Les Neuf Chapitres

La méthode du pivot de Gauss...  est née en Chine ! Sa plus ancienne utilisation se trouve dans les «Neuf Chapitres sur l'Art du Calcul»  (figure 5). L'auteur de ce recueil de 246 problèmes est inconnu, tout comme la date à laquelle il a été écrit, que certains auteurs placent en 152 avant J.-C., d'autres au premier siècle après J.-C.

Figure: La première page des «Neuf Chapitres sur l'Art du Calcul».

Voici le contenu des neuf chapitres.

1. Champs rectangulaires pour traiter les territoires des terres cultivées : calcul fractionnaire, calculs d'aires.
2. Petit mil et grains décortiqués pour traiter les échanges et les transformations : proportionnalité, règle de trois.
3. Parts pondérées en fonction des degrés pour traiter le cher et le bon marché, les distributions de grains et les impôts : partages proportionnels et inversement proportionnels.
4. Petite largeur pour traiter les nombres-produits et les aires, du carré et du cercle : connaissant une aire ou un volume, trouver un élément de la figure concernée (côté du carré, côté du cube, circonférence du cercle, diamètre de la sphère). On y trouve en particulier des algorithmes d'extraction de racines carrées et cubiques. La valeur utilisée pour $\pi$ est $3$.
5. Discuter des travaux pour traiter les règles concernant les travaux de terrassement et les volumes : volumes de prismes, de cônes et de troncs de cônes, de pyramides et de troncs de pyramide, de tétraèdres.
6. Paiement de l'impôt de manière égalitaire en fonction du transport pour traiter travaux et dépenses selon la distance : partages proportionnels, calculs de distances, progressions arithmétiques.
7. Excédent et déficit pour traiter de comment les choses cachées et mêlées se font apparaître mutuellement : méthode de fausse position (construction d'intervalles emboîtés pour approcher un zéro d'une fonction).
8. Disposition rectangulaire pour traiter ce qui est mélangé ainsi que le positif et le négatif : résolution de systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss. Parmi les problèmes on trouve des systèmes de 6 équations à 6 inconnues.
9. Base et hauteur pour traiter le haut et le profond, le large et le lointain : calculs de distances utilisant le théorème de Pythagore.

Les «Neuf Chapitres»  furent ignorés des occidentaux jusqu'à une date récente. Des résolutions de systèmes linéaires apparaissent sur les tablettes d'argile babyloniennes, et ils se retrouvent dans toute la littérature mathématique depuis l'antiquité. C'est bien Carl Friedrich Gauss (1777-1855) qui a pour la première fois formalisé la méthode du pivot en toute généralité, dans un mémoire de 1810 sur l'orbite de l'astéroïde Pallas. Quittant l'astronomie pour la géodésie, il se trouva plus tard confronté à un problème de triangulation de la région de Hanovre, qui impliquait 26 triangles : même Gauss ne pouvait pas résoudre à la main des systèmes de plusieurs dizaines d'équations. Il mit alors au point un algorithme de calcul approché, qui fut redécouvert par Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) en 1874 (ce dernier avait un système de 72 équations à résoudre). L'algorithme de Gauss-Seidel est utilisé de nos jours pour de très grands systèmes.