Exercices

Exercice 1   On considère un triplet naturel $(O,\mathcal{N},s)$.

1. Montrer que $(s(O),\mathcal{N}\setminus\{O\},s)$ est un triplet naturel.
2. On note $s^2$ l'application composée $s\circ s$. Soit $\mathcal{P}$ une propriété définie sur $\mathcal{N}$ telle que $\mathcal{P}(O)$ est vraie, $\mathcal{P}(s(O))$ fausse et :
   $$\forall a\in \mathbb{N}\;,\quad P(a)\;\Longrightarrow\; P(s^2(a))\;.$$
   On note $\mathcal{N}_2$ l'ensemble des éléments de $\mathcal{N}$ tels que $\mathcal{P}(a)$ est vraie. Montrer que $\mathcal{N}_2$ est un ensemble non majoré.
3. Montrer que $(O,\mathcal{N}_2,s^2)$ est un triplet naturel.
4. On note $s^0$ l'application identique, et on définit par récurrence $s^n$ comme l'application composée $s\circ s^{n-1}$, pour $n\geqslant 1$. Définir l'application successeur $\sigma$ telle que $(s^0, \{s^n ,\;n\in\mathbb{N}\},\sigma)$ soit un triplet naturel.

Exercice 2   On dit qu'un ensemble $A$ est infini s'il existe une application injective de $A$ vers un sous-ensemble de $A$ différent de $A$.

1. Montrer que $\mathbb{N}$ est infini.
2. Montrer que tout sous-ensemble de $\mathbb{N}$ non majoré est infini.
3. Soit $A$ un ensemble tel qu'un de ses sous-ensembles soit infini. Montrer que $A$ est infini.
4. Soit $A$ un ensemble infini. Montrer que le complémentaire de tout sous-ensemble fini de $A$ est infini.
5. Soit $A$ un ensemble infini, et $O$ un élément de $A$. Construire un sous-ensemble $\mathcal{N}$ et une application $s$ tels que $(O,\mathcal{N},s)$ soit un triplet naturel.
6. Montrer qu'un ensemble $A$ est infini si et seulement si il existe une application injective de $\mathbb{N}$ dans $A$.

Exercice 3    

1. Écrire dans les bases $2$, $3$, $4$, $5$, $8$, $16$ le nombre qui s'écrit $2345816$ en base $10$.
2. Écrire en base $10$ le nombre qui s'écrit $\overline{12345}$ en base $8$.
3. Écrire en base $10$ le nombre qui s'écrit $\overline{ABCDEF}$ en base $16$.
4. Écrire en base $4$, puis $8$, puis $16$ le nombre qui s'écrit $\overline{1001101011101}$ en base $2$ (sans passer par la base $10$).
5. Écrire en base $2$ le nombre qui s'écrit $\overline{ABCDEF}$ en base $16$ (sans passer par la base $10$).
6. En base $16$, quel est le successeur du nombre $\overline{EFFEF}$ ?
7. En base $16$, quel est le prédécesseur du nombre $\overline{A0000}$ ?

Exercice 4   Soit $E=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$. Soit $\mathcal{R}$ la relation sur $E$ définie par :

$$(x,y)\mathcal{R}(x',y')\;\Longleftrightarrow\; \Big( \exists \lambda\in\mathbb{R} ,\;(x,y)=\lambda(x',y') \Big)\;.$$

1. Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence.
2. Montrer que l'ensemble quotient $E/\mathcal{R}$ est en bijection avec les droites vectorielles du plan.
3. Pour tout $(x,y)\in E$, on note $\overline{(x,y)}$ sa classe d'équivalence pour $\mathcal{R}$. On considère l'application $f$, de $\mathbb{R}$ dans $E/\mathcal{R}$, qui à $x$ associe $\overline{(x,1)}$. Montrer que $f$ est injective et déterminer $\mathrm{Im}(f)$.
4. L'addition vectorielle sur $E$ induit-elle une loi de composition interne sur $E/\mathcal{R}$ ?
5. Soient $(a,b,c,d)$ quatre réels tels que $ad-bc\neq 0$. On considère l'application $g$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ qui à $(x,y)$ associe $(ax+by,cx+dy)$.
   1. Montrer que $g$ est une bijection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$, et qu'elle induit une bijection de $E$ dans $E$.
   2. Montrer que
      $$\forall (x,y),(x',y')\in E\;,\quad (x,y)\mathcal{R}(x',y') \;\Longrightarrow\; g(x,y)\mathcal{R} g(x',y')\;.$$

   3. En déduire que $g$ induit une bijection de $E/\mathcal{R}$ dans lui-même.

Exercice 5   Soit $d\in\mathbb{N}^*$ un nombre fixé. On note $\mathbb{D}$ l'ensemble des «$d$-cimaux», à savoir l'ensemble des éléments de $\mathbb{Q}$ multiples entiers d'une puissance de $d$.

$$\mathbb{D} = \{ nd^{m} ,\;(n,m)\in\mathbb{Z}^2 \}\;.$$

1. Montrer que $(\mathbb{D},+,\times)$ est un sous-anneau de $(\mathbb{Q},+,\times)$. Est-ce un sous-corps ?
2. On considère le sous-ensemble de $\mathbb{D}^\mathbb{N}$, formé des suites de Cauchy à valeurs dans $\mathbb{D}$. On le note $\mathcal{D}$. On le munit de la multiplication et de l'addition terme à terme. Montrer que $(\mathcal{D},+,\times)$ est un sous-anneau de $(\mathcal{C},+,\times)$ (suites de Cauchy à valeurs dans $\mathbb{Q}$).
3. Soit $\mathcal{D}_0$ l'ensemble des suites de Cauchy à valeurs dans $\mathbb{D}$, dont la limite est 0. Montrer que $\mathcal{D}_0$ est un idéal de $\mathcal{D}$.
4. Montrer que l'anneau quotient $\mathcal{D}/\mathcal{D}_0$ est un corps commutatif, noté $\mathbb{K}$.
5. On note $\mathcal{D}^+$ et $\mathcal{D}^-$ les intersections de $\mathcal{D}$ avec $\mathcal{C}^+$ et $\mathcal{C}^-$. Montrer que $\mathcal{D}^+\cap \mathcal{D}^-=\mathcal{D}_0$, et que $\mathcal{D}^+\cup\mathcal{D}^-=\mathcal{D}$.
6. On considère la relation $\preceq$ sur $\mathcal{D}$ définie par $((u_n)\preceq (v_n))\;\Longleftrightarrow\; (v_n-u_n)\in \mathcal{D}^+$. Montrer que cette relation est compatible avec le quotient par $\mathcal{D}_0$, et qu'elle définit donc une relation d'ordre sur $\mathbb{K}$ encore notée $\preceq$.
7. Montrer que $\mathbb{K}$ muni de la relation $\preceq$ est un corps totalement ordonné et archimédien.
8. On note $I$ l'injection canonique de $\mathcal{D}$ dans $\mathcal{C}$. Montrer que $I$ passe au quotient en une injection canonique de $\mathbb{K}$ dans $\mathbb{R}$.
9. On appelle suite d'approximation $d$-cimale, toute suite $(u_n)$ d'éléments de $\mathbb{D}$ telle que :
   $$\forall n\in\mathbb{N} ,\; u_n\leqslant u_{n+1}< u_n+d^{-n}\;.$$
   Montrer que toute suite d'approximation $d$-cimale appartient à $\mathcal{D}$.
10. Soit $x$ un réel. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $u_n=d^{-n}\lfloor x d^n\rfloor$. Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite d'approximation $d$-cimale, et qu'elle converge vers $x$ dans $\mathbb{R}$. En déduire que $\mathbb{K}=\mathbb{R}$.
11. Soit $x$ un réel compris entre 0 et $1$. Pour tout $m\geqslant 1$, on définit $c_m=\lfloor d^m x\rfloor-d\lfloor d^{m-1}x \rfloor$. Montrer que $c_m\in \{0,\ldots,d-1\}$. La suite $(c_m)$ est le développement $d$-cimal de $x$. Montrer que la suite de terme général $c_1 d^{-1}+\ldots+c_m d^{-m}$ est une suite d'approximation $d$-cimale et qu'elle converge vers $x$.
12. Montrer qu'un réel $x$ est un rationnel si et seulement si son développement $d$-cimal est périodique.
13. Soit $x$ un réel compris entre 0 et $1$ et $(c_n)$ son développement $d$-cimal. Soient $p(x)$ et $i(x)$ les deux réels donc les développements $d$-cimaux sont les suites $(c_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ et $(c_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}$. Montrer que l'application $x\longmapsto (p(x),i(x))$ est une bijection de $[0,1]$ dans $[0,1]^2$.
14. On se place désormais dans le cas $d=3$. On appelle ensemble de Cantor et on note $\mathbb{T}$, l'ensemble des réels $x$ compris entre 0 et $1$, tels que pour tout $n$, l'entier $\lfloor x 3^n\rfloor$ vaut 0 ou $2$. Construire une bijection entre $\mathbb{T}$ et l'intervalle $[0,1]$. (Indication : transformer un développement $3$-cimal en un développement $2$-cimal).
15. Soit $m\in\mathbb{N}^*$ un entier. Soit $\mathbb{T}_m$ l'ensemble des éléments de $\mathbb{D}$ :
    $$\mathbb{T}_m = \{ c_13^{-1}+\cdots c_m3^{-m} ,\;c_1, \ldots c_m\in\{0,2\} \}\;.$$
    Montrer que $\mathbb{T}_m$ est une réunion finie d'intervalles de longueur $1/3^m$. En déduire la mesure de Lebesgue de $\mathbb{T}_m$.
16. Montrer que pour tout $m\in\mathbb{N}^*$, $\mathbb{T}\subset \mathbb{T}_n$. En déduire que la mesure de Lebesgue de $\mathbb{T}$ est nulle.

