Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Pour chacune des définitions de $O$, $\mathcal{N}$ et $s$ qui suivent, $(O,\mathcal{N},s)$ est-il un triplet naturel (oui ou non et pourquoi) ?

1. $\boxtimes\;$$O=1$, $\mathcal{N}=\{2^n ,\;n\in\mathbb{N}\}$, $s(n)=2n$.
2. $\square\;$$O=1$, $\mathcal{N}=\{2^n ,\;n\in\mathbb{Z}\}$, $s(n)=2n$.
3. $\boxtimes\;$$O=1$, $\mathcal{N}=\{2^{-n} ,\;n\in\mathbb{N}\}$, $s(n)=n/2$.
4. $\square\;$$O=\{1\}$, $\mathcal{N} = \{ \{n\} ,\;n\in\mathbb{N}\}$, $s(n)=\{n\}\cup\{1\}$.
5. $\square\;$ $O=\emptyset$, $\mathcal{N} = \{ \{1,\ldots,n\} ,\;n\in\mathbb{N}\}$, $s(\{1,\ldots,n\})=\{1,\ldots,n+1\}$.
6. $\boxtimes\;$$O=\{0\}$, $\mathcal{N}=\{n\}$, $s(\{n\})=\{n+1\})$.

Vrai-Faux 2   Soit $H(n)$ un énoncé dépendant de l'entier $n$. Les assertions suivantes entraînent-elles que $H(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$ (oui ou non et pourquoi) ?

1. $\boxtimes\;$ $H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+1)\Big)$.
2. $\square\;$ $H(1)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+1)\Big)$.
3. $\square\;$ $H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$.
4. $\square\;$ $H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+2)\Big)$.
5. $\boxtimes\;$ $H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+2)\Big) \wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$.
6. $\square\;$ $H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(2n)\Big) \wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$.
7. $\boxtimes\;$ $(H(0)\wedge H(1))\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\; H(n)\Longrightarrow H(2n)\Big) \wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$.

Vrai-Faux 3   Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$Toute partie de $\mathbb{N}$ admet un plus petit élément.
2. $\square\;$Toute partie non vide de $N$ admet un plus grand élément.
3. $\boxtimes\;$Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{Z}$ admet un plus grand élément.
4. $\square\;$Toute partie de $\mathbb{N}$ différente de $\mathbb{N}$ admet un plus grand élément.
5. $\boxtimes\;$Toute partie finie de $\mathbb{Q}$ admet un plus grand élément.
6. $\square\;$L'ensemble des majorants d'un sous-ensemble non vide de $\mathbb{Q}$ admet un plus petit élément dans $\mathbb{Q}$.
7. $\boxtimes\;$L'ensemble des minorants d'un sous-ensemble non vide de $\mathbb{Q}^+$ admet un plus grand élément dans $\mathbb{R}$.

Vrai-Faux 4   Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$Si un nombre entier est une puissance de $2$ alors son écriture dans une base $b$ impaire ne contient aucun 0.
2. $\boxtimes\;$Si un nombre entier est une puissance de $2$ alors son écriture dans une base $b\neq 2$ ne se termine pas par 0.
3. $\square\;$Si l'écriture d'un nombre entier dans une base impaire se termine par 0, alors ce nombre est impair.
4. $\boxtimes\;$Si l'écriture d'un nombre entier dans un base paire se termine par 0, alors ce nombre est pair.
5. $\boxtimes\;$Si l'écriture hexadécimale d'un nombre commence par $8$, suivi seulement de zéros, alors ce nombre est une puissance de $2$.
6. $\square\;$Si l'écriture hexadécimale d'un nombre ne contient que des $2$, alors ce nombre est divisible par $32$.

Vrai-Faux 5   Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $a+b$ est rationnel, alors soit $a$ est rationnel soit $b$ est rationnel.
2. $\boxtimes\;$ Si $a+b$ est irrationnel, alors soit $a$ est irrationnel soit $b$ est irrationnel.
3. $\boxtimes\;$ Si $a$ est rationnel, alors sa partie décimale est rationnelle.
4. $\square\;$ Si $a$ est irrationnel, alors la partie décimale de $a+b$ est irrationnelle.
5. $\boxtimes\;$ Si la partie décimale de $a$ est rationnelle, alors $a$ est rationnel.

