Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous
reporter ni au cours, ni au corrigé.
Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez
vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour
chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.
Questions de cours :
Soit
une matrice carrée. On note
la matrice
identité de dimension
. On suppose qu'il existe une matrice
telle que
.
- Soit
l'application de
dans
qui à une
matrice
associe le produit
. Montrer que
est une
application linéaire.
- Montrer que
est injective. En déduire que
est bijective.
- Montrer qu'il existe une matrice
telle que
. Montrer que
. En déduire que
est inversible.
- Soit
une matrice telle que
. Montrer que
.
- Soit
une autre matrice inversible. Montrer que le
produit
est inversible et que
.
Exercice 1 :
Soient
et
les deux matrices suivantes.

et
- Vérifier que
est inversible et calculer
.
- Vérifier que
est inversible et calculer
.
- On pose
. Justifier le fait que
est inversible et calculer
, en utilisant les résultats des deux questions
précédentes.
Dans toute la suite,
désigne une base de
. On note
(respectivement :
) l'application de
dans lui-même qui a pour matrice
(respectivement :
) dans la
base
.
- Exprimer en fonction de
les vecteurs
, puis
. Retrouver le résultat de la question 1.
- Exprimer les vecteurs
en fonction de
.
- On note
l'application linéaire de
dans lui-même, qui
à un vecteur
associe
. Ecrire la matrice de
dans la base
.
- Donner, en fonction de
, une base de
et
une base de
.
- On note
,
,
. Montrer que
est une base de
. Quelle est la matrice de
l'application
dans la base
?
- Calculer les matrices des applications
et
dans la base
.
Exercice 2 :
Soient
et
les deux matrices suivantes.

et
On note
l'application de
dans
qui a pour matrice
relativement aux bases canoniques, et
l'application de
dans
qui a pour matrice
relativement aux bases canoniques.
- Calculer les produits
et
.
- On note
la matrice constituée des trois premières lignes de la
matrice
. Vérifier que
est inversible et calculer son
inverse. En déduire le rang de la matrice
.
- Déterminer le rang de
.
En déduire le rang des matrices
et
.
- On note
les trois vecteurs
colonnes de la matrice
. Soit
le quatrième
vecteur de la base canonique de
. Justifier le fait
que
est une base de
.
- Donner la matrice de l'application
,
relative à la base canonique de
au départ
et à la base
à l'arrivée.
- Calculer la matrice de l'application
dans la base
.
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