General information The meeting takes place in l'Escandille, a vacation center in the beautiful village Autrans (Vercors), about one hour drive from Grenoble. Accomodation: The complete stay (room + meals) is ensured by the Grenoble team! Venue: The transport to / from Grenoble (and then to/from the center) is a priori left to the attendants. Please contact us in case of difficulty! To reach the center from Grenoble train station, there are mainly two options: Local buses (bus T64 followed by T66 with a change in Lans-en-Vercors) run several times a day from Grenoble bus station (next to the train station) to Autrans, and conversely; see the webpage for more information. Several taxi companies can take care of the trip (the cost is about 100 euros): Taxi des 4 montagnes: web: https://www.taxides4montagnes.fr/transport; tel. 06 74 83 53 20 Altitude Taxi web: http://www.altitude-taxi.com/; tel. 06 85 42 40 66 In order to share taxis, or car transfer, please fill in the form. For any question, do not hesitate to contact the organizers: Edouard Oudet (edouard.oudet[AT]univ-grenoble-alpes.fr) and Charles Dapogny (charles.dapogny[AT]univ-grenoble-alpes.fr).

(Thanks to E. Bonnetier for the poster!)

Program

• Wednesday, April, 6th: 12:00 --


• 12:30 -- 14:00: Lunch


• 14:00 -- 15:00: Romain Petit (Inria Paris, MOKAPLAN Team Project): Résultats de convergence pour des problèmes inverses régularisés par la variation totale dans un régime de faible bruit (abstract)


On considère un problème inverse qui consiste à reconstruire une fonction "simple" à partir de mesures linéaires bruitées. Notre approche est variationnelle : on produit une approximation de la fonction inconnue en résolvant un problème de type moindres carrés régularisé par un terme de variation totale. On cherche à prouver la convergence de cette approximation vers la fonction inconnue dans un régime de faible bruit. Plus spécifiquement, on s'intéresse à une convergence de type "géométrique" : convergence des ensembles de niveau, du nombre d'ensembles de niveau non triviaux, etc. Ce type de résultat est fortement lié à des questions de stabilité pour le problème de la courbure prescrite.



• 15:00 -- 16:00: Idriss Mazari (CEREMADE, Université Paris-Dauphine) Existence of optimal shapes in bilinear optimal control problems (abstract)


Motivated by applications in spatial ecology, we investigate the existence of optimal shapes in bilinear optimal control problems. The problem reads as follows: consider a parabolic or elliptic equation \(L u=mu +F(u)\) where \(L\) is a parabolic or elliptic operator, \(m\) is the control and $F$ is a given non-linearity. The goal is to solve the optimisation problem \(\max_m \int j(x,u)\) where \(j\) is simply a cost functional, and \(m\) is an admissible control that satisfies \(L^\infty-L^1\) bounds. In other words, we assume \(0\leq m\leq 1\) almost everywhere, and \(\int m=V_0\) where \(V_0\) is a fixed volume constraint. A basic property for such problem is to obtain the bang-bang property for maximisers. In other words, are optimal control characteristic functions of subsets of the domain on which the equation is set? Put otherwise, can optimisers be identified with subsets of the domain? What we explain in this talk is that for bilinear control problems, the answer is analogous to the Buttazzo-DalMaso theorem: if the functional we want to optimise is monotonic, then the answer to this question is positive. Our result relies on new oscillatory techniques. This talk is based on joint works with G. Nadin and Y. Privat.



