Exercices

Exercice 1   On considère les matrices suivantes.

$\displaystyle \left(\begin{array}{r}0\ 1\ 0\end{array}\right)\quad
\left(\beg...
...\ 1\end{array}\right)\quad
\left(\begin{array}{r}3\ -1\ 2\end{array}\right)
$

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrr}
1&0&0\\
0&1&0
\end{array}\right)
...
...in{array}{rrr}
-1&\hspace{3mm}2&3\\
2&1&-3
\end{array}\right)
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrr}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array...
...gin{array}{rrr}
-2&3&-4\\
3&1&-3\\
1&-2&0
\end{array}\right)
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrr}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0\\
1&1&1
\...
...&\hspace{3mm}0\\
2&1&0\\
-2&0&1\\
0&-1&2
\end{array}\right)
\end{displaymath}

  1. Ecrire la transposée de chacune de ces matrices.
  2. Etant données deux matrices $ A$, $ B$ appartenant à l'ensemble ci-dessus, calculer ceux des produits $ A B$, $ {^t\!A} B$, $ A {^t\!B}$, $ {^t\!A} {^t\!B}$ qui sont définis.

Exercice 2   On considère la matrice suivante.

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}
0&0&0\\
1&0&1\\
0&0&1
\end{array}\right)\;.
$

On note $ f$ l'endomorphisme de $ \mathbb{R}^3$ qui a pour matrice $ A$ dans la base canonique de $ \mathbb{R}^3$, notée $ (e_1,e_2,e_3)$.
  1. Montrer que $ f\circ f(e_1)=f(e_2)=0$. Montrer que $ f\circ
f(e_3)=f(e_3)$.
  2. En déduire $ A^2$. Vérifier en effectuant le produit matriciel.
  3. Montrer que $ A^3=A^2$ sans effectuer le produit matriciel, puis vérifier en l'effectuant.
  4. Donner une base de Ker$ (f)$ et une base de Im$ (f)$

Exercice 3   On considère la matrice suivante.

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}
0&0&1\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{array}\right)\;.
$

On note $ f$ l'endomorphisme de $ \mathbb{R}^3$ qui a pour matrice $ A$ dans la base canonique de $ \mathbb{R}^3$, notée $ (e_1,e_2,e_3)$.
  1. Pour $ i=1,2,3$, déterminer $ f\circ f(e_i)$, puis $ f\circ f\circ f(e_i)$.
  2. En déduire que $ A^2=A^{-1}$. Vérifier en calculant le produit matriciel.

Exercice 4   On considère la matrice suivante.

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right)\;.
$

On note $ f$ l'endomorphisme de $ \mathbb{R}^3$ qui a pour matrice $ A$ dans la base canonique de $ \mathbb{R}^3$, notée $ (e_1,e_2,e_3)$.
  1. Pour $ i=1,2,3$, déterminer $ f\circ f(e_i)$, puis $ f\circ f\circ f(e_i)$.
  2. En déduire $ A^2$ et $ A^3$.
  3. Pour $ k\in\mathbb{N}^*$, donner une expression de $ (I_3+A)^k$ en fonction de $ k$. Vérifier votre expression pour $ k=3$ en effectuant le produit matriciel.
  4. Reprendre la question précédente pour $ (I_3-A)^k$, puis pour $ (3I_3-2A)^k$.

Exercice 5   On considère la matrice suivante.

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1
\end{array}\right)\;.
$

On note $ f$ l'endomorphisme de $ \mathbb{R}^3$ qui a pour matrice $ A$ dans la base canonique de $ \mathbb{R}^3$, notée $ (e_1,e_2,e_3)$.
  1. Pour $ i=1,2,3$, déterminer $ f\circ f(e_i)$, en déduire que $ f\circ
f=3 f$.
  2. Pour $ k\in\mathbb{N}^*$, démontrer par récurrence que $ f^{\circ k} = 3^{k-1}f$.
  3. En déduire l'expression de $ A^k$ en fonction de $ k$.
  4. Pour $ k\in\mathbb{N}^*$, donner une expression de $ (I_3+A)^k$ en fonction de $ k$. Vérifier votre expression pour $ k=3$ en effectuant le produit matriciel.
  5. Reprendre la question précédente pour $ (I_3-A)^k$, puis pour $ (3I_3-2A)^k$.

Exercice 6   On rappelle qu'une matrice carrée est symétrique si elle est égale à sa transposée. On note $ {\cal S}_n$ l'ensemble des matrices carrées symétriques. On dit qu'une matrice carrée est antisymétrique si elle est l'opposée de sa transposée : $ {^t\!A}=-A$. On note $ {\cal A}_n$ l'ensemble des matrices carrées antisymétriques.
  1. Montrer que les éléments diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls.
  2. Montrer que $ {\cal S}_n$ et $ {\cal A}_n$ sont des sous-espaces vectoriels de $ {\cal M}_n$.
  3. Soit $ A$ une matrice carrée quelconque. Montrer que $ A+{^t\!A}$ est symétrique et $ A-{^t\!A}$ est antisymétrique.
  4. Montrer que le produit de deux matrices symétriques $ A$ et $ B$ est symétrique si et seulement si $ AB=BA$ (on dit que $ A$ et $ B$ «commutent»).
  5. Montrer que le produit de deux matrices antisymétriques $ A$ et $ B$ est antisymétrique si et seulement si $ AB=-BA$.
  6. Soit $ A$ une matrice inversible. Montrer que $ {^t\!A}$ est inversible et que son inverse est $ {^t(A^{-1})}$.
  7. Soit $ A$ une matrice symétrique et inversible. Montrer que son inverse est symétrique.
  8. Soit $ A$ une matrice antisymétrique et inversible. Montrer que son inverse est antisymétrique.
  9. Montrer qu'aucune matrice de $ {\cal A}_3$ n'est inversible.

