Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit un groupe fini et un sous-groupe de .

Soit $\sim$ la relation définie sur par :

$\displaystyle \forall a,b\in G\;,\quad a\sim b \;\Longleftrightarrow\; ab^{-1}\in H\;.$
Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence sur .
Soit un élément de et un élément de . Montrer que $ha\sim a$ .
Montrer que si et sont deux éléments de tels que $a\sim b$ , alors il existe un élément de tel que .
Soit un élément quelconque de . On note $\mathfrak{cl}(a)$ sa classe d'équivalence pour la relation $\sim$ . Soit l'application qui à un élément de associe l'élément . Montrer que est une bijection de dans $\mathfrak{cl}(a)$ .
En déduire que le cardinal de divise le cardinal de .

Exercice 1 : Soient

les applications de $\mathbb{C}$ dans lui-même définies comme suit.

$\begin{displaymath} \begin{array}{lcl} &r&\\ \mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb... ...ow&\mathbb{C}\\ z&\longmapsto&s(z)=\overline{z}\;. \end{array}\end{displaymath}$

Dans tout l'exercice, on identifiera l'application

de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ , avec l'application du plan complexe dans lui-même, qui à un point

d'affixe

associe le point

d'affixe

On note et les composées $r^2=r\circ r$ et $r^3=r\circ r\circ r$ . Interpréter comme transformations géométriques du plan complexe les applications , , , , $s\circ r$ , $s\circ r^2$ , $s\circ r^3$ .
On note l'application indentité du plan complexe. Montrer que l'ensemble

$\displaystyle \{ e,r,r^2,r^3,s,s\circ r, s\circ r^2, s\circ r^3\}\;,$
muni de la composition des applications est un groupe, dont on donnera la table de composition. Il sera noté .
Montrer que $\{ e,r^2\}$ , $\{ e,s\}$ , $\{ e,s\circ r\}$ , $\{ e,s\circ r^2\}$ , $\{ e,s\circ r^3\}$ , sont des sous-groupes de , tous isomorphes à .
Montrer que $\{ e,s,r^2,s\circ r^2\}$ est un sous-groupe de , isomorphe à $Z_2\times Z_2$ .
Montrer que $\{ e,r,r^2,r^3\}$ est un sous-groupe de , isomorphe à .
On note :

$\bullet$

le point du plan complexe d'affixe $1+\mathrm{i}$ ,

$\bullet$

le point du plan complexe d'affixe $-1+\mathrm{i}$ ,

$\bullet$

le point du plan complexe d'affixe $-1-\mathrm{i}$ ,

$\bullet$

le point du plan complexe d'affixe $1-\mathrm{i}$ ,

Vérifier que chaque élément du groupe laisse invariant l'ensemble
$\{A_1,A_2,A_3,A_4\}$ .
Étant donné un élément du groupe , on lui associe la permutation $\varphi(f)$ de $\{1,2,3,4\}$ définie par :

$\displaystyle \forall i,j\in\{1,2,3,4\}\;,\quad \varphi(f)(i)=j \;\Longleftrightarrow\; f(A_i)=A_j\;.$
On définit ainsi une application $\varphi$ de dans ${\cal S}_4$ . Montrer que $\varphi$ est un morphisme de groupes.
Écrire in extenso l'image par $\varphi$ de chacun des éléments de .
Soit l'image de par $\varphi$ . Montrer que est un sous-groupe de ${\cal S}_4$ , isomorphe à .
On note :

$\bullet$

le point du plan complexe d'affixe $1+\mathrm{i}$ ,

$\bullet$

le point du plan complexe d'affixe $-1-\mathrm{i}$ ,

$\bullet$

le point du plan complexe d'affixe $1-\mathrm{i}$ ,

$\bullet$

le point du plan complexe d'affixe $-1+\mathrm{i}$ ,

Reprendre les questions 6, 7, 8, 9, en remplaçant par .

Exercice 2 : On note

l'ensemble de réels suivant :

$\displaystyle A=\big\{ m+n\sqrt{6} ,\;m,n\in\mathbb{Z} \big\}.$

Montrer que $(A,+,\times)$ (ensemble muni de l'addition et de la multiplication des réels), est un sous-anneau de $(\mathbb{R},+,\times)$ .
On considère l'application $\phi$ , de dans lui-même, qui à $m+n\sqrt{6}$ associe :

$\displaystyle \phi(m+n\sqrt{6})=m-n\sqrt{6}\;.$
Montrer que $\phi$ est un automorphisme de l'anneau $(A,+,\times)$ (c'est-à-dire une bijection, et un morphisme pour chacune des deux lois).
Pour tout $x\in A$ , on pose $N(x)=x\phi(x)$ . Montrer que est une application de dans $\mathbb{Z}$ , qui est un morphisme pour la multiplication.
Démontrer que est un élément inversible de si et seulement si $N(x)=\pm 1$ .
Vérifier que $5+2\sqrt{6}$ est inversible dans et calculer son inverse.