Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $f$ une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{C}^*$. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note :

$$S_n=\sum_{k=0}^n f(k)$$   et$$\quad P_n=\prod_{k=0}^n f(k)\;.$$

1. Soient $n$ et $m$ deux entiers tels que $n<m$. Exprimer à l'aide de $S_n$ et $S_m$ la somme $${\sum_{k=n+1}^m f(n)}$$. Exprimer à l'aide de $P_n$ et $P_m$ le produit $${\prod_{k=n+1}^m f(k)}$$.
2. Soient $n$ et $m$ deux entiers tels que $n\leqslant m$. Montrer que pour tout complexe $z$ différent de $1$ :
   $$\sum_{k=n}^m z^k=\frac{z^n-z^{m+1}}{1-z}\;.$$

3. Soit $n$ un entier naturel. Montrer que :
   $$\sum_{k=n}^{2n} k = \frac{3}{2} n(n+1)\;.$$

4. En déduire que, pour tout réel positif ou nul $x$ :
   $$\prod_{k=n}^{2n} x^k= \left(\sqrt{x^3}\right)^{n(n+1)}\;.$$

5. Soient $n$ et $m$ deux entiers tels que $1\leqslant n\leqslant m$. Montrer que :
   $$\prod_{k=n}^m k=\binom{m}{n-1}(m-n+1)!\;.$$

Exercice 1 : Soit $n$ un entier strictement positif.

1. Montrer que :
   $$\sum_{k=0}^{n-1} k^2(k+1)=\sum_{h=1}^n h(h-1)^2\;.$$

2. En déduire que :
   $$\sum_{k=0}^n k^2(k+1)-k(k-1)^2=n^2(n+1)\;.$$

3. En déduire que :
   $$\sum_{k=0}^n k^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\;.$$

4. Redémontrer le résultat de la question précédente, par récurrence sur $n$.

Exercice 2 : Soit $n$ un entier naturel et $k$ un entier strictement positif. On appelle partition de $n$ en $k$ entiers un $k$-uplet d'entiers $(n_1,\ldots,n_k)$ tels que $n_1+\cdots+n_k=n$. Par exemple, $(2,3,0,5)$ est une partition de $10$ en $4$ entiers et $(3,5,2,0)$ en est une autre, différente de la précédente. On note $P_{n,k}$ le nombre de partitions de $n$ en $k$ entiers.

1. En énumérant tous les cas possibles, montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ et pour tout $k\in\mathbb{N}^*$ :
   $$P_{n,1}=1\;,\quad P_{n,2}=n+1\;,\quad P_{0,k}=1\;,\quad P_{1,k}=k\;,\quad P_{2,k}=\frac{k(k+1)}{2}\;.$$

2. Montrer qu'il y a $P_{n,k-1}$ partitions de $n$ en $k$ entiers $(n_1,\ldots,n_k)$, qui sont telles que $n_1=0$. Montrer qu'il y en a $P_{n-1,k}$ qui sont telles que $n_1>0$. En déduire que :
   $$P_{n,k}=P_{n,k-1}+P_{n-1,k}\;.$$

3. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ et pour tout $k\in\mathbb{N}^*$ :
   $$P_{n,k}=\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{n+k-1}{n}\;.$$

4. On considère $n+k-1$ étiquettes alignées sur une table. On en choisit $k-1$ sur lesquelles on écrit le mot «barrière». Sur les $n$ autres, on écrit le mot «unité». Une fois ce choix effectué, on note :

   $\bullet$

   $n_1$ le nombre d'unités à gauche de la première barrière,

   $\bullet$

   $n_i$ le nombre d'unités entre la $(i\!-\!1)$-ième et la $i$-ième barrière, pour $i=2,\ldots,k$,

   $\bullet$

   $n_k$ le nombre d'unités à droite de la $k$-ième barrière.

   Vérifier que $(n_1,\ldots,n_k)$ est une partition de $n$ en $k$ entiers. Réciproquement, vérifier qu'à chaque partition de $n$ en $k$ entiers, on peut associer un choix de $k-1$ objets parmi $n+k-1$, et un seul. Retrouver le résultat de la question précédente.

Exercice 3 :

1. Déterminer les racines carrées de $-\mathrm{i}$ dans $\mathbb{C}$, sous forme exponentielle ( $\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$) et sous forme algébrique ( $a+\mathrm{i}b$). (On rappelle que les racines carrées de $-\mathrm{i}$ sont les nombres complexes $z$ tels que $z^2=-\mathrm{i}$).
2. Soit $\Delta$ le nombre complexe $\Delta=-50 \mathrm{i}$. Déterminer les racines carrées de $\Delta$ dans $\mathbb{C}$, sous forme algébrique.
3. Déterminer, sous forme algébrique, les deux solutions complexes de l'équation :
   $$z^2+3(1-\mathrm{i})z+8\mathrm{i}=0\;.$$

4. Soit $A$ le point du plan complexe d'affixe $2+2\mathrm{i}$. Soient $B$ et $C$ les points du plan complexe ayant pour affixes les solutions calculées à la question précédente. Représenter les trois points $A,B,C$ dans le plan complexe. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
5. Soit $M$ le milieu du segment $[B,C]$, et ${\cal C}$ le cercle de centre $M$ et de rayon $5\sqrt{2}/2$. Montrer que les trois points $A,B,C$ appartiennent au cercle ${\cal C}$.
6. Soit $O$ l'origine du plan complexe. Calculer les affixes des images de $A,B,C$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $-\pi/4$.
7. Calculer les affixes des images de $A,B,C$ par l'homothétie de centre $M$ et de rapport $-1$.