Exercices

Exercice 1   Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Écrire l'équation de la parabole $P$ de foyer $F(-1,2)$ et de directrice $D$ d'équation $3x-2y+2=0$.

Exercice 2   Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Écrire l'équation de l'ellipse $E$ de foyer $F(2,1)$, de directrice $D$ d'équation $x-2y-2=0$ et d'excentricité $e=1/\sqrt{2}$.

Exercice 3   Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Écrire l'équation de l'ellipse $E$ de foyers $F(1,0)$ et $F'(-1,2)$ et de demi-grand axe de longueur 3.

Exercice 4   Déterminer l'ensemble des centres des cercles passant par un point fixe $F$ et tangents à un cercle fixe $C$ (on discutera selon la position de $F$ par rapport à $C$).

Exercice 5   Montrer que deux coniques sont semblables si et seulement si elles ont la même excentricité.

Exercice 6   Montrer que deux paraboles sont isométriques si et seulement si elles ont le même paramètre.

Exercice 7   Intersection d'une parabole et d'une droite

1. Montrer que toute parallèle à l'axe d'une parabole coupe celle-ci en exactement un point.
2. Montrer que toute droite non parallèle à l'axe d'une parabole coupe celle-ci en 0, 1 ou 2 points. Montrer qu'elle coupe la parabole en exactement un point si et seulement si elle est tangente à la parabole.

Exercice 8   Intersection d'une ellipse et d'une droite

1. Montrer qu'une droite d'équation $\alpha x +\beta y + \gamma=0$ rencontre l'ellipse d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ en :
   • 0 point si $a^2 \alpha^2+b^2 \beta^2<\gamma^2$ ;
   • 1 point si $a^2 \alpha^2+b^2 \beta^2=\gamma^2$ ;
   • 2 points si $a^2 \alpha^2+b^2 \beta^2>\gamma^2$.
2. Montrer qu'une droite rencontre une ellipse en exactement un point si et seulement si elle est tangente à l'ellipse.

Exercice 9   Soit $M$ un point d'une parabole, $m$ son projeté orthogonal sur l'axe, $N$ le point d'intersection de l'axe et de la normale en $M$ à la parabole. Montrer que la longueur $mN$ (appelée sous-normale en $M$) ne dépend pas du point $M$. Exprimer cette longueur en fonction du paramètre de la parabole.

Exercice 10   Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Soient $0<b<a$ deux réels. Montrer que la famille des courbes $\Gamma_\lambda$ d'équation

$$\dfrac{x^2}{a^2+\lambda}+\dfrac{y^2}{b^2+\lambda}=1$$

où $\lambda$ est un paramètre réel $>-a^2$ et différent de $-b^2$, est exactement la famille des coniques de foyers $F$ et $F'$, où $F$ et $F'$ sont deux points du plan dont on précisera les coordonnées en fonction de $a$ et $b$.

Exercice 11   Soit $H$ une hyperbole de demi-distance focale $c$. Montrer qu'il existe un repère normé porté par les asymptotes de $H$ tel que l'équation de $H$ dans ce repère soit $4 \, XY=c^2$.

Exercice 12   Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormal. Soient $T$ de coordonnées $\left(t,\dfrac{1}{t}\right)$, $U$ de coordonnées $\left(u,\dfrac{1}{u}\right)$, $V$ de coordonnées $\left(v,\dfrac{1}{v}\right)$ trois points distincts de l'hyperbole équilatère $H$ d'équation $xy=1$.

1. Écrire l'équation de la perpendiculaire $\Delta$ à la droite $(UV)$ passant par $T$.
2. Déterminer les coordonnées du second point d'intersection de $\Delta$ avec $H$.
3. Montrer que ce point appartient aux deux autres hauteurs du triangle $TUV$.
4. En déduire que l'orthocentre de tout triangle dont les sommets appartiennent à une hyperbole équilatère appartient à cette même hyperbole.

Exercice 13   Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormal, $E$ l'ellipse d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$.

1. Montrer qu'une droite est tangente à $E$ si et seulement si elle coupe $E$ en un point et un seul.
2. Soit $M_0$ un point de coordonnées $(x_0,y_0)$ et $m$ un réel. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la droite de pente $m$ passant par $M_0$ soit tangente à $E$.
3. Déterminer en fonction de $(x_0,y_0)$ le nombre de tangentes à $E$ passant par $M_0$.
4. Montrer que deux droites de pentes respectives $m_1$ et $m_2$ sont perpendiculaires si et seulement si $m_1m_2=-1$.
5. Montrer que l'ensemble des points du plan d'où l'on peut mener deux tangentes à $E$ perpendiculaires entre elles est un cercle de centre le centre de $E$ dont on précisera le rayon.

Exercice 14   Une propriété des tangentes aux coniques

Soit $\Gamma$ une conique de foyer $F$, de directrice $D$ et d'excentricité $e$, $M$ un point de $\Gamma$, $H$ son projeté orthogonal sur $D$. On suppose que la tangente à $\Gamma$ en $M$ coupe la directrice $D$ en un point $T$.

1. Montrer que $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{MT}+e^2 \overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{MT}=0$ (on pourra dériver la relation $FM^2-e^2 MH^2=0$).
2. En déduire que les droites $(FM)$ et $(FT)$ sont orthogonales (on pourra calculer le produit scalaire $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FT}$).

Exercice 15   Soit $E$ une ellipse de foyers $F$ et $F'$. Déterminer le lieu des images de $F$ par :

1. les symétries orthogonales par rapport aux tangentes à $E$ ;
2. les projections orthogonales sur les tangentes à $E$.