Vrai-Faux 6   Soit $(x_n)$ une suite de rationnels. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $(x_n)$ est une suite de Cauchy, alors elle converge dans $\mathbb{Q}$.
2. $\boxtimes\;$ Si $(x_n)$ converge dans $\mathbb{Q}$ alors c'est une suite de Cauchy.
3. $\square\;$ Si la suite $(x_n)$ est majorée, alors c'est une suite de Cauchy.
4. $\boxtimes\;$ Si la suite $(x_n)$ tend vers 0, alors elle est bornée.
5. $\boxtimes\;$ Si $(x_n)$ est une suite de Cauchy, alors elle converge dans $\mathbb{R}$.

Vrai-Faux 7   Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si $A$ est minorée, alors $A$ possède une borne inférieure.
2. $\square\;$ Si $x\leqslant \sup(A)$ alors $x\in A$.
3. $\square\;$ Si $A$ contient au moins $2$ réels distincts, alors $A$ contient un rationnel.
4. $\square\;$ Si $A$ est infinie, alors $A$ contient une infinité d'irrationnels.
5. $\boxtimes\;$ Si $A$ contient un intervalle de $\mathbb{R}$, contenant lui-même deux points distincts, alors $A$ contient une infinité d'irrationnels.
6. $\square\;$ Si $A$ contient un intervalle de $\mathbb{R}$, alors $A$ contient une infinité de rationnels.

Vrai-Faux 8   Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$. On note $\vert A\vert=\{\vert x\vert ,\;x\in A\}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $A$ est majorée, alors $\vert A\vert$ possède une borne supérieure.
2. $\boxtimes\;$ 0 est un minorant de $\vert A\vert$.
3. $\boxtimes\;$ $\vert A\vert$ possède toujours une borne inférieure.
4. $\square\;$ $\vert A\vert$ possède toujours une borne supérieure.
5. $\boxtimes\;$ $A$ est bornée si et seulement si $\vert A\vert$ est majorée.
6. $\boxtimes\;$ Si $A$ est un intervalle, alors $\vert A\vert$ est un intervalle.
7. $\square\;$ Si $\vert A\vert$ est un intervalle, alors $A$ est un intervalle.
8. $\square\;$ Si $A$ est un intervalle ouvert, alors $\vert A\vert$ est un intervalle ouvert.
9. $\boxtimes\;$ Si $A$ est un intervalle fermé, alors $\vert A\vert$ est un intervalle fermé.

Vrai-Faux 9   Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $\vert ab\vert=\vert a\vert \vert b\vert$.
2. $\boxtimes\;$ $\vert a\vert-\vert b\vert\leqslant \vert a-b\vert$.
3. $\square\;$ $\vert a-b\vert\leqslant \max\{\vert a\vert,\vert b\vert\}$.
4. $\boxtimes\;$ $\vert a-b\vert=\vert a-(a+b)/2\vert+\vert(a+b)/2-b\vert$.
5. $\square\;$ $\vert a-b\vert=\vert a-(a+b)\vert+\vert(a+b)-b\vert$.
6. $\square\;$ Si $\vert a-b\vert<\vert a\vert$, alors $\vert ab\vert=ab$.
7. $\square\;$ $\lfloor a+b \rfloor = \lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor$.
8. $\boxtimes\;$ $\lfloor a+b \rfloor \geqslant \lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor$.
9. $\boxtimes\;$ $\lfloor a+b \rfloor \leqslant \lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor+1$.
10. $\square\;$ $D(a+b)=D(a)+D(b)$.

Vrai-Faux 10   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$Le corps des rationnels est archimédien.
2. $\square\;$Tout corps archimédien contenant $\mathbb{Q}$ est isomorphe à $\mathbb{R}$.
3. $\square\;$Le corps des rationnels est archimédien et complet.
4. $\square\;$Dans un corps archimédien, toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure.
5. $\boxtimes\;$Tout corps archimédien et complet est isomorphe à $\mathbb{R}$.

Vrai-Faux 11   On considère le quotient $\mathbb{Q}[X]/(X^2-2)$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$Il est isomorphe à $\mathbb{Q}+\sqrt{2}\mathbb{Q}$.
2. $\boxtimes\;$C'est un corps archimédien.
3. $\square\;$C'est un corps complet.
4. $\square\;$C'est un corps isomorphe à $\mathbb{C}$.
5. $\boxtimes\;$C'est un corps isomorphe à $\mathbb{Q}+\mathrm{i}\mathbb{Q}$.