Opérations sur les matrices

Etant donnés deux entiers $m$ et $n$ strictement positifs, une matrice à $m$ lignes et $n$ colonnes est un tableau rectangulaire de réels $A=(a_{i,j})$. L'indice de ligne $i$ va de $1$ à $m$, l'indice de colonne $j$ va de $1$ à $n$.

$$A=(a_{i,j}) = \left( \begin{array}{ccccc} a_{1,1}&\cdots&a_{... ... a_{m,1}&\cdots&a_{m,j}&\cdots&a_{m,n} \end{array}\right) \;.$$

Les entiers $m$ et $n$ sont les dimensions de la matrice, $a_{i,j}$ est son coefficient d'ordre $(i,j)$. L'ensemble des matrices à $m$ lignes et $n$ colonnes et à coefficients réels est noté ${\cal M}_{m,n}(\mathbb{R})$. Ce qui suit s'applique aussi, si on remplace $\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$, à l'ensemble des matrices à coefficients complexes.

L'ensemble ${\cal M}_{m,n}(\mathbb{R})$ est naturellement muni d'une addition interne (on peut ajouter deux matrices de mêmes dimensions terme à terme) et d'une multiplication externe (on peut multiplier une matrice par un réel terme à terme).

$\bullet$

Addition : Si $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$ sont deux matrices de ${\cal M}_{m,n}(\mathbb{R})$, leur somme $A+B$ est la matrice $(a_{i,j}+b_{i,j})$. Par exemple :

$$\left( \begin{array}{rr} 1&1\\ 2&3\\ 1&-1 \end{array}\righ... ...n{array}{rr} -2&\hspace{3mm}2\\ 7&0\\ 1&1 \end{array}\right)$$

$\bullet$

Multiplication externe : Si $A=(a_{i,j})$ est une matrice de ${\cal M}_{m,n}(\mathbb{R})$, et $\lambda$ est un réel, le produit $\lambda A$ est la matrice $(\lambda a_{i,j})$. Par exemple :

$$-2 \left( \begin{array}{rr} 1&1\\ 2&3\\ 1&-1 \end{array}... ...t( \begin{array}{rr} -2&-2\\ -4&-6\\ -2&2 \end{array}\right)$$

Observons que les opérations auraient le même effet si les matrices étaient disposées comme des $mn$-uplets de réels (toutes les lignes étant concaténées par exemple). Donc ${\cal M}_{m,n}(\mathbb{R})$, muni de son addition et de sa multiplication externe, est un espace vectoriel, isomorphe à $\mathbb{R}^{mn}$. La base canonique de ${\cal M}_{m,n}(\mathbb{R})$ est formée des matrices dont tous les coefficients sont nuls, sauf un qui vaut $1$. L'opération la plus importante est le produit matriciel.

Définition 1   Soient $m,n,p$ trois entiers strictement positifs. Soit $A=(a_{i,j})$ une matrice de ${\cal M}_{m,n}(\mathbb{R})$ et soit $B=(b_{j,k})$ une matrice de ${\cal M}_{n,p}(\mathbb{R})$. On appelle produit matriciel de $A$ par $B$ la matrice $C\in {\cal M}_{m,p}(\mathbb{R})$ dont le terme général $c_{i,k}$ est défini, pour tout $i=1,\ldots,m$ et pour tout $k\in 1,\ldots,p$ par :

$$c_{i,k} = \sum_{j=1}^n a_{i,j} b_{j,k}\;.$$

Nous insistons sur le fait que le produit $AB$ de deux matrices n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ et le nombre de lignes de $B$ sont les mêmes. Observons d'abord que la définition 1 est cohérente avec la définition du produit d'une matrice par un vecteur, donnée au chapitre précédent : si $p=1$, la matrice $B$ a $n$ lignes et $1$ colonne, et le produit $AB$ a $m$ lignes et $1$ colonne. D'autre part, appliquer la définition 1 revient à effectuer successivement le produit de $A$ par chacune des colonnes de $B$. Pour effectuer ce produit, nous conseillons d'adopter la même disposition que pour le produit par un vecteur, en plaçant $B$ au-dessus et à droite de $A$.

$$\begin{array}{cc} & \left( \begin{array}{ccccc} b_{1,1}&\cdo... ...}&\\ &&&&\\ c_{m,1}&&&&c_{m,p} \end{array}\right) \end{array}$$