Exercice 16   Montrer que toute tangente à une hyperbole coupe les asymptotes de cette hyperbole en deux points distincts $R$ et $S$ et que l'aire du triangle $ORS$, où $O$ est le centre de l'hyperbole, ne dépend pas de la tangente considérée.

Exercice 17   Diamètres conjugués d'une hyperbole

Soit $H$ une hyperbole, $O$ son centre et $D$ une droite passant par $O$ et distincte des asymptotes de $H$.

1. Montrer que les milieux des cordes de $H$ parallèles à $D$ appartiennent tous à une même droite $D'$ passant par $O$.
2. Montrer que les milieux des cordes de $H$ parallèles à $D'$ appartiennent tous à $D$.

Exercice 18   Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, $H$ l'hyperbole équilatère d'équation $xy=1$, $A_0$ un point de $H$ de coordonnées $(x_0,y_0)$ et $\Omega$ le symétrique de $A_0$ par rapport à $O$. Le cercle de centre $\Omega$ passant par $A_0$ recoupe en général $H$ en trois points $A_1$, $A_2$, $A_3$.

1. Écrire une équation polynomiale de degré 3 vérifiée par les abscisses $x_1$, $x_2$, $x_3$ des points $A_1$, $A_2$, $A_3$.
2. En déduire, en utilisant les relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme, que $\Omega$ est l'isobarycentre du triangle $A_1A_2A_3$.
3. Soit $T$ un triangle. On suppose que l'isobarycentre de $T$ est aussi le centre du cercle circonscrit à $T$. Montrer que $T$ est équilatéral.
4. Que peut-on dire du triangle $A_1A_2A_3$ ?

Exercice 19   Théorème d'Apollonius pour l'ellipse

Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$, $E$ l'ellipse de représentation paramétrique $x=a\cos t$, $y=b\sin t$.

1. Soit $M_1$ et $M_2$ deux points de $E$ de paramètres respectifs $t_1$ et $t_2$, $M'_1$ et $M'_2$ leurs symétriques par rapport à $O$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $t_1$ et $t_2$ pour que les diamètres $[M_1M'_1]$ et $[M_2M'_2]$ de $E$ soient conjugués.
2. Montrer que l'aire du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués $[OM_1]$ et $[OM_2]$ de $E$ est constante.
3. Montrer que la somme $OM_1^2+OM_2^2$ des carrés des longueurs de deux demi-diamètres conjugués $[OM_1]$ et $[OM_2]$ de $E$ est constante.

Exercice 20   Montrer que l'image d'une ellipse ou d'un cercle par une application affine bijective est une ellipse ou un cercle.

Exercice 21   Ellipse de Steiner d'un triangle

Soit $ABC$ un triangle non aplati et $G$ son centre de gravité. Montrer qu'il existe une ellipse tangente aux trois côtés de ce triangle en leurs milieux et passant par les milieux des segments $[GA]$, $[GB]$ et $[GC]$. (Indication : on se ramènera par une transformation affine au cas où le triangle est équilatéral.)

La figure GeoGebra permet de déformer le triangle $ABC$. C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com

Exercice 22   Soient $(a,b,c)$ et $(a',b',c')$ deux triplets de réels tels que $ab'-ba' \not =0$ et $k$ un réel non nul. Montrer que la courbe d'équation $(ax+by+c)(a'x+b'y+c')=k$ est une hyperbole dont on précisera le centre et les asymptotes.

Exercice 23   Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Montrer que la courbe d'équation $x^2-2xy+y^2+2x-3y+3=0$ est une parabole. Déterminer les coordonnées de son foyer et l'équation de sa directrice.

Exercice 24   Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, $\Gamma$ la conique d'équation $5x^2+8y^2+4xy+16x-8y=16$. Réduire l'équation de $\Gamma$. On donnera les coordonnées du centre, les équations des axes, les longueurs du grand axe et du petit axe, les coordonnées des foyers.

Exercice 25   Soient $D_1$ et $D_2$ deux droites sécantes en un point $O$, $A$ un point de $D_1$ différent de $O$, $B$ un point de $D_2$ différent de $O$. On cherche le lieu des centres des coniques tangentes en $A$ à $D_1$ et en $B$ à $D_2$.

1. On rapporte le plan au repère $(O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$. Donner des conditions nécessaires et suffisantes sur les coefficients $a,b,c,d,e,f$ pour qu'une conique à centre d'équation $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$ soit tangente en $A$ à $D_1$ et en $B$ à $D_2$.
2. En déduire que le centre d'une telle conique appartient à une droite fixe passant par $O$. Interpréter cette droite dans le triangle $OAB$.
3. Reprendre le problème dans le cas où les deux droites $D_1$ et $D_2$ sont parallèles, $A$ étant un point quelconque de $D_1$ et $B$ un point quelconque de $D_2$.

Exercice 26   Montrer que toute courbe de représentation paramétrique

$$\left\{\begin{aligned}x=a\cos t+ b \sin t\\ y=c \cos t + d \sin t\end{aligned} \qquad (t\in[0,2\pi[) \right.$$

où $a,b,c,d$ sont des réels, est une ellipse, un cercle ou un segment de droite de centre l'origine (on pourra, dans le cas où la courbe n'est pas portée par une droite, en écrire une équation cartésienne). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que cette courbe soit un cercle (resp. un segment de droite).

Exercice 27   Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, $\Gamma$ une conique d'équation $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$ et $M_0$, de coordonnées $(x_0,y_0)$, un point de $\Gamma$. Montrer que l'équation de la tangente en $M_0$ à $\Gamma$ s'écrit

$$ax_0 x+b(y_0 x+x_0 y)+cy_0 y+d(x_0+x)+e(y_0+y)+f=0\; .$$