Matrices et applications linéaires

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie, munis respectivement des bases $(b_1,\ldots,b_n)$ et $(c_1,\ldots,c_m)$.
Une application linéaire $f$ est déterminée par les images des vecteurs $b_1,\dots,b_n$. Ces images sont des combinaisons linéaires $c_1,\ldots,c_m$ : pour tout $j=1,\ldots,n$,

$$f(b_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j} c_i\;.$$

Les coordonnées $a_{i,j}$ de ces vecteurs dans la base $(c_1,\ldots,c_m)$, rangés en $n$ colonnes, forment la matrice de l'application $f$, relative aux bases considérées.

$$\begin{array}{ccccc\vert cl} \multicolumn{5}{c\vert}{\mbox{d... ...dots&\\ a_{m,1}&\cdots&a_{m,j}&\cdots&a_{m,n}&c_m& \end{array}$$

Les opérations sur les applications linéaires se traduisent en des opérations analogues sur les matrices. Soient $f$, $g$ deux applications linéaires de $E$ dans $F$ et $\lambda$, $\mu$ deux réels. Si les matrices de $f$ et $g$ (relatives aux mêmes bases au départ et à l'arrivée) sont $A$ et $B$, alors la matrice de $\lambda f+\mu g$ est $\lambda A+\mu B$. La composée de deux applications linéaires est encore une application linéaire. Sa matrice est le produit des matrices de $f$ et $g$.

Proposition 4   Soient $E,F,G$ trois espaces vectoriels, $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$ et $g$ une application linéaire de $F$ dans $G$.

$$\begin{array}{ccccl} &f&&g&\\ E&\longrightarrow&F&\longrigh... ...\longmapsto&f(u)&\longmapsto&g\circ f(u)=g(f(u))\;. \end{array}$$

Soient $(b_1,\ldots,b_n)$ une base de $E$, $(c_1,\ldots,c_m)$ une base de $F$ et $(d_1,\ldots,d_p)$ une base de $G$.
Soit $A$ la matrice de $f$ relative aux bases $(b_1,\ldots,b_n)$ et $(c_1,\ldots,c_m)$.
Soit $B$ la matrice de $g$ relative aux bases $(c_1,\ldots,c_m)$ et $(d_1,\ldots,d_p)$. Alors la matrice de $g\circ f$ relative aux bases $(b_1,\ldots,b_n)$ et $(d_1,\ldots,d_p)$ est le produit $BA$.

Remarquez que l'ordre dans lequel s'effectue le produit est l'ordre dans lequel s'écrit la composition.

   matrice de $$g\circ f = ($$matrice de $$g) ($$matrice de $$f)\;.$$

Démonstration : L'image par $g\circ f$ des vecteurs $b_1,\ldots,b_n$ se calcule en prenant l'image par $g$ des vecteurs $f(b_1),\ldots,f(b_n)$. On calcule les coordonnées de ces images dans la base $(d_1,\ldots,d_p)$ en effectuant le produit par la matrice de $g$, des vecteurs exprimant $f(b_1),\ldots,f(b_n)$ dans la base $(c_1,\ldots,c_m)$, qui sont les vecteurs colonnes de $A$. Effectuer successivement le produit de $B$ par chacun des vecteurs colonnes de $A$ revient à calculer le produit de $B$ par $A$. $\square$

Pour les endomorphismes (les espaces de départ et d'arrivée sont les mêmes), nous conviendrons toujours de choisir la même base au départ et à l'arrivée.

Proposition 5   Soit $E$ un espace vectoriel, muni de la base $(b_1,\ldots,b_n)$, et $f$ une application linéaire de $E$ dans lui-même. L'application $f$ est un automorphisme si et seulement si la matrice de $f$ dans la base $(b_1,\ldots,b_n)$ est inversible. Si c'est le cas, la matrice de $f^{-1}$ est l'inverse de la matrice de $f$.

Démonstration : Observons d'abord que la matrice de l'application identique est la matrice identité, quelle que soit la base. Si l'application $f$ est bijective, alors sa réciproque $f^{-1}$ est l'unique application dont la composée avec $f$ est l'application identique.

$$f^{-1}\circ f = f\circ f^{-1} =I_E\;.$$

Si $A$ est la matrice de $f$ et $B$ la matrice de $f^{-1}$, la proposition 4 entraîne que $A B=B A=I_n$.

