Exercices

Exercice 1 Calculer les nombres suivants.

$\displaystyle \sum_{k=1}^3\sum_{h=1}^k 1\;,\quad \sum_{k=1}^3\sum_{h=1}^k h\;,\quad \sum_{k=1}^3\sum_{h=1}^k k\;,$

$\displaystyle \sum_{k=1}^3\prod_{h=1}^k h\;,\quad \sum_{k=1}^3\prod_{h=1}^k k\;,\quad \prod_{k=1}^3\sum_{h=1}^k h\;,$

$\displaystyle \prod_{k=1}^3\sum_{h=1}^k k\;,\quad \prod_{k=1}^3\prod_{h=1}^k h\;,\quad \prod_{k=1}^3\prod_{h=1}^k k\;.$

Exercice 3 Démontrer les égalités suivantes.

$\displaystyle{\prod_{k=1}^n (2k) = 2^n n!}$ .
$\displaystyle{\prod_{k=1}^{n-1} (2k+1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}}$ .
$\displaystyle{\prod_{k=1}^n \frac{2k+1}{2k-1} = 2n+1}$ .
$\displaystyle{\prod_{k=2}^n \frac{k^2-1}{k} = \frac{(n+1)!}{2n}}$ .

Exercice 4 Une entreprise veut se donner un nouveau sigle, qui soit formé d'exactement 3 lettres. De combien de façons peut-elle le faire ? Combien reste-t-il de possibilités si on impose au sigle d'être formé de lettres distinctes ?

Exercice 6 Dix personnes doivent s'asseoir autour d'une table circulaire. On considère comme identiques deux dispositions dont l'une se déduit de l'autre par une rotation. Combien y a-t-il de dispositions possibles ? Combien en reste-t-il si deux personnes données refusent d'être assises à côté ?

Exercice 7 Une association comprenant 20 membres dont 12 femmes et 8 hommes désire former un comité de 5 personnes, dans lequel doivent se trouver au moins deux hommes et deux femmes. Calculer de combien de façons on peut former ce comité dans chacun des cas suivants.

Chaque membre de l'association accepte d'en faire partie.
Deux des femmes refusent d'en faire partie.
Monsieur X et Madame Y refusent de siéger ensemble.

Exercice 8 Démontrer les égalités suivantes.

$\displaystyle{\sum_{k=0}^n (n-k) = \frac{n(n+1)}{2}}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n (k+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n (2k+1) = (n+1)^2}$ .

Exercice 9 Démontrer les égalités suivantes.

$\displaystyle{\sum_{k=0}^n 2^k = 2^{n+1}-1}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 2^{n}-2}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=0}^{2n-1} 2^{k/2} = \frac{2^{n}-1}{\sqrt{2}-1}}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=0}^{2n} 2^{2k-1} = \frac{4^{2n+1}-1}{6}}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n 2^k3^{n-k} = 3^{n+1}-2^{n+1}}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n (-1)^k2^{n-k} = \frac{2^{n+1}-(-1)^{n+1}}{3}}$ .

Exercice 10 Démontrer les égalités suivantes.

$\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k} = 0}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k} = 2^{2n-1}}$ (ajoutez les deux égalités précédentes).
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n 2^k\binom{n}{k} = 3^n}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n 2^{3k-1}\binom{n}{k} = 9^n/2}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n 2^{3k}3^{n-2k}\binom{n}{k} = (17/3)^n}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n \mathrm{i}^k\binom{n}{k} = 2^{n/2}\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\pi/4}}$ .
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n 3^{k/2}\mathrm{i}^k\binom{n}{k} = 2^{n}\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\pi/3}}$ .
$\displaystyle \sum_{k=1}^n(nk-1)=\frac{n(n-1)(n+2)}{2}$ .

Exercice 12 Soit $n\in\mathbb{N}$ et .

En utilisant une formule du cours, écrivez comme une somme où interviennent les puissances de .
La dérivée de est $f'(x)=n(1+x)^{n-1}$ . L'intégrale de sur vaut

$\displaystyle \int_{0}^1f(x)dx=\left[\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^1=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}.$
En utilisant la question 1. donner une autre expression de et de cette intégrale.
En déduire les valeurs des expressions suivantes :

$\displaystyle \sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n k\end{pmatrix},\qquad\sum_{k=0}^nk... ...end{pmatrix},\qquad \sum_{k=0}^n\frac{1}{k+1}\begin{pmatrix}n k\end{pmatrix}.$

Exercice 13 Soient et deux entiers naturels. Cet exercice présente une méthode générale pour calculer $\sum_{k=0}^nk^p$ , sur le cas particulier .

