Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $P$ une parabole de foyer $F$ et de directrice $D$, $M$ un point quelconque de $P$, $H$ son projeté orthogonal sur $D$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$La tangente en $M$ à $P$ est la médiatrice de $[HF]$.

2. $\square\;$La normale à $P$ en $M$ passe par $F$.

3. $\boxtimes\;$Le milieu du segment $[HF]$ appartient à la tangente au sommet de $P$.

4. $\boxtimes\;$La normale en $M$ à $P$ est parallèle à la droite $(HF)$.

5. $\boxtimes\;$Toute droite perpendiculaire à $D$ rencontre $P$ en un point et un seul.

6. $\square\;$Le symétrique de $M$ par rapport à $(HF)$ appartient à la tangente au sommet de $P$.

7. $\boxtimes\;$Le symétrique de $F$ par rapport à toute tangente à $P$ appartient à $D$.

Vrai-Faux 2   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$Par 4 points du plan tels que 3 d'entre eux ne soient jamais alignés, il passe une ellipse et une seule.
2. $\square\;$Il passe par les sommets de tout rectangle non aplati une ellipse et une seule.
3. $\boxtimes\;$Soient $F$ et $F'$ deux points distincts. Par tout point du plan n'appartenant pas au segment $[FF']$, il passe une ellipse de foyers $F$ et $F'$ et une seule.
4. $\boxtimes\;$Soit $E$ une ellipse. Pour toute droite du plan, il existe une tangente à $E$ parallèle à cette droite.
5. $\square\;$Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, $E$ l'ellipse de représentation paramétrique $x=a\cos t, \; y=b \sin t$. Le paramètre $t$ d'un point $M$ de $E$ est une mesure de l'angle $(Ox,\overrightarrow{OM})$.
6. $\boxtimes\;$Le disque fermé délimité par le cercle principal d'une ellipse est l'unique disque de rayon minimal contenant l'ellipse.
7. $\boxtimes\;$Le projeté orthogonal d'un cercle de l'espace sur un plan est un cercle si et seulement si le plan du cercle est parallèle au plan de projection.

Vrai-Faux 3   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$Pour toute hyperbole, il existe un repère orthonormé dans lequel l'hyperbole a une équation de la forme $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$.
2. $\square\;$Pour toute hyperbole, il existe un repère orthonormé dans lequel l'hyperbole a une équation de la forme $xy=k$.
3. $\square\;$Le segment joignant les foyers d'une hyperbole ne rencontre pas l'hyperbole.
4. $\boxtimes\;$Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soient $a,b,c,d$ des réels tels que $ad-bc\not =0$. La courbe d'équation $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ est une hyperbole équilatère.
5. $\boxtimes\;$Pour toute hyperbole, il existe un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ normé ( $\Vert\vec{i}\Vert=\Vert\vec{j}\Vert=1$) et un réel $k$ non nul tels que l'équation de l'hyperbole dans ce repère soit $xy=k$.
6. $\square\;$Pour toute hyperbole, il existe un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ normé ( $\Vert\vec{i}\Vert=\Vert\vec{j}\Vert=1$) tel que l'équation de l'hyperbole dans ce repère soit $xy=1$.
7. $\square\;$Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, $H$ l'hyperbole d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$. La demi-distance focale $c$ de $H$ vérifie $a^2=b^2+c^2$.
8. $\square\;$Le plan est rapporté à un repère orthonormé. L'équation $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ est celle d 'une hyperbole d'axe focal $Ox$ si et seulement si $a>b$.
9. $\square\;$Soit $H$ une hyperbole. Pour toute droite du plan, il existe une tangente à $H$ parallèle à cette droite.
10. $\square\;$Soit $H$ une hyperbole. Pour toute droite du plan non parallèle à l'une des asymptotes de $H$, il existe une tangente à $H$ parallèle à cette droite.

Vrai-Faux 4   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ L'image d'une hyperbole par une homothétie est une hyperbole de même excentricité.
2. $\square\;$ L'image d'une ellipse par une affinité orthogonale est toujours un cercle.
3. $\square\;$ L'image d'une ellipse par une affinité orthogonale est une ellipse de même excentricité.
4. $\boxtimes\;$ L'image d'une conique par une affinité orthogonale est toujours une conique.
5. $\boxtimes\;$ Le cercle est la seule conique à posséder plus de deux axes de symétrie orthogonale.
6. $\boxtimes\;$ Une conique non dégénérée ne peut posséder deux centres de symétrie.
7. $\boxtimes\;$ L'image d'une parabole par une symétrie centrale est une parabole.

Vrai-Faux 5  

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$Si deux ellipses ont les mêmes foyers, l'une des deux est incluse dans l'intérieur de l'autre.

2. $\square\;$Si une ellipse et une hyperbole ont les mêmes foyers, elles ne se coupent pas.

3. $\square\;$Deux ellipses distinctes se coupent en au plus deux points.

4. $\boxtimes\;$Si deux ellipses distinctes ont en commun un foyer et la directrice associée, elles ne se coupent pas.

5. $\boxtimes\;$Si deux ellipses ont les mêmes foyers, elles ont le même centre.

6. $\square\;$Si deux ellipses ont en commun un foyer et la directrice associée, elles ont même centre.

7. $\boxtimes\;$Si une ellipse et une hyperbole ont en commun un foyer et la directrice associée, elles ne se coupent pas.

8. $\boxtimes\;$Si une droite coupe une ellipse en exactement un point, elle est tangente à l'ellipse en ce point.

9. $\boxtimes\;$Une droite coupe une hyperbole en au plus deux points.

10. $\square\;$Si une droite coupe une hyperbole en un point exactement, elle est tangente à l'hyperbole en ce point.

Vrai-Faux 6   Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormal, $\Gamma$ une conique non vide et non dégénérée d'équation $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$Si $a=0$, $\Gamma$ est une parabole.
2. $\boxtimes\;$Si $\Gamma$ est une ellipse, alors $ac-b^2>0$.
3. $\square\;$Si $a=c$, alors $\Gamma$ est un cercle.
4. $\boxtimes\;$Si $ac-b^2<0$, alors $\Gamma$ est une hyperbole.
5. $\boxtimes\;$Si $b=c=0$, alors $\Gamma$ est une parabole.
6. $\square\;$Si $\Gamma$ est une parabole, alors $a=b=0$ ou $b=c=0$.
7. $\boxtimes\;$Si $a=c=0$, alors $\Gamma$ est une hyperbole.
8. $\boxtimes\;$Si $\Gamma$ est une ellipse, alors $a$ et $c$ sont de même signe.
9. $\boxtimes\;$Si $ac-b^2 \not =0$, alors $\Gamma$ est une conique à centre.

Vrai-Faux 7   Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$La conique d'équation $4x^2+4xy+y^2-4x-2y+4=0$ est une droite double.
2. $\boxtimes\;$La conique d'équation $3x^2-7xy+2y^2-5x-2=0$ est réunion de deux droites sécantes.
3. $\square\;$La conique d'équation $4x^2+4xy+y^2-4x-2y+1=0$ est vide.
4. $\boxtimes\;$La conique d'équation $x^2-4xy+4y^2+4x-8y+3=0$ est réunion de deux droites parallèles.
5. $\square\;$La conique d'équation $x^2+y^2-2x+6y+10=0$ est vide.
6. $\boxtimes\;$La conique d'équation $4x^2+4xy+y^2-4x-2y+1=0$ est une droite double.
7. $\square\;$La conique d'équation $3x^2-7xy+2y^2-5x-1=0$ est réunion de deux droites.