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Réduction des matrices

La fonction jordan prend en entrée une matrice $A$ et retourne en sortie une matrice de passage $P$ et une forme réduite de Jordan $J$ telles que $P^{-1}A P=J$. Soit $A$ est diagonalisable auquel cas $J$ est diagonale et contient les valeurs propres de $A$ sur la diagonale, soit $A$ n'est pas diagonalisable et $J$ comporte des "1" ou des "0" au-dessus de la diagonale. Pour les matrices exactes et symboliques, seules les valeurs propres calculables par solve sont accessibles. Pour des matrices de nombres approchés, un algorithme numérique est utilisé, et il risque d'échouer en cas de valeurs propres multiples ou très proches. La matrice $A$ de l'exemple qui suit a pour valeurs propres doubles 1 et 2. Elle est diagonalisable pour $a=0$, non diagonalisable pour $a\neq 0$.

A:=[[1,1,-1,0],[0,1,0,a],[0,-1,2,0],[1,0,1,2]]
factor(poly2symb(simplify(pcar(A))))
jordan(A)
eigenvals(A)
eigenvects(A)
jordan(subs(A,a=0))
eigenvects(subs(A,a=1))
jordan(evalf(subs(A,a=0)))
jordan(evalf(subs(A,a=1)))

Certaines fonctions, définies par des séries entières, s'étendent aux matrices dès lors que l'on sait calculer leur forme de Jordan. La plus utile est l'exponentielle.

A:=[[0,1,0],[0,0,1],[-2,1,2]]
jordan(A)
exp(A)
log(A)
sin(A)

Réduction des matrices
jordan	diagonalisation ou réduction de Jordan
pcar	coefficients du polynôme caractéristique
pmin	coefficients du polynôme minimal
eigenvals	valeurs propres
eigenvects	vecteurs propres

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