Soit $x\to P(x)$ une fonction, donner une expression plus simple de $\sum_{k=0}^n(P(k+1)-P(k))$ .
Soit des réels et . Calculer .
Déterminer de sorte que .
Déduire des questions précédentes que

$\displaystyle \sum_{k=0}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

Exercice 14 Le but de l'exercice est de démontrer que pour tout nombre entier naturel non nul, et pour tout n-uplets de réels $(a_{1},\ldots, a_{n})\in\mathbb{R}^n$ , $(b_{1},\ldots, b_{n})\in\mathbb{R}^n$ on a l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^na_{i}b_{i}\right)^2\leqslant\left(\sum_{i=1}^na_{i}^2\right)\times \left(\sum_{i=1}^nb_{i}^2\right)$

On pose $A=\displaystyle\sum_{i=1}^na_{i}^2$ , $\displaystyle B=\sum_{i=1}^nb_{i}^2$ , $\displaystyle C=\sum_{i=1}^na_{i}b_{i}$ .

Soit $\displaystyle P(x)=\sum_{i=1}^n(a_{i}x+b_{i})^2$ . Exprimez en fonction de , , et .
Si $A\neq0$ , quel est le signe du trinôme du second degré ?
Déduisez que $C^2\leqslant AB$ .
Soit $(a_{1},\ldots, a_{n})$ un n-uplet de réels strictement positifs. Montrez que

$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^na_{i}\right)\times \left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_{i}}\right)\geqslant n^2$

Exercice 15 Mettre sous la forme $a+\mathrm{i}b$ les nombres complexes suivants.

$\displaystyle \frac{3+6\mathrm{i}}{3-4\mathrm{i}}\;,\quad \frac{5+2\mathrm{i}}{... ...\frac{-2}{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}\;,\quad \frac{1+2\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}\;,$

$\displaystyle \left(\frac{1+\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}\right)^2+\frac{3+6\mathrm... ...uad \left(\frac{1+\mathrm{i}-\sqrt{3}(1-\mathrm{i})}{1+\mathrm{i}}\right)^2\;.$

Exercice 16 Calculer le module et l'argument des nombres complexes suivants.

$\displaystyle 1+\mathrm{i}\;,\quad 3+3\mathrm{i}\;,\quad 1+\mathrm{i}\sqrt{3}\;,\quad -1+\mathrm{i}\sqrt{3}\;,$

$\displaystyle \sqrt{3}+\mathrm{i}\;,\quad -\frac{4}{3}\mathrm{i}\;,\quad 1+\mathrm{i}(1+\sqrt{2})\;,\quad (1+\sqrt{2})-\mathrm{i}\;.$

Exercice 17 Mettre sous la forme $a+\mathrm{i}b$ les nombres complexes suivants.

$\displaystyle 2\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}\;,\quad 3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi... ...\mathrm{e}^{-7\mathrm{i}\pi/3}\;,\quad 3\mathrm{e}^{-7\mathrm{i}\pi/8}\;,\quad$

$\displaystyle (2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4})(\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}\pi/4})\;,\quad \frac{2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}}{\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}\pi/4}}$

$\displaystyle (2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3})(3\mathrm{e}^{-5\mathrm{i}\pi/6})\;,\quad \frac{2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}}{3\mathrm{e}^{-5\mathrm{i}\pi/6}}$

Exercice 18 Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle.

$\displaystyle \frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\;,\quad \left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)^3\;,\quad (1+\mathrm{i}\sqrt{3})^4$

$\displaystyle (1+\mathrm{i}\sqrt{3})^5+(1-\mathrm{i}\sqrt{3})^5\;,\quad \frac{1... ...\sqrt{3}-\mathrm{i}}\;,\quad \frac{\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}}{2-2\mathrm{i}}$

Exercice 19 Calculer les racines carrées des nombres suivants.

$\displaystyle -1\;,\quad \mathrm{i}\;,\quad 1+\mathrm{i}\;,\quad -1-\mathrm{i}\;,\quad 1+\mathrm{i}\sqrt{3}$

$\displaystyle 3+4\mathrm{i}\;,\quad 8-6\mathrm{i}\;,\quad 7+24\mathrm{i}\;,\quad 3-4\mathrm{i}\;,\quad 24-10\mathrm{i}$

Exercice 20

Calculer les racines carrées de $(1+\mathrm{i})/\sqrt{2}$ . En déduire les valeurs de $\cos(\pi/8)$ et $\sin(\pi/8)$ .
Calculer les racines carrées de $(\sqrt{3}+\mathrm{i})/2$ . En déduire les valeurs de $\cos(\pi/12)$ et $\sin(\pi/12)$ .