Réciproquement si $A$ est inversible, alors $A^{-1}$ définit une application linéaire unique de $E$ dans $E$. La composée de cette application avec $f$ a pour matrice $I_n$ : c'est l'application identique. Donc cette application est la réciproque de $f$. $\square$

Un automorphisme de $E$ est une application linéaire qui envoie une base de $E$ sur une autre base. Effectuer un changement de base (remplacer une base par une autre) revient à prendre l'image par l'automorphisme qui envoie la nouvelle base sur l'ancienne, donc le produit par la matrice de cet automorphisme.

Proposition 6   Soit $E$ un espace vectoriel. Soient $(b_1,\ldots,b_n)$ et $(c_1,\ldots,c_n)$ deux bases de $E$. Notons $P$ la matrice dans la base $(b_1,\ldots,b_n)$ de l'application qui à $b_i$ associe $c_i$ (nouveaux vecteurs en fonction des anciens). Soient $x_1,\ldots,x_n$ les coordonnées de $v$ dans la base $(b_1,\ldots,b_n)$ (anciennes) et $y_1,\ldots,y_n$ les coordonnées de $v$ dans la base $(c_1,\ldots,c_n)$ (nouvelles).

$$v=x_1 b_1+\cdots+x_n b_n=y_1 c_1+\cdots+y_n c_n\;.$$

Alors le vecteur $(y_j)_{j=1,\ldots, n}$ est le produit de la matrice $P^{-1}$ par le vecteur $(x_i)_{i=1,\ldots, n}$.

$$\left(\begin{array}{c} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{array}\right) = P^{-1} \left(\begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array}\right) \;.$$

Démonstration : Notons $\phi$ l'automorphisme de $E$ qui à $b_i$ associe $c_i$, pour tout $i=1,\ldots,n$. Ecrivons :

$$v = y_1 c_1+\cdots+y_n c_n$$

$$= y_1 \phi(b_1)+\cdots+y_n \phi(b_n)\;.$$

Par définition, les coordonnées de $\phi(b_j)$ dans la base $b_i$ forment la $j$-ième colonne de la matrice $P=(p_{i,j})$. Donc :

$$v = \displaystyle{ \sum_{j=1}^n y_j \left(\sum_{i=1}^n p_{i,j} b_i\right)}$$

$$= \displaystyle{ \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n p_{i,j} y_j\right) b_i}$$

Comme les coordonnées dans la base $(b_1,\ldots,b_n)$ sont uniques, on en déduit, pour tout $i=1,\ldots,n$ :

$$x_i = \sum_{j=1}^n p_{i,j} y_j\;,$$

donc $(x_i)=P(y_j)$, d'où le résultat en multipliant à gauche par $P^{-1}$.$\square$

La matrice $P$ s'appelle la matrice de passage. Dans un changement de base, nous conviendrons toujours de noter $P$ la matrice qui donne les nouveaux vecteurs en fonction des anciens. Voici un exemple. Munissons $E=\mathbb{R}^3$, des deux bases suivantes.

$$(b_1,b_2,b_3)=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$$   et$$\quad (c_1,c_2,c_3)=((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1))\;.$$

Voici la matrice de passage $P$ et son inverse.

$$P = \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\... ...-1} = \left(\begin{array}{rrr} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{array}\right)\;.$$

Si un vecteur $v$ a pour coordonnées $x,y,z$ dans la base canonique $(b_1,b_2,b_3)$, alors ses coordonnées dans la base $(c_1,c_2,c_3)$ s'obtiennent en effectuant le produit :

$$\left(\begin{array}{rrr} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{array}\ri... ...\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x-y\\ y-z\\ z \end{array}\right)$$

Constatez que :

$$(x-y)(1,0,0)+(y-z)(1,1,0)+z(1,1,1)=(x,y,z)\;.$$

On peut appliquer ce qui précède pour trouver la matrice d'un endomorphisme quelconque dans la nouvelle base : c'est la formule de changement de base.

