Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit une fonction définie sur un intervalle de $\mathbb{R}$ et intégrable sur . Soit $D=\{([a_{i-1},a_i],x_i)\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ une subdivision pointée de .

Qu'appelle-t-on pas de la subdivision ?
Qu'appelle-t-on somme de Riemann associée à sur ?
Si est constante sur , que vaut la somme de Riemann associée à sur ?
Soit $\delta$ un réel strictement positif. Quand dit-on de la subdivision pointée qu'elle est $\delta$ -fine ?
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. Quand dit-on que $\delta$ est $\varepsilon$ -adapté à ?

Exercice 1 : Soit

un entier strictement positif. On rappelle l'expression suivante pour la somme des carrés des

premiers entiers.

$\displaystyle \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\;.$

Soit

la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à

associe

. On note

la subdivision pointée $D=\{([a_{i-1},a_i],x_i)\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ .

Dans cette question, on pose $a_{i}=i/n$ pour tout $i=0,\ldots,n$ et $x_i=a_{i-1}$ pour $i=1,\ldots,n$ . Montrer que :

$\displaystyle S_D(f) = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\;.$
Dans cette question, on pose $a_{i}=i/n$ pour tout $i=0,\ldots,n$ et $x_i=a_{i}$ pour $i=1,\ldots,n$ . Montrer que :

$\displaystyle S_D(f) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\;.$
Soit $\gamma$ un réel tel que $0<\gamma<1$ . Dans cette question, on pose $a_{i}=i/n$ pour tout $i=0,\ldots,n$ et $x_i=a_{i-1}+\gamma/n$ pour $i=1,\ldots,n$ . Montrer que converge vers quand tend vers l'infini.
Soient et deux réels tels que $0\leqslant a<b$ . On suppose désormais que et . On pose :

$\displaystyle S_0=\sum_{i=1}^n a_{i-1}^2(a_i-a_{i-1})$ et $\displaystyle \quad S_1=\sum_{i=1}^n a_i^2(a_i-a_{i-1})\;.$
Montrer que $S_0\leqslant S_D(f)\leqslant S_1$ .
On pose :

$\displaystyle S_{1/2}=\sum_{i=1}^n \left(\frac{a_{i-1}+a_i}{2}\right)^2(a_i-a_{i-1})\;,\quad$
Montrer que :

$\displaystyle \frac{S_0+4S_{1/2}+S_1}{6}=\frac{b^3-a^3}{3}\;.$
On note le pas maximal de la subdivision :

$\displaystyle h=\max\{ a_i-a_{i-1} ,\;i=1,\ldots,n \}\;.$
Montrer que :

$\displaystyle S_1-S_0\leqslant h (b^2-a^2)\;.$
Montrer que $S_0\leqslant (b^3-a^3)/3\leqslant S_1$ . En déduire que :

$\displaystyle \left\vert S_D-\frac{b^3-a^3}{3}\right\vert\leqslant h (b^2-a^2)\;.$
En déduire que est intégrable sur et que :

$\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \frac{b^3-a^3}{3}\;.$
Soient et deux réels quelconques. Montrer que :

$\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \frac{b^3-a^3}{3}\;.$

Exercice 2 : On dit qu'une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est paire (respectivement : impaire) si pour tout réel

(respectivement :

Soit une fonction impaire, admettant une primitive. Montrer que toute primitive de est une fonction paire.
Soit une fonction, admettant une primitive paire. Montrer que pour tous réels positifs et ,

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x) \mathrm{d}x =-\int_{-a}^{-b} f(x) \mathrm{d}x\;.$
Soit une fonction, admettant une primitive paire. Déduire de la question précédente que est impaire.

Exercice 3 : Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose :

$\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x) \mathrm{d}x\;.$

Calculer et .
En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout $n\geq 2$ ,

$\displaystyle I_n=(n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\cos^{n-2}(x) \mathrm{d}x\;.$
En déduire que pour tout $n\geq 2$ ,

$\displaystyle I_n=\frac{n-1}{n} I_{n-2}\;.$
En déduire que pour tout $k\in\mathbb{N}$ ,

$\displaystyle I_{2k}=\pi\frac{(2k)!}{2^{2k+1}(k!)^2}$ et $\displaystyle \quad I_{2k+1}=\frac{2^{2k} (k!)^2}{(2k+1)!}\;.$