Posons par exemple :

$$A= \left( \begin{array}{rr} 1&1\\ 2&3\\ 1&-1 \end{array}\r... ...egin{array}{rrrr} 0&1&-1&-2\\ -3&-2&0&1 \end{array}\right)\;.$$

La matrice $A$ a 3 lignes et 2 colonnes, la matrice $B$ a 2 lignes et 4 colonnes. Le produit $AB$ a donc un sens : c'est une matrice à 3 lignes et 4 colonnes.

$$\begin{array}{ll} &\left( \begin{array}{rrrr} 0&1&-1&-2\\ -... ...1&-1\\ -9&-4&-2&-1\\ 3&3&-1&-3 \end{array}\right) \end{array}$$

Le produit matriciel a toutes les propriétés que l'on attend d'un produit, sauf qu'il n'est pas commutatif.

Proposition 1   Le produit matriciel possède les propriétés suivantes.

1. Associativité : Si les produits $AB$ et $BC$ sont définis, alors les produits $A(BC)$ et $(AB)C$ le sont aussi et ils sont égaux.
   $$A(BC)=(AB)C\;.$$

2. Linéarité à droite : Si $B$ et $C$ sont deux matrices de mêmes dimensions, si $\lambda$ et $\mu$ sont deux réels et si $A$ a autant de colonnes que $B$ et $C$ ont de lignes, alors
   $$A(\lambda B+\mu C) = \lambda AB+\mu AC\;.$$

3. Linéarité à gauche : Si $A$ et $B$ sont deux matrices de mêmes dimensions, si $\lambda$ et $\mu$ sont deux réels et si $C$ a autant de lignes que $A$ et $B$ ont de colonnes, alors
   $$(\lambda A+\mu B)C = \lambda AC+\mu BC\;.$$

Ces propriétés se démontrent à partir de la définition 1. La transposition est une notion importante, dont la justification provient de la dualité, qui dépasse le cadre de ce cours.

Définition 2   Étant donnée une matrice $A=(a_{i,j})$ de ${\cal M}_{m,n}(\mathbb{R})$, sa transposée est la matrice de ${\cal M}_{n,m}(\mathbb{R})$ dont le coefficient d'ordre $(j,i)$ est $a_{i,j}$.

Pour écrire la transposée d'une matrice, il suffit de transformer ses lignes en colonnes. Par exemple :

$$A= \left( \begin{array}{rr} 1&1\\ 2&3\\ 1&-1 \end{array}\r... ... 1&\hspace{3mm}2&1\\ 1&\hspace{3mm}3&-1 \end{array}\right)\;.$$

Observons que la transposée de la transposée est la matrice initiale.

$${^t({^t\!A})} = A\;.$$

La transposée d'un produit est le produit des transposées, mais il faut inverser l'ordre des facteurs.

Proposition 2   Soient $m,n,p$ trois entiers strictement positifs. Soient $A=(a_{i,j})$ une matrice de ${\cal M}_{m,n}(\mathbb{R})$ et $B=(b_{j,k})$ une matrice de ${\cal M}_{n,p}(\mathbb{R})$. La transposée du produit de $A$ par $B$ est le produit de la transposée de $B$ par la transposée de $A$.

$${^t(AB)} = {^t\!B} {^t\!A}\;.$$

Par exemple, en reprenant les matrices $A$ et $B$ définies ci-dessus :

$$\begin{array}{rr} & \left( \begin{array}{rrr} \;1&\quad2&1\\... ... -1&-4&3\\ -1&-2&-1\\ -1&-1&-3 \end{array}\right) \end{array}$$

Observons que le produit d'une matrice par sa transposée est toujours défini.

$$A {^t\!A} = \left( \begin{array}{rrr} 2&5&0\\ 5&13&-1\\ ... ... = \left( \begin{array}{rr} 6&6\\ 6&11 \end{array}\right)\;.$$

Le résultat est une matrice carrée (autant de lignes que de colonnes) et symétrique.

Définition 3   Soit $n$ un entier strictement positif et $A$ une matrice carrée à $n$ lignes et $n$ colonnes. On dit que $A$ est symétrique si pour tous $i,j=1,\ldots,n$, ses coefficients d'ordre $a_{i,j}$ et $a_{j,i}$ sont égaux, ce qui est équivalent à dire que $A$ est égale à sa transposée.

Le produit d'une matrice par sa transposée est toujours une matrice symétrique. En effet :

$${^t(A {^t\!A})} = {^t({^t\!A})} {^t\!A}=A {^t\!A}\;.$$