• 16:00 -- 16:30: Enea Parini (Institut de Mathématiques de Marseille, Aix-Marseille Université): Inégalité de Faber-Krahn inverse pour le laplacien tronqué (abstract)


Dans cet exposé on va s'intéresser à une inégalité de Faber-Krahn inverse pour la valeur propre fondamentale \(\mu_1(\Omega)\) de l'opérateur complètement nonlinéaire \( \mathcal{P}_N^+ u := \lambda_N(D^2 u), \) où \(\Omega \subset \mathbb{R}^N\) est un ouvert borné et convexe, et \(\lambda_N(D^2 u)\) est la plus grande valeur propre de la matrice hessienne de \(u\). On verra que le résultat découle de l'inégalité isopérimétrique \( \mu_1(\Omega) \leq \frac{\pi^2}{\text{diam}(\Omega)^2}. \) De plus, on va discuter de la minimisation de \(\mu_1\) sous différents types de contraintes. Les résultats ont été obtenus en collaboration avec Julio D. Rossi et Ariel Salort (Buenos Aires).





• 16:30 -- 17:00: Coffee break


• 17:00 -- 17:30: Luca Gorini (CMAP & Thales Alenia Space) Optimisation de formes géométrique pour l'optique réflexive (abstract)


Dans ce travail, on s'intéresse à l'optimisation géométrique de formes pour une équation de Boltzmann linéaire (équation des neutrons) avec condition aux bord de type réflexion spéculaire. Le contexte physique d'étude de cette équation sera abordé dans un premier temps, à savoir la modélisation physique de télescopes optiques réflexifs et le lien avec les équations de Helmholtz et de Maxwell pour la propagation lumineuse en hautes fréquences. Dans un second temps, on décrira le problème d'optimisation de formes considéré et on développera la méthode de perturbation par difféomorphisme en insistant sur les spécificités du cadre mathématique: caractère bien posé lié à la géométrie du domaine, travail dans l'espace des phases, établissement d'une "formulation faible", conditions aux bords non locales, etc. Dans un troisième temps on discutera du calcul numérique de la dérivée de forme obtenue à l'aide de techniques de tracés de rayons. On finira par présenter quelques illustrations sur des exemples académiques.



• 17:30 -- 18:00: Aymeric Jacob de Cordemoy (Université de Pau et des Pays de l'Adour) Problème d’optimisation de forme impliquant la loi de Tresca dans un cas scalaire (abstract)


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• 20:00 -- : Dinner


• Thursday, April, 7th


• 08:00 -- 09:00: Boris Thibert (Laboratoire Jean Kuntzmann, Université Grenoble-Alpes): Numerical resolution of Generated Jacobian equations (abstract)


T.B.A.



• 09:00 -- 10:00: Beniamin Bogosel (Centre de Mathématiques Appliquées, Ecole Polytechnique) Sur l'inégalité Faber-Krahn polygonale (abstract)


La conjecture de Polya-Szego dit que parmi les polygones avec n cotés et aire fixée, le polygone régulier minimise la première valeur propre de l’opérateur Dirichlet-Laplace. Dans ce travail en collaboration avec Dorin Bucur on montre comment la preuve de la conjecture peut être réduite à un nombre fini de simulations numériques validées. Parmi les points clés de la stratégie on mentionne : le calcul de la matrice Hessienne et de ses valeurs propres, la stabilité quantitative de la Hessienne par rapport aux perturbations des sommets, une borne explicite pour le diamètre maximal d'un polygone optimal. Des estimations a priori explicites permettent de conclure que (aux erreurs d'arrondi près) les polygones réguliers sont des minima locaux pour \(n=5, 6, 7, 8\).



• 10:00 -- 10:30: Lalaina Rakotondrainibe (INRIA Paris-Saclay, PLATON Team project) Optimisation robuste et fiabiliste sous chargements incertains (abstract)


On s’intéresse à des problèmes de minimisation de la compliance sous incertitudes. On considère une structure élastique linéaire soumise à \(n \geq 1\) chargements distribués indépendants d’amplitude incertaine. Plusieurs formulations sont proposées afin de traiter le problème du point de vue de la robustesse et de la fiabilité. La variabilité de la compliance est exprimée au travers de la moyenne et de la variance qui deviennent alors fonction objectif et contrainte d’optimisation dans l’approche robuste. La fiabilité de la structure dans des cas extrêmes est quantifiée par une probabilité de défaillance qui est alors imposée comme contrainte d’optimisation. Cette probabilité est approximée par une fonction pénalisée et régularisée afin de calculer un gradient de forme par états adjoints. Enfin, une formulation couplant les contraintes de robustesse et de fiabilité révèle une famille de topologies plus performantes que celles obtenues avec une formulation purement robuste ou fiabiliste. Cela souligne la présence de minima locaux témoignant de la non-convexité du problème. En termes de coût de calculs, on exploite la linéarité de l’élasticité et le principe de superposition. On se ramène alors à un coût équivalent à n résolutions des équations de l’élasticité.





