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Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours : Soit $ f$ une fonction de $ \mathbb{N}$ dans $ \mathbb{C}^*$. Pour tout $ n\in\mathbb{N}$, on note :

$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n f(k)$   et$\displaystyle \quad P_n=\prod_{k=0}^n f(k)\;. $

  1. Soient $ n$ et $ m$ deux entiers tels que $ n<m$. Exprimer à l'aide de $ S_n$ et $ S_m$ la somme $ \displaystyle{\sum_{k=n+1}^m f(n)}$. Exprimer à l'aide de $ P_n$ et $ P_m$ le produit $ \displaystyle{\prod_{k=n+1}^m f(k)}$.
  2. Soient $ n$ et $ m$ deux entiers tels que $ n\leqslant m$. Montrer que pour tout complexe $ z$ différent de $ 1$ :

    $\displaystyle \sum_{k=n}^m z^k=\frac{z^n-z^{m+1}}{1-z}\;. $

  3. Soit $ n$ un entier naturel. Montrer que :

    $\displaystyle \sum_{k=n}^{2n} k = \frac{3}{2} n(n+1)\;. $

  4. En déduire que, pour tout réel positif ou nul $ x$ :

    $\displaystyle \prod_{k=n}^{2n} x^k= \left(\sqrt{x^3}\right)^{n(n+1)}\;. $

  5. Soient $ n$ et $ m$ deux entiers tels que $ 1\leqslant n\leqslant m$. Montrer que :

    $\displaystyle \prod_{k=n}^m k=\binom{m}{n-1}(m-n+1)!\;. $

Exercice 1 : Soit $ n$ un entier strictement positif.
  1. Montrer que :

    $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} k^2(k+1)=\sum_{h=1}^n h(h-1)^2\;. $

  2. En déduire que :

    $\displaystyle \sum_{k=0}^n k^2(k+1)-k(k-1)^2=n^2(n+1)\;. $

  3. En déduire que :

    $\displaystyle \sum_{k=0}^n k^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\;. $

  4. Redémontrer le résultat de la question précédente, par récurrence sur $ n$.
Exercice 2 : Soit $ n$ un entier naturel et $ k$ un entier strictement positif. On appelle partition de $ n$ en $ k$ entiers un $ k$-uplet d'entiers $ (n_1,\ldots,n_k)$ tels que $ n_1+\cdots+n_k=n$. Par exemple, $ (2,3,0,5)$ est une partition de $ 10$ en $ 4$ entiers et $ (3,5,2,0)$ en est une autre, différente de la précédente. On note $ P_{n,k}$ le nombre de partitions de $ n$ en $ k$ entiers.
  1. En énumérant tous les cas possibles, montrer que pour tout $ n\in\mathbb{N}$ et pour tout $ k\in\mathbb{N}^*$ :

    $\displaystyle P_{n,1}=1\;,\quad P_{n,2}=n+1\;,\quad P_{0,k}=1\;,\quad P_{1,k}=k\;,\quad P_{2,k}=\frac{k(k+1)}{2}\;. $

  2. Montrer qu'il y a $ P_{n,k-1}$ partitions de $ n$ en $ k$ entiers $ (n_1,\ldots,n_k)$, qui sont telles que $ n_1=0$. Montrer qu'il y en a $ P_{n-1,k}$ qui sont telles que $ n_1>0$. En déduire que :

    $\displaystyle P_{n,k}=P_{n,k-1}+P_{n-1,k}\;. $

  3. En déduire que pour tout $ n\in\mathbb{N}$ et pour tout $ k\in\mathbb{N}^*$ :

    $\displaystyle P_{n,k}=\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{n+k-1}{n}\;. $

  4. On considère $ n+k-1$ étiquettes alignées sur une table. On en choisit $ k-1$ sur lesquelles on écrit le mot «barrière». Sur les $ n$ autres, on écrit le mot «unité». Une fois ce choix effectué, on note :
    $ \bullet$
    $ n_1$ le nombre d'unités à gauche de la première barrière,
    $ \bullet$
    $ n_i$ le nombre d'unités entre la $ (i\!-\!1)$-ième et la $ i$-ième barrière, pour $ i=2,\ldots,k$,
    $ \bullet$
    $ n_k$ le nombre d'unités à droite de la $ k$-ième barrière.
    Vérifier que $ (n_1,\ldots,n_k)$ est une partition de $ n$ en $ k$ entiers. Réciproquement, vérifier qu'à chaque partition de $ n$ en $ k$ entiers, on peut associer un choix de $ k-1$ objets parmi $ n+k-1$, et un seul. Retrouver le résultat de la question précédente.
Exercice 3 :
  1. Déterminer les racines carrées de $ -\mathrm{i}$ dans $ \mathbb{C}$, sous forme exponentielle ( $ \rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$) et sous forme algébrique ( $ a+\mathrm{i}b$). (On rappelle que les racines carrées de $ -\mathrm{i}$ sont les nombres complexes $ z$ tels que $ z^2=-\mathrm{i}$).
  2. Soit $ \Delta$ le nombre complexe $ \Delta=-50 \mathrm{i}$. Déterminer les racines carrées de $ \Delta$ dans $ \mathbb{C}$, sous forme algébrique.
  3. Déterminer, sous forme algébrique, les deux solutions complexes de l'équation :

    $\displaystyle z^2+3(1-\mathrm{i})z+8\mathrm{i}=0\;. $

  4. Soit $ A$ le point du plan complexe d'affixe $ 2+2\mathrm{i}$. Soient $ B$ et $ C$ les points du plan complexe ayant pour affixes les solutions calculées à la question précédente. Représenter les trois points $ A,B,C$ dans le plan complexe. Démontrer que le triangle $ ABC$ est rectangle en $ A$
  5. Soit $ M$ le milieu du segment $ [B,C]$, et $ {\cal C}$ le cercle de centre $ M$ et de rayon $ 5\sqrt{2}/2$. Montrer que les trois points $ A,B,C$ appartiennent au cercle $ {\cal C}$.
  6. Soit $ O$ l'origine du plan complexe. Calculer les affixes des images de $ A,B,C$ par la rotation de centre $ O$ et d'angle $ -\pi/4$.
  7. Calculer les affixes des images de $ A,B,C$ par l'homothétie de centre $ M$ et de rapport $ -1$.

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