Matrices carrées

En général si le produit $AB$ est défini, le produit $BA$ n'a aucune raison de l'être. Le produit d'une matrice par sa transposée est une exception, les matrices carrées en sont une autre : si $A$ et $B$ sont deux matrices à $n$ lignes et $n$ colonnes, les produits $AB$ et $BA$ sont tous deux définis et ils ont les mêmes dimensions que $A$ et $B$. En général ils ne sont pas égaux. Par exemple,

$$\begin{array}{rr} & \left( \begin{array}{rr} 0&-1\\ 1&0 \en... ...t( \begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1 \end{array}\right) \end{array}$$

Nous noterons simplement ${\cal M}_n$ l'ensemble ${\cal M}_{n,n}(\mathbb{R})$ des matrices carrées à $n$ lignes et $n$ colonnes, à coefficients réels. Parmi elles la matrice identité, notée $I_n$ joue un rôle particulier.

$$I_n= \left( \begin{array}{ccccc} 1&0&\cdots&\cdots&0\\ 0&1&... ... \vdots&&\ddots&1&0\\ 0&\cdots&\cdots&0&1 \end{array}\right)$$

En effet, elle est l'élément neutre du produit matriciel : pour toute matrice $A\in{\cal M}_{n,m}(\mathbb{R})$,

$$A I_n = I_m A = A\;.$$

On le vérifie facilement à partir de la définition 1.

Définition 4   Soit $A$ une matrice de ${\cal M}_n$. On dit que $A$ est inversible s'il existe une matrice de ${\cal M}_n$, notée $A^{-1}$, telle que

$$A A^{-1} = A^{-1} A = I_n\;.$$

Par exemple :

$$\left( \begin{array}{rrr} 1&0&-1\\ 1&-1&0\\ 1&-1&1 \end{ar... ... \begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right)$$

Nous verrons plus loin une méthode qui permet de savoir si une matrice est inversible, et de calculer son inverse quand elle l'est. Observons que l'inverse, s'il existe, est nécessairement unique. En effet, soient $B_1$ et $B_2$ deux matrices telles que $A B_1=B_1 A=I_n$ et $A B_2=B_2 A=I_n$. En utilisant l'associativité, le produit $B_1 A B_2$ vaut $B_1 (A B_2)=B_1 I_n=B_1$, mais aussi $(B_1 A) B_2=I_n B_2=B_2$. Donc $B_1=B_2$.

Il suffit de trouver une matrice $B$ telle que $A B=I_n$ pour être sûr que $A$ est inversible et que son inverse est $B$.

Théorème 1   Soit $A$ une matrice de ${\cal M}_n$. Supposons qu'il existe une matrice $B$ telle que $A B=I_n$ ou bien $B A=I_n$. Alors $A$ est inversible et $B=A^{-1}$.

Démonstration : Supposons qu'il existe une matrice $B$ telle que $A B=I_n$. Considérons l'application, de ${\cal M}_n$ dans lui-même, qui à une matrice $X$ associe le produit $X A$. D'après le point 3 de la proposition 1, c'est une application linéaire, donc un endomorphisme de l'espace vectoriel ${\cal M}_n$. Montrons qu'elle est injective, c'est-à-dire que son noyau ne contient que la matrice nulle. Si $X A=0$, alors $(X A) B=0$, mais $(X A) B=X (A B)=X I_n=X$ par hypothèse : donc $X=0$. Une application linéaire entre deux espaces de même dimension qui est injective est aussi surjective. Donc il existe une matrice $X$ telle que $X A=I_n$. Il reste à vérifier que cette matrice est $B$. Si $X A=A B=I_n$, alors $X (A B)=X$ et $(X A) B=B$. D'où le résultat.

On procède de façon symétrique si $B A=I_n$, en considérant l'application qui à $X$ associe $A X$.$\square$

Si $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles de ${\cal M}_n$, leur produit est inversible.

Proposition 3   Soient $A$ et $B$ deux matrices inversibles de ${\cal M}_n$. Le produit $AB$ est inversible et son inverse est $B^{-1}A^{-1}$.

Démonstration : Nous utilisons le théorème 1, ainsi que l'associativité du produit :

$$(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}I_nB=B^{-1}B=I_n\;.$$

$\square$