Formes trigonométrique et exponentielle

Par définition si $\rho$ et $\theta$ désignent respectivement le module et l'argument du nombre complexe $a+\mathrm{i}b$, alors $a=\rho\cos(\theta)$ et $b=\rho\sin(\theta)$. Ainsi le nombre s'écrit :

$$z=a+\mathrm{i}b = \rho(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta))\;.$$

On dit que le nombre est mis sous forme trigonométrique, ou forme polaire. Cette écriture prend toute sa force grâce à l'exponentielle complexe.

Définition 2   Soit $z=a+\mathrm{i}b$ un nombre complexe. On appelle exponentielle complexe de $z$ et on note $\mathrm{e}^z$ (ou $\exp(z)$) le nombre complexe :

$$\mathrm{e}^z = \mathrm{e}^a\big(\cos(b) +\mathrm{i}\sin(b)\big)\;,$$

où $\mathrm{e}^a$ est l'exponentielle réelle de $a$. $\mathrm{e}^z$

Observez que l'exponentielle complexe coïncide avec l'exponentielle réelle si la partie imaginaire est nulle. Si la partie réelle est nulle, le nombre $\cos(b)+\mathrm{i}\sin(b)$ est un nombre complexe de module $1$ (car $\cos^2(b)+\sin^2(b)=1$). Dans le cas général, le module de $\mathrm{e}^{a+\mathrm{i}b}$ est $\mathrm{e}^a$ et son argument est l'unique élément $\theta$ de $[0,2\pi[$ tel que $b-\theta$ soit multiple de $2\pi$.

La périodicité modulo $2\pi$ des fonctions sinus et cosinus induit la périodicité modulo $2\mathrm{i}\pi$ de l'exponentielle complexe : pour tout réel $b$ et pour tout entier $k$,

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}b} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(b+2k\pi)}$$

Ainsi,

$$\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} =1\;,\quad \mathrm{e}^{(2k+1)\pi \m... ...rm{i}}=\mathrm{i}\;,\quad \mathrm{e}^{(-\pi/2+2k\pi)\mathrm{i}}=-\mathrm{i}\;.$$

L'exponentielle complexe conserve la propriété fondamentale de l'exponentielle réelle qui est de transformer les sommes en produits.

Théorème 6   Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes,

$$\mathrm{e}^{z+z'}=\mathrm{e}^z\mathrm{e}^{z'}\;.$$

Démonstration : Posons $z=a+\mathrm{i}b$ et $z'=c+\mathrm{i}d$. Par définition de l'exponentielle,

$$\mathrm{e}^{z+z'} = \mathrm{e}^{(a+c)+\mathrm{i}(b+d)}=\mathrm{e}^{a+c}\big(\cos(b+d)+\mathrm{i}\sin(b+d)\big)\;.$$

D'autre part,

$$\mathrm{e}^z \mathrm{e}^{z'} = \Big(\mathrm{e}^a\big(\cos(b)+\mathrm{i}\sin(b)\big)\Big)\Big(\mathrm{e}^c\big(\cos(d)+\mathrm{i}\sin (d)\big)\Big)$$

$$= \mathrm{e}^{a+c}\big(\cos(b)+\mathrm{i}\sin(b)\big)\big(\cos(d)+\mathrm{i}\sin(d)\big)\;,$$

car $\mathrm{e}^a\mathrm{e}^c=\mathrm{e}^{a+c}$ (propriété de l'exponentielle réelle). Les formules trigonométriques suivantes sont supposées connues:

$$\cos(b+d) = \cos(b)\cos(d)-\sin(b)\sin(d)$$   et$$\quad \sin(b+d) = \sin(b)\cos(d) +\cos(b)\sin(d)\;.$$

On en déduit immédiatement que :

$$\big(\cos(b)+\mathrm{i}\sin(b)\big)\big(\cos(d)+\mathrm{i}\sin(d)\big) = \cos(b+d)+\mathrm{i}\sin(b+d)\;.$$

$\square$

Si $z$ est un nombre complexe de module $\rho$ et d'argument $\theta$, il est souvent commode de l'écrire sous sa forme exponentielle :

$$z = \rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\;.$$

Observez que le conjugué est :

$$\overline{z} = \rho \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\;,$$

et son argument est $-\theta+2\pi$. L'utilisation de l'exponentielle facilite le calcul des produits et des puissances. Par exemple si $n$ est un entier,

$$z^n = (\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})^n = \rho^n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\;.$$

Il est facile également de retrouver les racines $n$-ièmes d'un nombre complexe sous forme trigonométrique, c'est-à-dire de résoudre l'équation $z^n = \rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$. Il y a $n$ solutions qui s'écrivent :

$$\rho^{1/n} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta/n +2k\pi/n)}\;,\quad k=0,\ldots,n-1\;.$$

Les nombres de la forme

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}(2k\pi/n)}\;,\quad k=0,\ldots,n-1\;,$$

sont les solutions de $z^n=1$. On les appelle les racines $n$-ièmes de l'unité (figure 4).

Figure 4: Racines douzièmes de l'unité.

Les fonctions sinus et cosinus s'expriment à l'aide de l'exponentielle complexe par les formules d'Euler.

$$\cos(\theta) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\... ...a) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2i}\;.$$ (7)

On les utilise pour linéariser des puissances de sinus et cosinus, afin de calculer leurs primitives. Voici un exemple.

$$\sin^4(x) \cos^6(x) = \frac{1}{2^{10}} (\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})^4 (\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})^6$$

$$= \frac{1}{1024} (\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x})^4 (\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})^2$$

$$= \frac{1}{1024} (\mathrm{e}^{8\mathrm{i}x} - 4\mathrm{e}^{4\mathrm... ...e}^{-8\mathrm{i}x}) (\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x} +2 + \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x})$$

$$= \frac{1}{1024} (\mathrm{e}^{10\mathrm{i}x} - 4\mathrm{e}^{6\mathr... ...hrm{e}^{2\mathrm{i}x}- 4\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-6\mathrm{i}x}$$

$$\hspace*{2cm}+ 2\mathrm{e}^{8\mathrm{i}x} - 8\mathrm{e}^{4\mathrm{i}x} + 12- 8\mathrm{e}^{-4\mathrm{i}x} + 2\mathrm{e}^{-8\mathrm{i}x}$$

$$\hspace*{2cm}+\mathrm{e}^{6\mathrm{i}x} - 4\mathrm{e}^{2\mathrm{i... ...e}^{-2\mathrm{i}x} - 4\mathrm{e}^{-6\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-10\mathrm{i}x})$$

$$= \frac{1}{512} \big(6 +2 \cos(2x) - 8 \cos(4x) - 3\cos(6x) + 2\cos(8x)+ \cos(10x)\big)$$

D'où une primitive de $\sin^4(x) \cos^6(x)$ :

$$\frac{3x}{256} + \frac{\sin(2x)}{512} - \frac{\sin(4x)}{256} - \frac{\sin(6x)}{1024} + \frac{\sin(8x)}{2048} + \frac{\sin(10x)}{5120}\;.$$

L'observation de la parité permet de prévoir a priori que la linéarisation ne contiendra que des $\cos(kx)$. En effet, $\sin(x)$ est une fonction impaire et $\cos(x)$ une fonction paire. Donc si on remplace $x$ par $-x$, $\sin^n(x)\cos^m(x)$ sera inchangé si $n$ est pair, changé en son opposé si $n$ est impair. Dans le premier cas, la linéarisation ne contiendra que des cosinus, dans le second cas, elle ne contiendra que des sinus.