Démonstration : On va prouver successivement l'existence et l'unicité de .
Existence de : la démonstration se prête bien à discuter
selon le signe de
. Le cas où
est le cas
contenant l'essentiel de la
démonstration ; lorsque
, on ne peut utiliser mot à mot
la même preuve, mais on se ramène alors sans mal au cas
intéressant déjà
traité.
Premier cas (le cas significatif) : si
.
L'idée de la démonstration est de dire que le quotient de par
est
le plus grand entier
tel que
soit encore plus petit que
.
Introduisons donc l'ensemble
.
L'ensemble
est un ensemble d'entiers naturels ; il est non vide, car il
contient 0. Il est fini : en effet soit
un entier tel que
; on a alors
, donc
et
ainsi
ne contient que des entiers inférieurs ou égaux à
.
L'ensemble possède donc un plus grand élément
. Posons
.
La première condition sur
est alors évidemment
vérifiée, c'est la seconde
qui nécessite une vérification.
Comme , par définition de
, on a
. Donc
.
Comme est maximal parmi les éléments de
,
. Donc
, donc
.
L'existence est démontrée dans ce cas.
Second cas (preuve sans imagination) : si
.
Posons . Comme
et
, on obtient
.
On peut donc, en appliquant le premier cas, faire la division
euclidienne de
par
; notons
le couple ainsi obtenu : on a alors
,
avec en outre
. En réinjectant la définition
de
, on écrit
alors
, donc
. Si on pose
, on constate qu'on
a réussi la division euclidienne de
par
.
Unicité de : soit
et
des couples
vérifiant les deux conditions exigées dans l'énoncé du théorème.
On déduit de
que
. Ainsi,
est un multiple de
.
Des conditions
et
, on déduit que
.
Des conditions et
, on déduit que
.
Ainsi est un multiple de
compris strictement entre
et
. La seule possibilité est que
soit nul.
On en déduit
,
puis, en allant reprendre l'égalité
, que
.