Soient
et
deux espaces vectoriels de dimension finie,
munis respectivement des bases
et
.
Une application linéaire
est
déterminée par les images des vecteurs
. Ces images
sont des combinaisons linéaires
: pour tout
,
Les
coordonnées
de ces vecteurs dans la base
,
rangés en
colonnes, forment la matrice de l'application
,
relative aux bases considérées.
Les opérations sur les applications linéaires se traduisent
en des opérations analogues sur les matrices.
Soient
,
deux applications linéaires de
dans
et
,
deux réels. Si les matrices de
et
(relatives aux mêmes bases au départ et à l'arrivée) sont
et
, alors la matrice de
est
. La composée de deux applications linéaires
est encore une application linéaire.
Sa matrice est le produit des matrices de
et
.
Remarquez que l'ordre dans lequel s'effectue le produit est l'ordre dans
lequel s'écrit la composition.
matrice de

matrice de

matrice de
Démonstration : L'image par
des vecteurs
se calcule en
prenant l'image par
des vecteurs
. On
calcule les coordonnées de ces images dans la base
en effectuant le produit par la matrice de
,
des vecteurs exprimant
dans la base
, qui sont les vecteurs colonnes de
. Effectuer
successivement le produit de
par chacun des vecteurs colonnes de
revient à calculer le produit de
par
.
Pour les endomorphismes (les espaces de départ et d'arrivée sont les
mêmes), nous conviendrons toujours de choisir la même base au
départ et à l'arrivée.
Proposition 5
Soit
un espace vectoriel, muni de la base
, et
une application linéaire de
dans lui-même. L'application
est un automorphisme si et seulement si la matrice de
dans la
base
est inversible. Si c'est le cas, la matrice
de
est l'inverse de la matrice de
.
Démonstration : Observons d'abord que la matrice de l'application identique est la
matrice identité, quelle que soit la base. Si l'application
est
bijective, alors sa réciproque
est l'unique application dont la
composée avec
est l'application identique.
Si
est la matrice de
et
la matrice de
, la proposition
4
entraîne que
.
Réciproquement si
est
inversible, alors
définit une application linéaire unique
de
dans
. La composée de cette application avec
a pour
matrice
: c'est l'application identique. Donc cette application
est la réciproque de
.
Un automorphisme de
est une application linéaire qui envoie une
base de
sur une autre base.
Effectuer un changement de base (remplacer une base par une autre)
revient à prendre l'image par l'automorphisme qui envoie la nouvelle
base sur l'ancienne, donc le produit par la matrice de cet
automorphisme.
Démonstration : Notons
l'automorphisme de
qui à
associe
, pour
tout
. Ecrivons :
Par définition, les coordonnées de
dans la base
forment la
-ième colonne de la matrice
. Donc :
Comme les coordonnées dans la base
sont
uniques, on en déduit, pour tout
:
donc
, d'où le résultat en multipliant à
gauche par
.
La matrice
s'appelle la matrice de passage. Dans un changement de
base, nous conviendrons toujours de noter
la matrice qui donne les
nouveaux vecteurs en fonction des anciens. Voici un exemple. Munissons
, des deux bases suivantes.

et
Voici la matrice de passage
et son inverse.
Si un vecteur
a pour coordonnées
dans la base canonique
, alors ses coordonnées dans la base
s'obtiennent en effectuant le produit :
Constatez que :
On peut appliquer ce qui précède pour trouver la matrice d'un
endomorphisme quelconque dans la nouvelle base : c'est
la formule de changement de base.
Démonstration : Notons
l'application qui à
associe
.
La matrice de
dans la base
a pour vecteurs
colonnes les images des vecteurs
. Pour calculer
, on peut calculer
. Donc les coordonnées des vecteurs
dans la base
sont les colonnes de la
matrice de
, qui est
. D'après la proposition
6, pour obtenir les coordonnées
de ces vecteurs dans la base
, il faut multiplier
à gauche par la matrice
, d'où le résultat.
Reprenons l'exemple en dimension 3 des deux bases :

et
Considérons l'application de
dans
définie par :
Sa matrice dans la base canonique
est :
La matrice de
dans la base
est :
L'image par
du vecteur
est le vecteur
. Les coordonnées
figurent dans
la seconde colonne de
.
Le théorème 2 affirme que deux matrices
sont semblables si et seulement si elles représentent le même
endomorphisme dans des bases différentes. Il se généralise à
des applications linéaires quelconques,
comme suit.
La démonstration est pratiquement la même que celle du théorème
2, avec des notations plus lourdes. Nous
l'omettons.
Le théorème 3 affirme que deux matrices
sont équivalentes si et seulement si elles peuvent représenter la
même application linéaire,
à un changement de base près dans les espaces de
départ et d'arrivée.
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