Soit une parabole de foyer et de directrice , un point quelconque de , son projeté orthogonal sur . Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. La tangente en à est la médiatrice de .

2. La normale à en passe par .

3. Le milieu du segment appartient à la tangente au sommet de .

4. La normale en à est parallèle à la droite .

5. Toute droite perpendiculaire à rencontre en un point et un seul.

6. Le symétrique de par rapport à appartient à la tangente au sommet de .

7. Le symétrique de par rapport à toute tangente à appartient à .

1. Par 4 points du plan tels que 3 d'entre eux ne soient jamais alignés, il passe une ellipse et une seule.
2. Il passe par les sommets de tout rectangle non aplati une ellipse et une seule.
3. Soient et deux points distincts. Par tout point du plan n'appartenant pas au segment , il passe une ellipse de foyers et et une seule.
4. Soit une ellipse. Pour toute droite du plan, il existe une tangente à parallèle à cette droite.
5. Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, l'ellipse de représentation paramétrique . Le paramètre d'un point de est une mesure de l'angle .
6. Le disque fermé délimité par le cercle principal d'une ellipse est l'unique disque de rayon minimal contenant l'ellipse.
7. Le projeté orthogonal d'un cercle de l'espace sur un plan est un cercle si et seulement si le plan du cercle est parallèle au plan de projection.

1. Pour toute hyperbole, il existe un repère orthonormé dans lequel l'hyperbole a une équation de la forme .
2. Pour toute hyperbole, il existe un repère orthonormé dans lequel l'hyperbole a une équation de la forme .
3. Le segment joignant les foyers d'une hyperbole ne rencontre pas l'hyperbole.
4. Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soient des réels tels que . La courbe d'équation est une hyperbole équilatère.
5. Pour toute hyperbole, il existe un repère normé ( ) et un réel non nul tels que l'équation de l'hyperbole dans ce repère soit .
6. Pour toute hyperbole, il existe un repère normé ( ) tel que l'équation de l'hyperbole dans ce repère soit .
7. Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, l'hyperbole d'équation . La demi-distance focale de vérifie .
8. Le plan est rapporté à un repère orthonormé. L'équation est celle d 'une hyperbole d'axe focal si et seulement si .
9. Soit une hyperbole. Pour toute droite du plan, il existe une tangente à parallèle à cette droite.
10. Soit une hyperbole. Pour toute droite du plan non parallèle à l'une des asymptotes de , il existe une tangente à parallèle à cette droite.

1. L'image d'une hyperbole par une homothétie est une hyperbole de même excentricité.
2. L'image d'une ellipse par une affinité orthogonale est toujours un cercle.
3. L'image d'une ellipse par une affinité orthogonale est une ellipse de même excentricité.
4. L'image d'une conique par une affinité orthogonale est toujours une conique.
5. Le cercle est la seule conique à posséder plus de deux axes de symétrie orthogonale.
6. Une conique non dégénérée ne peut posséder deux centres de symétrie.
7. L'image d'une parabole par une symétrie centrale est une parabole.

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. Si deux ellipses ont les mêmes foyers, l'une des deux est incluse dans l'intérieur de l'autre.

2. Si une ellipse et une hyperbole ont les mêmes foyers, elles ne se coupent pas.

3. Deux ellipses distinctes se coupent en au plus deux points.

4. Si deux ellipses distinctes ont en commun un foyer et la directrice associée, elles ne se coupent pas.

5. Si deux ellipses ont les mêmes foyers, elles ont le même centre.

6. Si deux ellipses ont en commun un foyer et la directrice associée, elles ont même centre.

7. Si une ellipse et une hyperbole ont en commun un foyer et la directrice associée, elles ne se coupent pas.

8. Si une droite coupe une ellipse en exactement un point, elle est tangente à l'ellipse en ce point.

9. Une droite coupe une hyperbole en au plus deux points.

10. Si une droite coupe une hyperbole en un point exactement, elle est tangente à l'hyperbole en ce point.

Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormal, une conique non vide et non dégénérée d'équation . Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. Si , est une parabole.
2. Si est une ellipse, alors .
3. Si , alors est un cercle.
4. Si , alors est une hyperbole.
5. Si , alors est une parabole.
6. Si est une parabole, alors ou .
7. Si , alors est une hyperbole.
8. Si est une ellipse, alors et sont de même signe.
9. Si , alors est une conique à centre.

1. La conique d'équation est une droite double.
2. La conique d'équation est réunion de deux droites sécantes.
3. La conique d'équation est vide.
4. La conique d'équation est réunion de deux droites parallèles.
5. La conique d'équation est vide.
6. La conique d'équation est une droite double.
7. La conique d'équation est réunion de deux droites.