Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $A\in{\cal M}_n$ une matrice carrée. On note $I$ la matrice identité de dimension $n$. On suppose qu'il existe une matrice $B$ telle que $A B=I$.

1. Soit $f$ l'application de ${\cal M}_n$ dans ${\cal M}_n$ qui à une matrice $X$ associe le produit $XA$. Montrer que $f$ est une application linéaire.
2. Montrer que $f$ est injective. En déduire que $f$ est bijective.
3. Montrer qu'il existe une matrice $B_*\in {\cal M}_n$ telle que $B_* A=I$. Montrer que $B_*=B$. En déduire que $A$ est inversible.
4. Soit $B^*$ une matrice telle que $A B^*=I$. Montrer que $B^*=B$.
5. Soit $C\in{\cal M}_n$ une autre matrice inversible. Montrer que le produit $A C$ est inversible et que $(A C)^{-1}=C^{-1}A^{-1}$.

Exercice 1 : Soient $A$ et $B$ les deux matrices suivantes.

$$A=\left(\begin{array}{rrr} 1&\hspace*{3.5mm}0&0\\ 0&1&0\\ 1&1&-1 \end{array}\right)$$   et$$\quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\right)\;.$$

1. Vérifier que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
2. Vérifier que $B$ est inversible et calculer $B^{-1}$.
3. On pose $M=AB$. Justifier le fait que $M$ est inversible et calculer $M^{-1}$, en utilisant les résultats des deux questions précédentes. Dans toute la suite, $(b_1,b_2,b_3)$ désigne une base de $\mathbb{R}^3$. On note $f$ (respectivement : $g$) l'application de $\mathbb{R}^3$ dans lui-même qui a pour matrice $A$ (respectivement : $B$) dans la base $(b_1,b_2,b_3)$.
4. Exprimer en fonction de $b_1,b_2,b_3$ les vecteurs $f(b_1),f(b_2),f(b_3)$, puis $f\circ f(b_1),f\circ f(b_2),f\circ f(b_3)$. Retrouver le résultat de la question 1.
5. Exprimer les vecteurs $g^{-1}(b_1),g^{-1}(b_2), g^{-1}(b_3)$ en fonction de $b_1,b_2,b_3$.
6. On note $h$ l'application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans lui-même, qui à un vecteur $v$ associe $h(v)=f(v)-g^{-1}(v)$. Ecrire la matrice de $h$ dans la base $(b_1,b_2,b_3)$.
7. Donner, en fonction de $b_1,b_2,b_3$, une base de $\mathrm{Ker}(h)$ et une base de $\mathrm{Im}(h)$.
8. On note $c_1=f(b_1)$, $c_2=f(b_2)$, $c_3=f(b_3)$. Montrer que $(c_1,c_2,c_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$. Quelle est la matrice de l'application $f$ dans la base $(c_1,c_2,c_3)$ ?
9. Calculer les matrices des applications $g$ et $g^{-1}$ dans la base $(c_1,c_2,c_3)$.

Exercice 2 : Soient $A$ et $B$ les deux matrices suivantes.

$$A=\left(\begin{array}{rrr} 1&-2&1\\ -1&0&-1\\ 0&1&2\\ 1&2&0 \end{array}\right)$$   et$$\quad B=\left(\begin{array}{rrrr} 1&-1&\hspace*{3mm}2&1\\ 1&2&1&-1\\ 2&1&3&0 \end{array}\right)\;.$$

On note $f$ l'application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^4$ qui a pour matrice $A$ relativement aux bases canoniques, et $g$ l'application de $\mathbb{R}^4$ dans $\mathbb{R}^3$ qui a pour matrice $B$ relativement aux bases canoniques.

1. Calculer les produits $AB$ et $BA$.
2. On note $P$ la matrice constituée des trois premières lignes de la matrice $A$. Vérifier que $P$ est inversible et calculer son inverse. En déduire le rang de la matrice $A$.
3. Déterminer le rang de $B$. En déduire le rang des matrices $AB$ et $BA$.
4. On note $(b_1,b_2,b_3)$ les trois vecteurs colonnes de la matrice $A$. Soit $e_4=(0,0,0,1)$ le quatrième vecteur de la base canonique de $\mathbb{R}^4$. Justifier le fait que $(b_1,b_2,b_3,e_4)$ est une base de $\mathbb{R}^4$.
5. Donner la matrice de l'application $f$, relative à la base canonique de $\mathbb{R}^3$ au départ et à la base $(b_1,b_2,b_3,e_4)$ à l'arrivée.
6. Calculer la matrice de l'application $f\circ g$ dans la base $(b_1,b_2,b_3,e_4)$.