Une application linéaire entre deux espaces de même dimension, si elle est injective, est aussi surjective, donc bijective.
Pour montrer que , on utilise encore l'associativité du
produit matriciel :
. Or :
La matrice est celle de l'application composée
. Puisque
est de rang 2, l'image de
est un plan vectoriel de
. Puisque l'application
est de rang 3, son noyau est
réduit à
et sa restriction à
est de rang 2. Donc l'image de
est un plan
vectoriel :
est de rang 2.
Le raisonnement est analogue pour : c'est la matrice de
l'application
. Puisque
est de rang 3, son image est
, donc
. Donc
est de rang 2, comme
. Donc la matrice
est de rang 2.