Exercice 21 Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes.

$\displaystyle z^2+z+1=0\;,\quad z^2-z+1=0\;,\quad z^2+2z+4=0\;,$

$\displaystyle 4z^2-2z+1=0\;,\quad z^2+(1+2\mathrm{i})z+\mathrm{i}-1=0\;,\quad z^2-(3+4\mathrm{i})z-1+5\mathrm{i}=0\;,$

$\displaystyle z^2+4z+5=0\;,\quad z^2-(1-\mathrm{i})z-\mathrm{i}=0\;,\quad z^2-(11-5\mathrm{i})z +24-27\mathrm{i}=0\;,$

$\displaystyle z^3=\mathrm{i}\;,\quad z^3=\frac{-1+\mathrm{i}}{4}\;,\quad z^3=2-2\mathrm{i}\;,$

$\displaystyle z^4=1\;,\quad z^4= (-1+\mathrm{i}\sqrt{3})/2\;,\quad \left(\frac{2z+1}{z-1}\right)^4=1\;.$

Exercice 22 Soit $\theta$ un réel.

Calculer la somme $\displaystyle{\sum_{k=0}^n \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta}}$ . En déduire les valeurs de $\displaystyle{\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)}$ et $\displaystyle{\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)}$ .
Calculer la somme $\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta}}$ . En déduire les valeurs de $\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos(k\theta)}$ et $\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\sin(k\theta)}$ .

Exercice 23 Linéariser :

$\displaystyle \cos^3(x)\;,\quad \sin^3(x)\;,\quad \cos^4(x)\;,\quad \sin^4(x)\;,$

$\displaystyle \cos^2(x)\sin^2(x)\;,\quad \cos(x)\sin^3(x)\;,\quad \cos^3(x)\sin(x)\;,$

$\displaystyle \cos^3(x)\sin^2(x)\;,\quad \cos^2(x)\sin^3(x)\;,\quad \cos(x)\sin^4(x)\;.$

Exercice 24

Déterminer l'ensemble des complexes tels que $(1-z)/(1-\mathrm{i}z)$ soit réel.
Déterminer l'ensemble des complexes tels que $(1-z)/(1-\mathrm{i}z)$ soit imaginaire pur.
Déterminer l'ensemble des complexes tels que les points d'affixe , , soient alignés.
Déterminer l'ensemble des complexes tels que les points d'affixe , $\mathrm{i}z$ , $\mathrm{i}$ forment un triangle équilatéral.
Déterminer l'ensemble des complexes tels que les points d'affixe , , forment un triangle rectangle au point d'affixe .
Déterminer l'ensemble des complexes tels que les points d'affixe , , soient sur un même cercle, de centre l'origine.

Exercice 25

Montrer que $(1+\mathrm{i})^6 = -8\mathrm{i}$ .
En déduire une solution de l'équation $(E)\quad z^2=-8\mathrm{i}$ .
Ecrire les deux solutions de sous forme algébrique, et sous forme exponentielle.
Déduire de la première question une solution de l'équation $(E')\quad z^3=-8\mathrm{i}$ .
Soit le point d'affixe $2\mathrm{i}$ . Soit l'image de par la rotation de centre et d'angle $2\pi/3$ . Soit l'image de par la même rotation. Ecrire les affixes des points et , sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
Vérifier que les affixes calculées à la question précédente sont solution de .
Montrer que le triangle est équilatéral et que est son centre de gravité.

Exercice 26 On note le nombre complexe $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}$ . On pose , et . On note , et les points d'affixes respectives , et . On note

$\bullet$: l'image de par la rotation de centre , et d'angle $\pi/3$
$\bullet$: l'image de par la rotation de centre , et d'angle $\pi/3$
$\bullet$: l'image de par la rotation de centre . et d'angle $\pi/3$

On note , et les affixes respectives de , et .

Calculer , et .
Montrer que les droites , et sont concourantes en 0.
Montrer que et
Soit un nombre complexe quelconque. Montrer que

$\displaystyle \vert (a-z)+(b-z)j^2+(c-z)j \vert = 22$
On admet que quels que soient les nombres complexes et , $\vert z+z'\vert\leqslant \vert z\vert+\vert z'\vert$ . Montrer que la somme de distances est minimale lorsque .