Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$.

1. Soit $\sim$ la relation définie sur $G$ par :
   $$\forall a,b\in G\;,\quad a\sim b \;\Longleftrightarrow\; ab^{-1}\in H\;.$$
   Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence sur $G$.
2. Soit $a$ un élément de $G$ et $h$ un élément de $H$. Montrer que $ha\sim a$.
3. Montrer que si $a$ et $b$ sont deux éléments de $G$ tels que $a\sim b$, alors il existe un élément $h$ de $H$ tel que $b=ha$.
4. Soit $a$ un élément quelconque de $G$. On note $\mathfrak{cl}(a)$ sa classe d'équivalence pour la relation $\sim$. Soit $f$ l'application qui à un élément $h$ de $H$ associe l'élément $ha$. Montrer que $f$ est une bijection de $H$ dans $\mathfrak{cl}(a)$.
5. En déduire que le cardinal de $H$ divise le cardinal de $G$.

Exercice 1 : Soient $r$ et $s$ les applications de $\mathbb{C}$ dans lui-même définies comme suit.

$$\begin{array}{lcl} &r&\\ \mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb... ...ow&\mathbb{C}\\ z&\longmapsto&s(z)=\overline{z}\;. \end{array}$$

Dans tout l'exercice, on identifiera l'application $f$ de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$, avec l'application du plan complexe dans lui-même, qui à un point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $f(z)$.

1. On note $r^2$ et $r^3$ les composées $r^2=r\circ r$ et $r^3=r\circ r\circ r$. Interpréter comme transformations géométriques du plan complexe les applications $r$, $r^2$, $r^3$, $s$, $s\circ r$, $s\circ r^2$, $s\circ r^3$.
2. On note $e$ l'application indentité du plan complexe. Montrer que l'ensemble
   $$\{ e,r,r^2,r^3,s,s\circ r, s\circ r^2, s\circ r^3\}\;,$$
   muni de la composition des applications est un groupe, dont on donnera la table de composition. Il sera noté $G$.
3. Montrer que $\{ e,r^2\}$, $\{ e,s\}$, $\{ e,s\circ r\}$, $\{ e,s\circ r^2\}$, $\{ e,s\circ r^3\}$, sont des sous-groupes de $G$, tous isomorphes à $Z_2$.
4. Montrer que $\{ e,s,r^2,s\circ r^2\}$ est un sous-groupe de $G$, isomorphe à $Z_2\times Z_2$.
5. Montrer que $\{ e,r,r^2,r^3\}$ est un sous-groupe de $G$, isomorphe à $Z_4$.
6. On note :

   $\bullet$

   $A_1$ le point du plan complexe d'affixe $1+\mathrm{i}$,

   $\bullet$

   $A_2$ le point du plan complexe d'affixe $-1+\mathrm{i}$,

   $\bullet$

   $A_3$ le point du plan complexe d'affixe $-1-\mathrm{i}$,

   $\bullet$

   $A_4$ le point du plan complexe d'affixe $1-\mathrm{i}$,

   Vérifier que chaque élément du groupe $G$ laisse invariant l'ensemble
   $\{A_1,A_2,A_3,A_4\}$.
7. Étant donné un élément $f$ du groupe $G$, on lui associe la permutation $\varphi(f)$ de $\{1,2,3,4\}$ définie par :
   $$\forall i,j\in\{1,2,3,4\}\;,\quad \varphi(f)(i)=j \;\Longleftrightarrow\; f(A_i)=A_j\;.$$
   On définit ainsi une application $\varphi$ de $G$ dans ${\cal S}_4$. Montrer que $\varphi$ est un morphisme de groupes.
8. Écrire in extenso l'image par $\varphi$ de chacun des éléments de $G$.
9. Soit $H$ l'image de $G$ par $\varphi$. Montrer que $H$ est un sous-groupe de ${\cal S}_4$, isomorphe à $G$.
10. On note :

    $\bullet$

    $B_1$ le point du plan complexe d'affixe $1+\mathrm{i}$,

    $\bullet$

    $B_2$ le point du plan complexe d'affixe $-1-\mathrm{i}$,

    $\bullet$

    $B_3$ le point du plan complexe d'affixe $1-\mathrm{i}$,

    $\bullet$

    $B_4$ le point du plan complexe d'affixe $-1+\mathrm{i}$,

    Reprendre les questions 6, 7, 8, 9, en remplaçant $A_1,A_2,A_3,A_4$ par $B_1,B_2,B_3,B_4$.

Exercice 2 : On note $A$ l'ensemble de réels suivant :

$$A=\big\{ m+n\sqrt{6} ,\;m,n\in\mathbb{Z} \big\}.$$

1. Montrer que $(A,+,\times)$ (ensemble $A$ muni de l'addition et de la multiplication des réels), est un sous-anneau de $(\mathbb{R},+,\times)$.
2. On considère l'application $\phi$, de $A$ dans lui-même, qui à $m+n\sqrt{6}$ associe :
   $$\phi(m+n\sqrt{6})=m-n\sqrt{6}\;.$$
   Montrer que $\phi$ est un automorphisme de l'anneau $(A,+,\times)$ (c'est-à-dire une bijection, et un morphisme pour chacune des deux lois).
3. Pour tout $x\in A$, on pose $N(x)=x\phi(x)$. Montrer que $N$ est une application de $A$ dans $\mathbb{Z}$, qui est un morphisme pour la multiplication.
4. Démontrer que $x$ est un élément inversible de $A$ si et seulement si $N(x)=\pm 1$.
5. Vérifier que $5+2\sqrt{6}$ est inversible dans $A$ et calculer son inverse.