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Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours : Soit $ G$ un groupe fini et $ H$ un sous-groupe de $ G$.

  1. Soit $ \sim$ la relation définie sur $ G$ par :

    $\displaystyle \forall a,b\in G\;,\quad a\sim b \;\Longleftrightarrow\; ab^{-1}\in H\;.
$

    Montrer que $ \sim$ est une relation d'équivalence sur $ G$.
  2. Soit $ a$ un élément de $ G$ et $ h$ un élément de $ H$. Montrer que $ ha\sim a$.
  3. Montrer que si $ a$ et $ b$ sont deux éléments de $ G$ tels que $ a\sim b$, alors il existe un élément $ h$ de $ H$ tel que $ b=ha$.
  4. Soit $ a$ un élément quelconque de $ G$. On note $ \mathfrak{cl}(a)$ sa classe d'équivalence pour la relation $ \sim$. Soit $ f$ l'application qui à un élément $ h$ de $ H$ associe l'élément $ ha$. Montrer que $ f$ est une bijection de $ H$ dans $ \mathfrak{cl}(a)$.
  5. En déduire que le cardinal de $ H$ divise le cardinal de $ G$.

Exercice 1 : Soient $ r$ et $ s$ les applications de $ \mathbb{C}$ dans lui-même définies comme suit.

\begin{displaymath}
\begin{array}{lcl}
&r&\\
\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb...
...ow&\mathbb{C}\\
z&\longmapsto&s(z)=\overline{z}\;.
\end{array}\end{displaymath}

Dans tout l'exercice, on identifiera l'application $ f$ de $ \mathbb{C}$ dans $ \mathbb{C}$, avec l'application du plan complexe dans lui-même, qui à un point $ M$ d'affixe $ z$ associe le point $ M'$ d'affixe $ f(z)$.
  1. On note $ r^2$ et $ r^3$ les composées $ r^2=r\circ r$ et $ r^3=r\circ
r\circ r$. Interpréter comme transformations géométriques du plan complexe les applications $ r$, $ r^2$, $ r^3$, $ s$, $ s\circ r$, $ s\circ r^2$, $ s\circ r^3$.
  2. On note $ e$ l'application indentité du plan complexe. Montrer que l'ensemble

    $\displaystyle \{ e,r,r^2,r^3,s,s\circ r, s\circ r^2, s\circ r^3\}\;,
$

    muni de la composition des applications est un groupe, dont on donnera la table de composition. Il sera noté $ G$.
  3. Montrer que $ \{ e,r^2\}$, $ \{ e,s\}$, $ \{ e,s\circ r\}$, $ \{ e,s\circ r^2\}$, $ \{ e,s\circ r^3\}$, sont des sous-groupes de $ G$, tous isomorphes à $ Z_2$.
  4. Montrer que $ \{ e,s,r^2,s\circ r^2\}$ est un sous-groupe de $ G$, isomorphe à $ Z_2\times Z_2$.
  5. Montrer que $ \{ e,r,r^2,r^3\}$ est un sous-groupe de $ G$, isomorphe à $ Z_4$.
  6. On note :
    $ \bullet$
    $ A_1$ le point du plan complexe d'affixe $ 1+\mathrm{i}$,
    $ \bullet$
    $ A_2$ le point du plan complexe d'affixe $ -1+\mathrm{i}$,
    $ \bullet$
    $ A_3$ le point du plan complexe d'affixe $ -1-\mathrm{i}$,
    $ \bullet$
    $ A_4$ le point du plan complexe d'affixe $ 1-\mathrm{i}$,
    Vérifier que chaque élément du groupe $ G$ laisse invariant l'ensemble
    $ \{A_1,A_2,A_3,A_4\}$.
  7. Étant donné un élément $ f$ du groupe $ G$, on lui associe la permutation $ \varphi(f)$ de $ \{1,2,3,4\}$ définie par :

    $\displaystyle \forall i,j\in\{1,2,3,4\}\;,\quad \varphi(f)(i)=j
\;\Longleftrightarrow\; f(A_i)=A_j\;.
$

    On définit ainsi une application $ \varphi$ de $ G$ dans $ {\cal S}_4$. Montrer que $ \varphi$ est un morphisme de groupes.
  8. Écrire in extenso l'image par $ \varphi$ de chacun des éléments de $ G$.
  9. Soit $ H$ l'image de $ G$ par $ \varphi$. Montrer que $ H$ est un sous-groupe de $ {\cal S}_4$, isomorphe à $ G$.
  10. On note :
    $ \bullet$
    $ B_1$ le point du plan complexe d'affixe $ 1+\mathrm{i}$,
    $ \bullet$
    $ B_2$ le point du plan complexe d'affixe $ -1-\mathrm{i}$,
    $ \bullet$
    $ B_3$ le point du plan complexe d'affixe $ 1-\mathrm{i}$,
    $ \bullet$
    $ B_4$ le point du plan complexe d'affixe $ -1+\mathrm{i}$,
    Reprendre les questions 6, 7, 8, 9, en remplaçant $ A_1,A_2,A_3,A_4$ par $ B_1,B_2,B_3,B_4$.

Exercice 2 : On note $ A$ l'ensemble de réels suivant :

$\displaystyle A=\big\{  m+n\sqrt{6} ,\;m,n\in\mathbb{Z} \big\}.
$

  1. Montrer que $ (A,+,\times)$ (ensemble $ A$ muni de l'addition et de la multiplication des réels), est un sous-anneau de $ (\mathbb{R},+,\times)$.
  2. On considère l'application $ \phi$, de $ A$ dans lui-même, qui à $ m+n\sqrt{6}$ associe :

    $\displaystyle \phi(m+n\sqrt{6})=m-n\sqrt{6}\;.
$

    Montrer que $ \phi$ est un automorphisme de l'anneau $ (A,+,\times)$ (c'est-à-dire une bijection, et un morphisme pour chacune des deux lois).
  3. Pour tout $ x\in A$, on pose $ N(x)=x\phi(x)$. Montrer que $ N$ est une application de $ A$ dans $ \mathbb{Z}$, qui est un morphisme pour la multiplication.
  4. Démontrer que $ x$ est un élément inversible de $ A$ si et seulement si $ N(x)=\pm 1$.
  5. Vérifier que $ 5+2\sqrt{6}$ est inversible dans $ A$ et calculer son inverse.


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