Exercice 6   Soit $\mathbb{K}$ un corps totalement ordonné. On appelle coupure de Dedekind un couple $(A,B)$ de sous-ensembles de $\mathbb{K}$ vérifiant :

(i)

$A\neq \emptyset$, $B\neq \emptyset$,

(ii)

$A\cap B=\emptyset$

(iii)

$A\cup B=\mathbb{K}$

(iv)

$\forall x\in A ,\;\forall y\in \mathbb{B} ,\; x<y$

(v)

$A$ ne possède pas de plus grand élément.

1. Soit $r\in \mathbb{K}$. On note $A_r=\{x\in\mathbb{K} ,\;x<r\}$, et $\overline{A_r}$ son complémentaire. Montrer que le couple $(A_r,\overline{A_r})$ est une coupure de Dedekind.
2. Soit $(A,B)$ une coupure de Dedekind. Montrer qu'il existe au plus un $r\in \mathbb{K}$ tel que $A=A_r$.
3. Pour $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ : montrer que si $(A,B)$ est une coupure de Dedekind, alors il existe $r\in\mathbb{R}$ tel que $A=A_r$.
4. Pour $\mathbb{K}=\mathbb{Q}$ : montrer que le couple $(A,B)$ défini comme suit est une coupure de Dedekind.
   $$A=\{x\in \mathbb{Q} ,\;x\leqslant 0$$    ou $$x^2<2\}$$   et$$\quad B=\{y\in \mathbb{Q} ,\;y>0$$ et $$y^2\geqslant 2\}\;.$$