Exercice 7   On appelle trace d'une matrice carrée la somme de ses éléments diagonaux. On note tr$ (A)$ la trace de $ A\in{\cal M}_n$.
  1. Soient $ A B$ deux matrices de $ {\cal M}_n$. Montrer que tr$ (AB)=$tr$ (BA)$.
  2. En déduire que deux matrices carrées semblables ont la même trace.
  3. Soit $ A$ une matrice carrée non nulle. Montrer que les traces de $ A {^t\!A}$ et $ {^t\!A} A$ sont strictement positives.

Exercice 8   Déterminer le rang des matrices suivantes.

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}
2&-3&-4\\
3&1&5\\
-1&0&-1\\
0&2&4
\en...
...r}
1&1&\hspace{3mm}2&1\\
-1&2&1&-1\\
2&1&3&2\\
0&-1&0&-1
\end{array}\right)
$

Exercice 9   Vérifier que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leurs inverses.

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}
0&1&0\\
0&0&1\\
-2&1&2
\end{array}\rig...
...ad
\left(\begin{array}{rrr}
1&2&0\\
3&-1&1\\
0&1&2
\end{array}\right)
\qquad
$

Exercice 10   Pour chacune des matrices $ A$ suivantes :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr}
2&1\\
1&2
\end{array}\right)
\quad
\left...
...nd{array}\right)
\quad
\left(\begin{array}{rr}
7&5\\
-6&-4
\end{array}\right)
$

  1. Déterminer selon les valeurs de $ \lambda$ le rang de la matrice $ A-\lambda I_2$.
  2. On note $ \lambda_1$ et $ \lambda_2$ les deux réels tels que le rang de $ A-\lambda_i I_2$ est $ 1$. Pour $ i=1,2$, déterminer l'ensemble des solutions du système linéaire

    $\displaystyle (A-\lambda_i I_2)\binom{x}{y}=\binom{0}{0}\;.
$

    On note $ v_i$ un vecteur non nul solution de ce système.
  3. Montrer que $ (v_1,v_2)$ est une base de $ \mathbb{R}^2$.
  4. Soit $ P$ la matrice de passage de la base canonique de $ \mathbb{R}^2$ à la base $ (v_1,v_2)$. Calculer $ P^{-1}$. Montrer que

    $\displaystyle P^{-1}AP = \left(\begin{array}{cc}
\lambda_1&0\\
0&\lambda_2
\end{array}\right)\;.
$

  5. Montrer que la matrice $ (A-\lambda_1I_2)(A-\lambda_2I_2)$ est nulle. En déduire une expression de $ A^{-1}$ en fonction de $ A$ et $ I_2$.
  6. En utilisant l'expression de la question précédente, vérifier que

    $\displaystyle P^{-1}A^{-1}P = \left(\begin{array}{cc}
1/\lambda_1&0\\
0&1/\lambda_2
\end{array}\right)\;.
$

  7. Pour $ k\in\mathbb{N}^*$, donner une expression de $ A^k$ en fonction de $ k$.

Exercice 11   Pour chacune des matrices $ A$ suivantes :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}
0&1&0\\
0&0&1\\
-2&1&2
\end{array}\rig...
...)
\qquad
\left(\begin{array}{rrr}
2&-1&1\\
1&4&-3\\
1&1&0
\end{array}\right)
$

  1. Déterminer selon les valeurs de $ \lambda$ le rang de la matrice $ A-\lambda I_3$.
  2. On note $ \lambda_1$, $ \lambda_2$ et $ \lambda_3$ les trois réels tels que le rang de $ A-\lambda_i I_3$ est $ 2$. Pour $ i=1,2,3$, déterminer l'ensemble des solutions du système linéaire

    $\displaystyle (A-\lambda_i I_3)
\left(\begin{array}{c}
x\ y\ z\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}
0\ 0\ 0\end{array}\right)
\;.
$

    On note $ v_i$ un vecteur non nul solution de ce système.
  3. Montrer que $ (v_1,v_2,v_3)$ est une base de $ \mathbb{R}^3$.
  4. Soit $ P$ la matrice de passage de la base canonique de $ \mathbb{R}^3$ à la base $ (v_1,v_2,v_3)$. Calculer $ P^{-1}$. Montrer que

    $\displaystyle P^{-1}AP = \left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1&0&0\\
0&\lambda_2&0\\
0&0&\lambda_3
\end{array}\right)\;.
$

  5. Montrer que la matrice $ (A-\lambda_1I_3)(A-\lambda_2I_3)(A-\lambda_3I_3)$ est nulle. En déduire une expression de $ A^{-1}$ en fonction de $ A^2$, $ A$ et $ I_3$.
  6. En utilisant l'expression de la question précédente, vérifier que

    $\displaystyle P^{-1}A^{-1}P = \left(\begin{array}{ccc}
1/\lambda_1&0&0\\
0&1/\lambda_2&0\\
0&0&1/\lambda_3
\end{array}\right)\;.
$

  7. Pour $ k\in\mathbb{N}^*$, donner une expression de $ A^k$ en fonction de $ k$.


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