Nombres complexes

Le reste de ce chapitre est une révision du programme de terminale sur les complexes.

$\mathbb{C}$Les nombres complexes sont nés de la nécessité de donner un sens à la racine carrée de nombres négatifs, pour résoudre les équations algébriques. Dans l'ensemble des réels, l'équation $x^2=1$ a deux solutions, $+1$ et $-1$, mais l'équation $x^2=-1$ n'en a pas, puisque le carré de tout nombre réel est positif ou nul. On décide d'appeler $\mathrm{i}$ un nombre (imaginaire) tel que $\mathrm{i}^2=-1$, puis d'appeler nombre complexe tout nombre de la forme $a+\mathrm{i}b$, où $a$ et $b$ sont deux réels quelconques. Leur ensemble est noté $\mathbb{C}$.

Ainsi tout nombre complexe $z$ a une partie réelle, notée Re$(z)$ et une partie imaginaire, notée Im$(z)$.

$$z =$$   Re$$(z)+$$Im$$(z) \mathrm{i}\;.$$

Re$(z)$ Im$(z)$On représente ces nombres par les points d'un plan muni de deux axes orthogonaux. L'axe horizontal porte les réels (qui sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle). L'axe vertical porte les nombres dits imaginaires purs, ceux dont la partie réelle est nulle. Le point correspondant au nombre $a+\mathrm{i}b$ est placé à la verticale du réel $a$ et à l'horizontale de l'imaginaire pur $\mathrm{i}b$ (figure 2). On dit que le nombre $a+\mathrm{i}b$ est l'affixe du point qui le représente. Le point d'affixe 0 est l'origine, et on le note $O$.

Figure 2: Le plan complexe.

L'addition et la multiplication des réels s'étendent aux nombres complexes sans difficulté particulière.

$\bullet$

addition : $(a+\mathrm{i}b)+(c+\mathrm{i}d)=(a+c)+\mathrm{i}(b+d)$,

$\bullet$

multiplication : $(a+\mathrm{i}b)(c+\mathrm{i}d) =(ac-bd)+\mathrm{i}(bc+ad)$.

Soient $a,b,c$ trois réels. L'équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ admet toujours des solutions, éventuellement complexes.

1. si $b^2-4ac>0$ l'équation admet deux racines réelles,
   $$r_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$   et$$\quad r_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\;;$$

2. si $b^2-4ac=0$ l'équation admet une racine réelle «double»,
   $$r = \frac{-b}{2a}\;;$$

3. si $b^2-4ac<0$ l'équation admet deux racines complexes,
   $$r_1 = \frac{-b+\mathrm{i}\sqrt{-b^2+4ac}}{2a}$$   et$$\quad r_2 = \frac{-b-\mathrm{i}\sqrt{-b^2+4ac}}{2a}\;.$$

Ce résultat n'est pas étonnant, et vous le connaissez déjà. Le miracle est que les complexes permettent de résoudre non seulement les équations du second degré, mais toutes les équations algébriques quel que soit leur degré. Le théorème suivant porte en France le nom de d'Alembert, bien qu'il ait été démontré par Gauss. Il est partout connu comme le théorème fondamental de l'algèbre.

Théorème 5   Soit $P$ un polynôme de degré $n\geqslant 1$ à coefficients complexes. Le polynôme $P$ est un produit de $n$ facteurs de degré $1$, à coefficients dans $\mathbb{C}$.

En d'autres termes, l'équation $P(x)=0$ a toujours $n$ solutions ; certaines solutions peuvent être multiples, et elles sont comptées avec leur ordre de multiplicité. On traduit cette propriété en disant que $\mathbb{C}$ est algébriquement clos.

Définition 1   Soit $z=a+\mathrm{i}b$ un nombre complexe. On appelle

1. module de $z$ le nombre réel positif ou nul $\sqrt{a^2+b^2}$. On le note $\vert z\vert$. $\vert z\vert$
2. argument de $z$ l'angle $\theta\in[0,2\pi[$ tel que Re$(z)=\vert z\vert\cos(\theta)$ et Im$(z)=\vert z\vert\sin(\theta)$ (défini seulement si $z$ est non nul). On le note $\mathrm{arg}(z)$.
3. conjugué de $z$ le nombre complexe de même partie réelle et de partie imaginaire opposée. On le note $\overline{z}$.
   $$\overline{z} = a-\mathrm{i}b\;.$$

Voici quelques exemples.

$$\begin{array}{\vert c\vert cc\vert c\vert} \hline \mbox{nomb... ...rt{2}&2\pi/3&-\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{6}\\ \hline \end{array}$$

Dans le plan complexe, le module est la longueur du segment joignant l'origine au point représentant $z$. L'argument est l'angle entre l'axe des réels et ce segment, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (le sens trigonométrique). Le conjugué est le symétrique par rapport à l'axe horizontal des réels (figure 3).

Figure 3: Module, argument et conjugué d'un nombre complexe.

Observez qu'un nombre et son conjugué ont le même module et que leur produit est le carré de ce module.

$$z \overline{z} = \vert z\vert^2 =\vert\overline{z}\vert^2\;.$$

Il est fréquent dans les calculs d'utiliser un conjugué pour simplifier le résultat et le mettre sous la forme $a+\mathrm{i}b$. Si $z_1$ et $z_2$ sont deux complexes, leur quotient s'écrit :

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1 \overline{z_2}}{z_2 \overline{z_2}} =\frac{z_1 \overline{z_2}}{\vert z_2\vert^2}\;.$$

Voici un exemple.

$$\frac{1+2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} = \frac{(1+2\mathrm{i})(1-\mat... ...i})(1-\mathrm{i})} =\frac{3+\mathrm{i}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\;.$$