5. Retour au cas général : montrer que si $(A,B)$ est une coupure de Dedekind alors
   $$\forall x\in \mathbb{K} ,\; \Big((a\in A) \wedge (x\leqslant a)\Big) \;\Longrightarrow\; x\in A\;,$$
   et
   $$\forall y\in \mathbb{K} ,\; \Big((b\in B) \wedge (y\geqslant b)\Big) \;\Longrightarrow\; y\in B\;.$$

6. Soient $(A,B)$ et $(C,D)$ deux coupures de Dedekind. On définit la relation $\preceq$ en posant :
   $$(A,B)\preceq (C,D) \;\Longleftrightarrow\; A\subset C\;.$$
   Montrer que $\preceq$ est une relation d'ordre total sur l'ensemble des coupures de Dedekind.
7. Soient $r$ et $s$ deux éléments de $\mathbb{K}$. Montrer que
   $$(A_r,\overline{A_r})\preceq (A_s,\overline{A_s}) \;\Longleftrightarrow\; r\leqslant s\;.$$

8. Montrer que l'ensemble des coupures de Dedekind, muni de l'ordre $\preceq$, possède la propriété de la borne supérieure.
9. Désormais, $\mathbb{K}=\mathbb{Q}$. On définit l'addition de deux sous-ensembles $A$ et $C$ de $\mathbb{Q}$ par :
   $$A\oplus C = \{ a+c ,\;a\in A ,\;c\in C \}\;,$$
   et l'addition des coupures de Dedekind par :
   $$(A,\overline{A})\oplus(C,\overline{C}) = (A\oplus C,\overline{A+C})\;.$$
   Montrer que si $r$ et $s$ sont deux rationnels, alors $(A_r,\overline{A_r})\oplus(A_s,\overline{A_s})=(A_{r+s},\overline{A_{r+s}})$. Montrer que l'ensemble de coupures de Dedekind, muni de cette addition est un groupe commutatif.
10. Procéder comme dans la question précédente pour définir la multiplication $\otimes$ des coupures de Dedekind (attention aux nombres négatifs). Montrer que si $r$ et $s$ sont deux rationnels, alors $(A_r,\overline{A_r})\otimes(A_s,\overline{A_s})=(A_{rs},\overline{A_{rs}})$. Montrer que l'ensemble de coupures de Dedekind, muni de $\oplus$ et $\otimes$ est un corps commutatif.
11. Montrer que ce corps est archimédien et complet.
12. En déduire qu'il est isomorphe à $\mathbb{R}$.

Exercice 7    

1. On munit $\mathbb{R}^2$ des deux lois de composition interne définies par :
   $$(x,y)\oplus(x',y')=(x+x',y+y')$$   et$$\quad (x,y)\otimes (x',y') = (xx'-yy',xy'+yx')\;.$$
   Montrer que $(\mathbb{R}^2,\oplus,\otimes)$ est un corps, isomorphe à $\mathbb{C}$.
2. On considère le sous-ensemble $E$ suivant de $\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ :
   $$E = \left\{ \left(\begin{array}{rr}a&-b b&a\end{array}\right) ,\; (a,b)\in\mathbb{R}^2 \right\}\;.$$
   Montrer que $E$, muni de l'addition et de la multiplication matricielles est un corps, isomorphe à $\mathbb{C}$.

Exercice 8   Montrer qu'il n'existe pas de relation d'ordre total sur $\mathbb{C}$ qui prolonge la relation d'ordre sur $\mathbb{R}$ et qui soit compatible avec la somme et le produit c'est-à-dire telle que :

$\bullet$

$a\leq b$ et $c\leq d$ entraîne $a+c\leq c+d$, et

$\bullet$

$a\leq b$ et $0\leq c$ entraîne $ac\leq bc$.