Théorème 2   Soit $E$ un espace vectoriel, soient $(b_1,\ldots,b_n)$ et $(c_1,\ldots,c_n)$ deux bases de $E$. Soit $f$ un endomorphisme de $E$, et $A$ sa matrice dans la base $(b_1,\ldots,b_n)$. Soit $P$ la matrice de l'application linéaire qui à $b_i$ associe $c_i$, pour tout $i=1,\ldots,n$.

La matrice de $f$ dans la base $(c_1,\ldots,c_n)$ est $P^{-1} A P$.

Démonstration : Notons $\phi$ l'application qui à $b_i$ associe $c_i$. La matrice de $f$ dans la base $(c_1,\ldots,c_n)$ a pour vecteurs colonnes les images des vecteurs $c_1,\ldots,c_n$. Pour calculer $f(c_i)$, on peut calculer $f(\phi(b_i))=f\circ\phi(b_i)$. Donc les coordonnées des vecteurs $f(c_i)$ dans la base $(b_1,\ldots,b_n)$ sont les colonnes de la matrice de $f\circ \phi$, qui est $AP$. D'après la proposition 6, pour obtenir les coordonnées de ces vecteurs dans la base $(c_1,\ldots,c_n)$, il faut multiplier à gauche par la matrice $P^{-1}$, d'où le résultat.$\square$

Reprenons l'exemple en dimension 3 des deux bases :

$$(b_1,b_2,b_3)=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$$   et$$\quad (c_1,c_2,c_3)=((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1))\;.$$

Considérons l'application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ définie par :

$$f\;:\quad(x,y,z)\longmapsto (x-z,2x-3y+z,y-2z)\;.$$

Sa matrice dans la base canonique $(b_1,b_2,b_3)$ est :

$$A = \left(\begin{array}{rrr} 1&0&-1\\ 2&-3&1\\ 0&1&-2 \end{array}\right)$$

La matrice de $f$ dans la base $(c_1,c_2,c_3)$ est :

$$P^{-1}AP = \left(\begin{array}{rrr} -1&2&0\\ 2&-2&1\\ 0&1&-1 \end{array}\right)$$

L'image par $f$ du vecteur $c_2=(1,1,0)$ est le vecteur $(1,-1,1)=2c_1-2c_2+c_3$. Les coordonnées $2,-2,1$ figurent dans la seconde colonne de $P^{-1}AP$.

Définition 5   Deux matrices $A$ et $B$ de ${\cal M}_n$ sont dites semblables si et seulement si il existe une matrice inversible $P\in{\cal M}_n$ telle que :

$$B=P^{-1}AP\;.$$

Le théorème 2 affirme que deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes. Il se généralise à des applications linéaires quelconques, comme suit.

Théorème 3   Soit $E$ un espace vectoriel, soient $(b_1,\ldots,b_n)$ et $(b'_1,\ldots,b'_n)$ deux bases de $E$. Soit $F$ un autre espace vectoriel, soient $(c_1,\ldots,c_m)$ et $(c'_1,\ldots,c'_m)$ deux bases de $F$. Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$, et $A\in{\cal M}_{m,n}$ sa matrice relative aux bases $(b_1,\ldots,b_n)$ et $(c_1,\ldots,c_m)$. Soit $P\in{\cal M}_n$ la matrice de l'application linéaire qui à $b_i$ associe $b'_i$, pour tout $i=1,\ldots,n$. Soit $Q\in{\cal M}_m$ la matrice de l'application linéaire qui à $c_i$ associe $c'_i$, pour tout $i=1,\ldots,n$.

La matrice de $f$ relative aux bases $(b'_1,\ldots,b'_n)$ et $(c'_1,\ldots,c'_n)$ est $Q^{-1} A P$.

La démonstration est pratiquement la même que celle du théorème 2, avec des notations plus lourdes. Nous l'omettons.

Définition 6   Deux matrices $A$ et $B$ de ${\cal M}_{m,n}(\mathbb{R})$ sont dites équivalentes si et seulement si il existe deux matrices inversibles $P\in{\cal M}_n$ et $Q\in{\cal M}_m$ telles que :

$$B=Q^{-1}AP\;.$$

Le théorème 3 affirme que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles peuvent représenter la même application linéaire, à un changement de base près dans les espaces de départ et d'arrivée.