Exercices

Exercice 1   On considère les matrices suivantes.

$$\left(\begin{array}{r}0\ 1\ 0\end{array}\right)\quad \left(\beg... ...\ 1\end{array}\right)\quad \left(\begin{array}{r}3\ -1\ 2\end{array}\right)$$

$$\left( \begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0 \end{array}\right) ... ...in{array}{rrr} -1&\hspace{3mm}2&3\\ 2&1&-3 \end{array}\right)$$

$$\left( \begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array... ...gin{array}{rrr} -2&3&-4\\ 3&1&-3\\ 1&-2&0 \end{array}\right)$$

$$\left( \begin{array}{rrr} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\\ 1&1&1 \... ...&\hspace{3mm}0\\ 2&1&0\\ -2&0&1\\ 0&-1&2 \end{array}\right)$$

1. Ecrire la transposée de chacune de ces matrices.
2. Etant données deux matrices $A$, $B$ appartenant à l'ensemble ci-dessus, calculer ceux des produits $A B$, ${^t\!A} B$, $A {^t\!B}$, ${^t\!A} {^t\!B}$ qui sont définis.

Exercice 2   On considère la matrice suivante.

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 1&0&1\\ 0&0&1 \end{array}\right)\;.$$

On note $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ qui a pour matrice $A$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$, notée $(e_1,e_2,e_3)$.

1. Montrer que $f\circ f(e_1)=f(e_2)=0$. Montrer que $f\circ f(e_3)=f(e_3)$.
2. En déduire $A^2$. Vérifier en effectuant le produit matriciel.
3. Montrer que $A^3=A^2$ sans effectuer le produit matriciel, puis vérifier en l'effectuant.
4. Donner une base de Ker$(f)$ et une base de Im$(f)$

Exercice 3   On considère la matrice suivante.

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{array}\right)\;.$$

On note $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ qui a pour matrice $A$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$, notée $(e_1,e_2,e_3)$.

1. Pour $i=1,2,3$, déterminer $f\circ f(e_i)$, puis $f\circ f\circ f(e_i)$.
2. En déduire que $A^2=A^{-1}$. Vérifier en calculant le produit matriciel.

Exercice 4   On considère la matrice suivante.

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array}\right)\;.$$

On note $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ qui a pour matrice $A$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$, notée $(e_1,e_2,e_3)$.

1. Pour $i=1,2,3$, déterminer $f\circ f(e_i)$, puis $f\circ f\circ f(e_i)$.
2. En déduire $A^2$ et $A^3$.
3. Pour $k\in\mathbb{N}^*$, donner une expression de $(I_3+A)^k$ en fonction de $k$. Vérifier votre expression pour $k=3$ en effectuant le produit matriciel.
4. Reprendre la question précédente pour $(I_3-A)^k$, puis pour $(3I_3-2A)^k$.

Exercice 5   On considère la matrice suivante.

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{array}\right)\;.$$

On note $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ qui a pour matrice $A$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$, notée $(e_1,e_2,e_3)$.

1. Pour $i=1,2,3$, déterminer $f\circ f(e_i)$, en déduire que $f\circ f=3 f$.
2. Pour $k\in\mathbb{N}^*$, démontrer par récurrence que $f^{\circ k} = 3^{k-1}f$.
3. En déduire l'expression de $A^k$ en fonction de $k$.
4. Pour $k\in\mathbb{N}^*$, donner une expression de $(I_3+A)^k$ en fonction de $k$. Vérifier votre expression pour $k=3$ en effectuant le produit matriciel.
5. Reprendre la question précédente pour $(I_3-A)^k$, puis pour $(3I_3-2A)^k$.

Exercice 6   On rappelle qu'une matrice carrée est symétrique si elle est égale à sa transposée. On note ${\cal S}_n$ l'ensemble des matrices carrées symétriques. On dit qu'une matrice carrée est antisymétrique si elle est l'opposée de sa transposée : ${^t\!A}=-A$. On note ${\cal A}_n$ l'ensemble des matrices carrées antisymétriques.

1. Montrer que les éléments diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls.
2. Montrer que ${\cal S}_n$ et ${\cal A}_n$ sont des sous-espaces vectoriels de ${\cal M}_n$.
3. Soit $A$ une matrice carrée quelconque. Montrer que $A+{^t\!A}$ est symétrique et $A-{^t\!A}$ est antisymétrique.
4. Montrer que le produit de deux matrices symétriques $A$ et $B$ est symétrique si et seulement si $AB=BA$ (on dit que $A$ et $B$ «commutent»).
5. Montrer que le produit de deux matrices antisymétriques $A$ et $B$ est antisymétrique si et seulement si $AB=-BA$.
6. Soit $A$ une matrice inversible. Montrer que ${^t\!A}$ est inversible et que son inverse est ${^t(A^{-1})}$.
7. Soit $A$ une matrice symétrique et inversible. Montrer que son inverse est symétrique.
8. Soit $A$ une matrice antisymétrique et inversible. Montrer que son inverse est antisymétrique.
9. Montrer qu'aucune matrice de ${\cal A}_3$ n'est inversible.