Exercice 9    

1. On considère le sous-ensemble $\mathbb{H}$ suivant de $\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{C})$ :
   $$E = \left\{ \left(\begin{array}{rr} a+b\mathrm{i}&-c+d\mathrm{i}... ...i}&a-b\mathrm{i} \end{array}\right) ,\; (a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4 \right\}\;.$$
   Montrer que $\mathbb{H}$, muni de l'addition et de la multiplication matricielles est un corps non commutatif (c'est le corps des quaternions).
2. On pose :
   $$1=\left(\begin{array}{rr}1&0 0&1\end{array}\right) ,\; I=\left... ...,,\; K=\left(\begin{array}{cc}0&\mathrm{i} \mathrm{i}&0\end{array}\right)\;.$$
   Vérifier que $\mathbb{H}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $4$, dont $(1,I,J,K)$ est une base.
3. Calculer $I^2$, $J^2$, $K^2$, $IJ$, $IK$, $KJ$, $IJK$.
4. On munit $\mathbb{R}^4$ de sa base canonique, que l'on note $(e_1,e_i,e_j,e_k)$. On munit $\mathbb{R}^4$ de l'addition vectorielle $+$. Montrer que les trois propriétés suivantes définissent une loi de composition interne $\times$ sur $\mathbb{R}^4$.

   i)

   $\times$ est distributive par rapport à $+$ ;

   ii)

   $e_1$ est élément neutre pour $\times$ ;

   iii)

   $e_i\times e_i = e_j\times e_j = e_k\times e_k = e_i\times e_j\times e_k = -e_1$.

5. Montrer que $(\mathbb{R}^4,+,\times)$ est un corps non commutatif, isomorphe à $\mathbb{H}$.
6. On considère le sous-ensemble $\mathbf{H}$ de $\mathcal{M}_{4,4}(\mathbb{R})$, formé des matrices de la forme
   $$M(a,b,c,d) = \left(\begin{array}{rrrr} a&-b&-c&-d\\ b&a&-d&c\\ c&d&a&-b\\ d&-c&b&a \end{array}\right)\;,$$
   pour tout $(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4$. Montrer que $\mathbf{H}$, muni de l'addition et de la multiplication matricielles est un corps non commutatif, isomorphe à $\mathbb{H}$.

Exercice 10   Soit $K$ un anneau commutatif. On dit qu'un élément $d$ de $K$ est un carré dans $K$ s'il existe un élément $x\in K$ tel que $x^2=x\times x=d$. Soit $K$ un anneau commutatif et $d$ un élément de $K$ qui n'est pas un carré dans $K$. On note $L$ le produit cartésien $K\times K$.

1. Supposons qu'il existe un anneau $A$ contenant $K$ dans lequel l'équation $x^2=d$ possède au moins une solution. Notons $\omega$ une des solutions de cette équation. Soit $f$ l'application de $L$ dans $A$ qui à $(x,y)$ associe $x+\omega y$. Notons $A'=\mathrm{Im}(f)$. Montrer que $A'$ est un sous-anneau de $A$ contenant $K$, dans lequel l'équation $x^2=d$ possède au moins une solution.
2. Montrer que si $K$ est un corps, alors $f$ est injective.
3. On définit sur $L$ deux lois de composition interne par :

   $$(x,y)\oplus (x',y')=(x+x',y+y'),$$ (11)

   
   

   $$(x,y)\otimes (x',y')=(xx'+dyy',xy'+x'y).$$ (12)

   
   
   Montrer que $(L,\oplus,\otimes)$ est un anneau commutatif. On le note $K[d]$, et on l'appelle extension quadratique de $K$.
4. Soit $j$ l'application de $K$ dans $L$ qui à $x$ associe $(x,0)$. Montrer que $j(K)$ est un sous-anneau de $L$, et que $j$ est un isomorphisme d'anneaux de $K$ sur $j(K)$.
5. Notons $\omega$ l'élément $(0,1)$ de $L$. Vérifier que $\omega^2=(0,1)\otimes(0,1)=d$.
6. Vérifier que pour tout $(x,y)\in L$, $(x,y)=j(x)+\omega j(y)$.
7. Montrer que si $K$ est un corps, alors $K[d]$ est un corps.
8. Vérifier que $\mathbb{R}[\mathrm{i}]$ est isomorphe à $\mathbb{C}$.

