QCM

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Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1 Soient et deux matrices.

$\framebox{A}$: Si la somme est définie, alors le produit est défini.
$\framebox{B}$: Si la somme est définie, alors le produit ${^t\!A}B$ est défini.
$\framebox{C}$: Si le produit est défini, alors la somme $A+{^t\!B}$ est définie.
$\framebox{D}$: Si les produits et sont définis, alors la somme est définie.
$\framebox{E}$: Si les produits et sont définis, alors la somme ${^t\!A}+B$ est définie.

Question 2 Soit une matrice.

$\framebox{A}$: Le produit est toujours défini.
$\framebox{B}$: Le produit $A {^t\!A}$ est toujours défini.
$\framebox{C}$: Le produit $(A {^t\!A})({^t\!A} A)$ est défini si et seulement si est carrée.
$\framebox{D}$: Si est carrée alors $A {^t\!A}={^t\!A}A$ .
$\framebox{E}$: Si $A {^t\!A}={^t\!A}A$ alors $A={^t\!A}$ .

Question 3 Soit une matrice carrée, et la matrice identité, de même taille que .

$\framebox{A}$: Si est inversible, alors $A {^t\!A}$ est inversible.
$\framebox{B}$: Si est inversible, alors est inversible.
$\framebox{C}$: Si est inversible, alors $A+{^t\!A}$ est inversible.
$\framebox{D}$: Si est inversible, alors $(A^{-1} {^t\!A})^{-1}={^t\!A}^{-1} A$ .
$\framebox{E}$: Si est inversible, alors $(A {^t\!A})(A^{-1} {^t\!A^{-1}})=I$ .

Question 4 On considère la matrice suivante.

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&1 \end{array}\right)\;.$

Soit l'application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ est .

$\framebox{A}$: L'application est injective.
$\framebox{B}$: L'application a pour matrice $\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{array}\right) }$ dans une certaine base de $\mathbb{R}^3$ .
$\framebox{C}$: L'application $f\circ f$ a pour matrice $\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 2&0&2\\ 0&2&0\\ 2&0&2 \end{array}\right) }$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ .
$\framebox{D}$: La matrice est équivalente à la matrice $\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)\;. }$
$\framebox{E}$: La matrice est semblable à la matrice $\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)\;. }$

Question 5 On considère la matrice suivante.

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&1&1\\ \end{array}\right)\;.$

Soit l'application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ dont la matrice relative aux bases canoniques de $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}^2$ est .

$\framebox{A}$: L'application est surjective.
$\framebox{B}$: Le noyau de est un plan vectoriel.
$\framebox{C}$: La matrice est équivalente à la matrice $\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0 \end{array}\right)\;. }$
$\framebox{D}$: La matrice est équivalente à la matrice $\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)\;. }$
$\framebox{E}$: La matrice est de rang .

Question 6 Soit une matrice.

$\framebox{A}$: Le rang de $A{^t\!A}$ est toujours supérieur ou égal au rang de
$\framebox{B}$: Le rang de ${^t\!A}$ est toujours égal au rang de .
$\framebox{C}$: Le rang de ${^t\!A}A$ est toujours inférieur ou égal au rang de .
$\framebox{D}$: Si a plus de lignes que de colonnes, alors le rang de est égal à son nombre de colonnes.
$\framebox{E}$: Si le rang de est égal à son nombre de colonnes, alors est inversible.

Question 7 Soit une matrice à 4 lignes, 3 colonnes, de rang 2.

$\framebox{A}$: est la matrice d'une application linéaire de $\mathbb{R}^4$ dans $\mathbb{R}^2$ .
$\framebox{B}$: est la matrice d'une application linéaire dont le noyau est un plan vectoriel.
$\framebox{C}$: est la matrice d'une application linéaire dont l'image est un plan vectoriel.
$\framebox{D}$: est équivalente à la matrice $\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)\;. }$
$\framebox{E}$: est équivalente à la matrice $\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array}\right)\;. }$

Question 8 Soit $A\in{\cal M}_n$ une matrice carrée inversible. Soit l'application de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^n$ qui a pour matrice dans la base canonique.

$\framebox{A}$: est semblable à la matrice identité de même taille que .
$\framebox{B}$: Le noyau de est une droite vectorielle.
$\framebox{C}$: est équivalente à la matrice identité de même taille que .
$\framebox{D}$: L'image de est $\mathbb{R}^n$ .
$\framebox{E}$: Le système linéaire admet une solution non nulle.

Question 9 On considère la matrice suivante.

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1 \end{array}\right)\;.$

Soit la matrice identité à deux lignes et deux colonnes.

$\framebox{A}$: L'inverse de est égal à .
$\framebox{B}$: La matrice est semblable à .
$\framebox{C}$: L'inverse de a des coefficients non entiers.
$\framebox{D}$: La matrice $\frac{1}{2}(A+A^{-1})$ est égale à .
$\framebox{E}$: La matrice $A+A^{-1}$ est diagonale.

Question 10 On considère la matrice suivante.

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{array}\right)\;.$

Soit la matrice identité à trois lignes et trois colonnes.

$\framebox{A}$: est inversible.
$\framebox{B}$: .
$\framebox{C}$: $A^{-1}={^t\! A}$ .
$\framebox{D}$: est de rang 2.
$\framebox{E}$: est de rang 1.

$\framebox{\rotatebox{180}{Réponses~: 1--DE~2--BC~3--AD~4--BD~5--BD~6--BC~7--CD~8--CD~9--DE~10--CE}}$

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