La noción de potencia ha sido definida hasta ahora para una alternativa simple. En el marco paramétrico, si la hipótesis es compuesta, se empleará preferentemente la función potencia. Se dispone de una muestra de la ley que depende del parámetro . Se supone que para una cierta hipótesis , una regla de rechazo ha sido definida.
Si el valor del parámetro es , se calculan las probabilidades de rechazo de , con la ayuda de la función de distribución de la ley gamma . Como ejemplo numérico, fijamos y . Veamos algunos valores particulares para las funciones potencia , y (ver también la figura 4).
Para el test bilateral, la función potencia admite un mínimo en el punto . Para los tests unilaterales, la potencia es monótona, y ella es menor que el nivel del test para algunos valores de .
Definición 4.8 Se dice que un test de umbral para una hipótesis simple es sesgado si la función potencia toma valores menores que para algunos valores de .
Para los tests en los que la alternativa es simple, el teorema
4.6 (Neyman-Pearson) muestra que el test del
cociente de verosimilitud es el más potente para un umbral dado.
Un tal test se llama
uniformemente más potente
(UMP).
Para hipótesis compuestas, no existe en general un test UMP.
Bajo hipótesis razonables, se demuestra que siempre existe un
test que es UMP entre los tests sin sesgo.