d(x_0+x)+e(y_0+y)+f=0\; .$