Exercice 7   On appelle trace d'une matrice carrée la somme de ses éléments diagonaux. On note tr$(A)$ la trace de $A\in{\cal M}_n$.

1. Soient $A B$ deux matrices de ${\cal M}_n$. Montrer que tr$(AB)=$tr$(BA)$.
2. En déduire que deux matrices carrées semblables ont la même trace.
3. Soit $A$ une matrice carrée non nulle. Montrer que les traces de $A {^t\!A}$ et ${^t\!A} A$ sont strictement positives.

Exercice 8   Déterminer le rang des matrices suivantes.

$$\left(\begin{array}{rrr} 2&-3&-4\\ 3&1&5\\ -1&0&-1\\ 0&2&4 \en... ...r} 1&1&\hspace{3mm}2&1\\ -1&2&1&-1\\ 2&1&3&2\\ 0&-1&0&-1 \end{array}\right)$$

Exercice 9   Vérifier que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leurs inverses.

$$\left(\begin{array}{rrr} 0&1&0\\ 0&0&1\\ -2&1&2 \end{array}\rig... ...ad \left(\begin{array}{rrr} 1&2&0\\ 3&-1&1\\ 0&1&2 \end{array}\right) \qquad$$

Exercice 10   Pour chacune des matrices $A$ suivantes :

$$\left(\begin{array}{rr} 2&1\\ 1&2 \end{array}\right) \quad \left... ...nd{array}\right) \quad \left(\begin{array}{rr} 7&5\\ -6&-4 \end{array}\right)$$

1. Déterminer selon les valeurs de $\lambda$ le rang de la matrice $A-\lambda I_2$.
2. On note $\lambda_1$ et $\lambda_2$ les deux réels tels que le rang de $A-\lambda_i I_2$ est $1$. Pour $i=1,2$, déterminer l'ensemble des solutions du système linéaire
   $$(A-\lambda_i I_2)\binom{x}{y}=\binom{0}{0}\;.$$
   On note $v_i$ un vecteur non nul solution de ce système.
3. Montrer que $(v_1,v_2)$ est une base de $\mathbb{R}^2$.
4. Soit $P$ la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb{R}^2$ à la base $(v_1,v_2)$. Calculer $P^{-1}$. Montrer que
   $$P^{-1}AP = \left(\begin{array}{cc} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_2 \end{array}\right)\;.$$

5. Montrer que la matrice $(A-\lambda_1I_2)(A-\lambda_2I_2)$ est nulle. En déduire une expression de $A^{-1}$ en fonction de $A$ et $I_2$.
6. En utilisant l'expression de la question précédente, vérifier que
   $$P^{-1}A^{-1}P = \left(\begin{array}{cc} 1/\lambda_1&0\\ 0&1/\lambda_2 \end{array}\right)\;.$$

7. Pour $k\in\mathbb{N}^*$, donner une expression de $A^k$ en fonction de $k$.

Exercice 11   Pour chacune des matrices $A$ suivantes :

$$\left(\begin{array}{rrr} 0&1&0\\ 0&0&1\\ -2&1&2 \end{array}\rig... ...) \qquad \left(\begin{array}{rrr} 2&-1&1\\ 1&4&-3\\ 1&1&0 \end{array}\right)$$

1. Déterminer selon les valeurs de $\lambda$ le rang de la matrice $A-\lambda I_3$.
2. On note $\lambda_1$, $\lambda_2$ et $\lambda_3$ les trois réels tels que le rang de $A-\lambda_i I_3$ est $2$. Pour $i=1,2,3$, déterminer l'ensemble des solutions du système linéaire
   $$(A-\lambda_i I_3) \left(\begin{array}{c} x\ y\ z\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 0\ 0\ 0\end{array}\right) \;.$$
   On note $v_i$ un vecteur non nul solution de ce système.
3. Montrer que $(v_1,v_2,v_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
4. Soit $P$ la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb{R}^3$ à la base $(v_1,v_2,v_3)$. Calculer $P^{-1}$. Montrer que
   $$P^{-1}AP = \left(\begin{array}{ccc} \lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3 \end{array}\right)\;.$$

5. Montrer que la matrice $(A-\lambda_1I_3)(A-\lambda_2I_3)(A-\lambda_3I_3)$ est nulle. En déduire une expression de $A^{-1}$ en fonction de $A^2$, $A$ et $I_3$.
6. En utilisant l'expression de la question précédente, vérifier que
   $$P^{-1}A^{-1}P = \left(\begin{array}{ccc} 1/\lambda_1&0&0\\ 0&1/\lambda_2&0\\ 0&0&1/\lambda_3 \end{array}\right)\;.$$

7. Pour $k\in\mathbb{N}^*$, donner une expression de $A^k$ en fonction de $k$.