Exercice 11   Soit $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ l'ensemble des nombres complexes de la forme $a+\mathrm{i} b$ avec $a$ et $b$ éléments de $\mathbb{Z}$.

1. Montrer que $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$.
2. Soit $z$ un élément de $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$. Montrer que le conjugué $\overline{z}$ de $z$ appartient à $\mathbb{Z}[i]$ et que $\vert z\vert^2$ appartient à $\mathbb{N}$.
3. Soit $z$ un élément de $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$. Montrer que $z$ appartient au groupe $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]^\ast$ des unités de $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ si et seulement si $\vert z\vert=1$.
4. Déterminer le groupe $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]^\ast$.
5. Montrer que pour tout $z$ élément de $\mathbb{C}$, il existe un élément $z_0$ de $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ tel que $\vert z-z_0\vert^2\le\frac12$.
6. Prouver que pour tous $z_0$ et $z_1$ éléments de $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ avec $z_{1}\neq0$, il existe des éléments $a_{0}$ et $a_1$ de $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ tels que $z_0=a_0z_1+a_1$ avec $\vert a_1\vert<\vert z_1\vert$.
7. Montrer que $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ est un anneau principal.

Exercice 12   L'objet de cet exercice est de prouver que $\mathbb{Z}[\sqrt {10}]$ n'est pas un anneau principal.

1. Prouver que l'équation $10 y^2=x^2$ n'a pas de solution $(x,y)$ dans $\mathbb{Z}^{2}$ à part $x=y=0$.

2. Déterminer l'ensemble des carrés modulo $10$ : un élément $y$ de $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ est un carré modulo $10$ s'il existe un élément $x$ de $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ tel que $y=x^{2}$.

3. Prouver qu'il n'existe pas de couple $(x,y)$ dans $\mathbb{Z}^{2}$ tel que $10y^2=x^2+3$ ou $10y^2=x^2-3$.

4. Soit $v=\sqrt{10}$ tel que $v^2=10$ et $A$ l'ensemble des $x+yv$ pour $x$ et $y$ éléments de $\mathbb{Z}$. Prouver que $A$ est un sous-anneau de $K$ et que pour tout élément $a$ de $A$, les entiers $x$ et $y$ tels que $a=x+yv$ sont uniques. On note souvent $A=\mathbb{Z}[\sqrt{10}]$.

5. Soit $c : A\to A$ définie par $c(x+yv)=x-yv$, pour tous $x$ et $y$ entiers. Montrer que $c$ est un endomorphisme d'anneau et que les seuls points fixes de $c$ sont les éléments de $\mathbb{Z}$.

6. Expliciter $ac(a)$ en fonction des coordonnées $(x,y)$ de $a=x+yv$. En déduire qu'il n'existe pas d'élément $a$ de $A$ tel que $\vert ac(a)\vert=3$.

7. Soit $n: A\to A$ définie par $n(a)=ac(a)$. Montrer que $n$ est à valeurs dans $\mathbb{Z}$ et vérifie les propriétés suivantes : pour tous $a$ et $b$ éléments de $A$, $n(ab)=n(a)n(b)$ ; pour tout $a$ élément de $A$, $n(a)=0$ si et seulement si $a=0$.

8. Soit $I$ l'ensemble des $3a+(2+v)b$ pour $a$ et $b$ éléments de $A$. Montrer que $I$ est un idéal de $A$ contenant $3$ et $2+v$ et déduire de ce qui précède que cet idéal n'est pas principal.

Exercice 13   On considère l'anneau $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Vérifier que

$$(2+\mathrm{i}\sqrt{-5})(2-\mathrm{i}\sqrt{-5})=3.3=9.$$

En déduire que $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ n'est pas principal.