• 10:30 -- 11:00: Coffee break


• 11:00 -- 12:00: Samuel Amstutz (Centre de Mathématiques Appliquées, Ecole Polytechnique): T.B.A. (abstract)


T.B.A.





• 12:00 -- : Lunch


• Free afternoon for walk / discussions (coffee break at 17:00)


• 20:00 -- : Dinner


• Friday, April, 8th


• 08:00 -- 09:00: Florian Feppon (ETH Zürich): High order topological asymptotics: reconciling layer potentials and compound asymptotic expansions (abstract)


A systematic two-step procedure is proposed for the derivation of full asymptotic expansions ofthe solution of elliptic partial differential equations set on a domain perforated with a small hole on which aDirichlet boundary condition is applied. First, an integral representation of the solution is sought, which enablesto exploit the explicit dependence with respect to the small parameter to predict the correct form of a two-scale ansatz. Second, the terms of the ansatz are characterized by the method of compound asymptotic expansions asthe solutions of a cascade of successive interior and exterior domains. This allows to interpret them as high-ordercorrectors, for which error bounds can be proved using variational estimates. The methodology is illustrated ontwo different problems: we start by revisiting the perforated Poisson problem with Dirichlet boundary conditionson both the hole and the outer boundary, where we highlight how the method enables to retrieve very naturallythe correct form of the ansatz in the most delicate two-dimensional setting. Then, we provide original andcomplete asymptotic expansions for a perforated cell-problem featuring periodic conditions.



• 09:00 -- 10:00: Yannick Privat (IRMA, Université de Strasbourg): Peut-on entendre la forme d’une pièce ? (abstract)


Cet exposé porte sur un travail en cours, dont les résultats sont encore très préliminaires. Nous nous intéressons à la question d'estimer précisément les timings des échos acoustiques présents dans un enregistrement de claquement de mains afin d'en déduire la géométrie de la pièce dans laquelle cette expérience est effectuée.



• 10:00 -- 10:30: Eloi Martinet (Université de Chambéry & Université de Grenoble): Maximisation des valeurs propres de Neumann (abstract)


Nous nous intéressons ici à la maximisation de la k-ème valeur propre du laplacien avec condition de Neumann pour les domaines de R^n de mesure fixée. Nous considérons une relaxation à des problèmes de densités (potentiellement dégénérées) pour obtenir un résultat d'existence de densité optimale. Pour k=1 et k=2, les deux problèmes sont équivalents et les maximiseurs sont respectivement une boule et deux boules disjointes. Pour k ≥ 3, la question est ouverte (hormis en dimension 1). Des simulations numériques viennent donner une intuition des possibles densités optimales et appuyer ou s'opposer à de précédents résultats. Enfin, nous aborderons brièvement le problème sur la sphère.





• 10:30 -- 11:00: Coffee break


• 11:00 -- 12:00: Mickaël Nahon (LAMA, Université Savoie Mont Blanc): Optimisation de forme dans les fluides de Stokes (abstract)


On considère un écoulement de fluide incompressible visqueux dans une boite B (dans R^n) autour d'un obstacle K (dans B), avec au bord de K une condition de Navier, et on s’intéresse à la minimisation de la traînée parmi tous les obstacles K de mesure fixée. Je présenterai des résultats théoriques d'existence en toute dimension et de régularité en dimension 2 de tels minimiseurs.





• 12:00 -- : Lunch