QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $(O,\mathcal{N},s)$ un triplet naturel.

$(s(O),\mathcal{N},s)$ est un triplet naturel.

$(O,\mathcal{N}\setminus\{O\},s)$ est un triplet naturel.

$(s(O),s(\mathcal{N}),s\circ s)$ est un triplet naturel.

$(s(O),\mathcal{N}\setminus\{O\},s)$ est un triplet naturel.

$(s(O),s(\mathcal{N}),s)$ est un triplet naturel.

Question 2   Soit $H(n)$ un énoncé dépendant de l'entier $n$. L'assertion entraîne que $H(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant 1$.

$H(1)\wedge \Big(\forall n\geqslant 1 ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+1)\Big)$.

$H(1)\wedge \Big(\forall n\geqslant 1 ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+2)\Big)$.

$H(1)\wedge \Big(\forall n\geqslant 2 ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+1)\Big)$.

$H(1)\wedge \Big(\forall n\geqslant 1 ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$.

$H(1)\wedge \Big(\forall n\geqslant 1 ,\; H(n)\Longrightarrow H(2n)\Big) \wedge \Big(\forall n\geqslant 4 ,\;H(n)\Longrightarrow H(n-1)\Big)$.

Question 3    

Toute partie non vide de $\mathbb{Z}$ admet un plus petit élément.

Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{N}$ admet un plus grand élément.

Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{Q}$ admet un plus grand élément.

L'ensemble des minorants d'une partie non vide de $\mathbb{R}^+$ admet un plus grand élément.

Toute partie non vide et minorée de $\mathbb{R}$ admet un plus petit élément.

Question 4    

Si un nombre entier est multiple de $16$, alors son écriture en base $8$ se termine par deux zéros.

Si l'écriture d'un nombre en base hexadécimale se termine par deux zéros, ce nombre est une puissance de deux.

Si un nombre s'écrit avec deux lettres en base hexadécimale, il est au moins égal à $170$.

Si l'écriture d'un nombre en base hexadécimale ne comporte que des $8$ et des zéros, alors ce nombre est mutiple de $16$.

Si l'écriture d'un nombre en base hexadécimale se comporte que des $A$, et des zéros, alors ce nombre est multiple de $10$.

Question 5   Soit $x$ un réel.

Si $\sqrt{x}$ est irrationnel, alors $\sqrt[4]{x}$ est irrationnel.

Si $\sqrt{x}$ est rationnel, alors $\sqrt[3]{x}$ est irrationnel.

Si $\sqrt{x}$ est irrationnel, alors $\sqrt{3x}$ est irrationnel.

Si $\sqrt{x}$ est rationnel, alors $x^3$ est rationnel.

Si $\sqrt[4]{x}$ est irrationnel, alors $\sqrt[3]{x}$ est irrationnel.

Question 6   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$.

Si $I$ est non vide, alors il contient au moins un rationnel.

Si $I$ contient au moins deux réels distincts, alors il contient au moins deux irrationnels.

Si $I$ contient un rationnel et un irrationnel, alors il contient un nombre décimal.

Si $I$ contient un nombre rationnel, alors il contient un nombre décimal.

Si $I$ contient un multiple entier d'une puissance négative de $2$, alors il contient un irrationnel.

Question 7   Soit $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de rationnels.

Si $(x_n)$ est une suite de Cauchy, alors $(x_n)$ converge dans $\mathbb{Q}$.

Si $(x_n)$ est bornée, alors $(x_n)$ est une suite de Cauchy.

Si $(x_n)$ est une suite de Cauchy, alors $(x_n)$ converge dans $\mathbb{R}$.

Si $(x_n)$ converge dans $\mathbb{Q}$, alors $(x_n)$ est bornée.

Si $(x_n)$ converge dans $\mathbb{R}$, alors $(x_n)$ converge dans $\mathbb{Q}$.

Question 8   Soient $x$ et $y$ deux réels quelconques.

$\vert x-y\vert\leqslant \vert x\vert+\vert y\vert$.

$\vert x\vert-\vert y\vert\leqslant \vert x-y\vert$.

$\vert x-y\vert\leqslant \big\vert \vert x\vert-\vert y\vert \big\vert$.

$\vert x+y\vert<\vert x\vert+\vert y\vert$.

$\vert x+y\vert<\vert x-y\vert+2\vert y\vert$.

Question 9   Soit $x\in\mathbb{R}^+\setminus\mathbb{N}$ un réel positif non entier.

$\lfloor -x\rfloor=-\lfloor x\rfloor$.

$\lfloor 1-x\rfloor=-\lfloor x\rfloor$.

$x+D(x)=\lfloor x\rfloor$.

$D(2-x)=2-D(x)$.

$D(-x)=1-D(x)$.

Question 10    

$\mathbb{Q}$ est un corps archimédien.

Tout corps archimédien contient $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$.

Tout corps archimédien complet est isomorphe à $\mathbb{R}$.

Dans un corps archimédien, toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure.

Tout corps totalement ordonné est archimédien.