Exercices

Exercice 1   On considère les relations suivantes sur $\mathbb{R}$.

$\bullet$

$\forall x,y\;,\quad x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; x\leqslant y$

$\bullet$

$\forall x,y\;,\quad x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; x^2\leqslant y^2$

$\bullet$

$\forall x,y\;,\quad x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; \lfloor x\rfloor\leqslant \lfloor y \rfloor$

$\bullet$

$\forall x,y\;,\quad x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; \lfloor x\rfloor= \lfloor y \rfloor$

$\bullet$

$\forall x,y\;,\quad x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; \sin(x)=\sin(y)$

$\bullet$

$\forall x,y\;,\quad x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; y-x\in\mathbb{N}$

Pour chacune de ces relations ${\cal R}$ :

1. Représenter graphiquement dans $\mathbb{R}^2$ le graphe de la relation ${\cal R}$.
2. Est-ce une relation d'ordre ? une relation d'équivalence ?

Exercice 2   On définit la relation ${\cal R}$ sur $\mathbb{N}$ par :

$$\forall m,n\in\mathbb{N}^*\;,\quad m{\cal R}n\;\Longleftrightarrow\; \Big( \exists k\in\mathbb{N}^* ,\; m^k=n \Big)$$

Démontrer que ${\cal R}$ est une relation d'ordre.

Exercice 3   Une relation binaire ${\cal R}$ dans un ensemble $E$ est dite circulaire si pour tout $(a,b,c)\in E$,

$$\Big( a{\cal R} b$$    et $$b{\cal R}c \Big) \;\Longrightarrow\; c{\cal R} a$$

Montrer qu'une relation circulaire et réflexive est une relation d'équivalence.

Exercice 4   Soit $E$ et $F$ deux ensembles et $f$ une application de $E$ dans $F$. On définit la relation $\sim$ sur $E$ par :

$$\forall x,y\in E\;,\quad x\sim y\;\Longleftrightarrow f(x)=f(y)$$

1. Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence.
2. Soit $\Gamma$ l'ensemble des couples $(\mathfrak{cl}(x),f(x))$, où $x$ parcourt l'ensemble $E$. Montrer que $\Gamma$ est le graphe d'une application de l'ensemble-quotient $E/\!\sim$ dans $F$. On note $g$ cette application.
3. Montrer que $g$ est une application injective.
4. Soit $f$ l'application de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{N}$ qui à $n\in \mathbb{Z}$ associe $n^2$. Décrire $\mathfrak{cl}(0)$ et $\mathfrak{cl}(1)$.
5. Soit $f$ l'application de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ qui à $z$ associe $f(z)=z^4$. Décrire $\mathfrak{cl}(0)$ et $\mathfrak{cl}(1)$.
6. Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à un réel $x$ associe sa partie entière. Décrire $\mathfrak{cl}(0)$ et $\mathfrak{cl}(1)$.
7. Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à un réel $x$ associe sa partie décimale. Décrire $\mathfrak{cl}(0)$ et $\mathfrak{cl}(\frac12)$.

Exercice 5    

1. On munit $\mathbb{R}$ de la loi de composition interne $\ast$ définie par :
   $$\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad x\ast y=xy+(x^2-1)(y^2-1)$$
   Montrer que $\ast$ est commutative, non associative, et que $1$ est élément neutre,
2. On munit $\mathbb{R}^{+*}$ de la loi de composition interne $\ast$ définie par :
   $$\forall x,y\in\mathbb{R}^{+*}\;,\quad x\ast y=\sqrt{x^2+y^2}$$
   Montrer que $\ast$ est commutative, associative, et que 0 est élément neutre. Montrer que aucun élément de $\mathbb{R}^{+*}$ n'a de symétrique pour $\ast$.
3. On munit $\mathbb{R}$ de la loi de composition interne $\ast$ définie par :
   $$\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad x\ast y=\sqrt[3]{x^3+y^3}$$
   Montrer que l'application $x\mapsto x^3$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R},\ast)$ vers $(\mathbb{R},+)$. En déduire que $(\mathbb{R},\ast)$ est un groupe commutatif.

Exercice 6   Soit $E$ l'ensemble des parties d'un ensemble à deux éléments, par exemple $E={\cal P}(\{0,1\})$ donc

$$E=\Big\{ \emptyset , \{0\} , \{1\} , \{0,1\} \Big\}$$

On considère les lois de composition $\ast$ suivantes sur l'ensemble $E$.

$\bullet$

Réunion : $A\ast B = A\cup B$

$\bullet$

Intersection : $A\ast B = A\cap B$

$\bullet$

Différence symétrique : $A\ast B = A\triangle B = (A\setminus B)\cup(B\setminus A)$

$\bullet$

Réunion des complémentaires : $A\ast B = {^c\!A}\cup {^c\!B}$

$\bullet$

Intersection des complémentaires : $A\ast B = {^c\!A}\cap {^c\!B}$

Pour chacune d'entre elles :

1. Écrire la table de composition de la loi $\ast$.
2. L'ensemble $E$ possède-t-il un élément neutre pour la loi $\ast$ ?
3. La loi $\ast$ est-elle associative ?
4. La loi $\ast$ est-elle commutative ?
5. L'ensemble $E$ muni de la loi $\ast$ est-il un groupe ?
6. Répondre aux questions 2 à 5 en remplaçant $E$ par l'ensemble des parties d'un ensemble quelconque.

Exercice 7   Le but de l'exercice est d'étudier les groupes à $1, 2, 3$ ou $4$ éléments.

1. Ecrire la table de composition d'un groupe à $1$ élément.
2. Ecrire la table de composition d'un groupe à $2$ éléments. Vérifier qu'il est isomorphe aux groupes suivants.
   $$Z_2\quad;\quad {\cal S}_2\quad;\quad \Big( \{1,-1\} ,\times \Big)\quad;\quad \Big( \big\{x\mapsto x , x\mapsto 1/x \big\} ,\circ \Big)$$
   $$\left( \left\{ \left(\begin{array}{cc}1&0\ 0&1\end{array}\rig... ...\left(\begin{array}{cc}0&1\ 1&0\end{array}\right) \right\}\;,\times \right)$$

3. Ecrire la table de composition d'un groupe à $3$ éléments. Vérifier qu'il est isomorphe aux groupes suivants.
   $$Z_3\quad;\quad \Big( \{1,\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3},\mathrm{... ...\Big)\quad;\quad \Big( \big\{ (1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) \big\} ,\circ \Big)$$
   $$\left( \left\{ \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1\e... ...rray}{ccc}0&1&0\ 0&0&1\ 1&0&0\end{array}\right) \right\}\;,\times \right)$$

4. Soit $\big( \{ e,a,b,c\} , \ast \big)$ un groupe à $4$ éléments, d'élément neutre $e$.
   1. Montrer qu'il existe au moins un élément, autre que l'élément neutre, qui est son propre symétrique. On suppose désormais que $b$ est son propre symétrique.
   2. On suppose $a\ast c=c\ast a =e$. Remplir la table de composition du groupe. Montrer qu'il est isomorphe aux groupes suivants.
      $$Z_4\quad;\quad \Big( \{1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i}\} ,\times \Big)$$
      $$\Big( \big\{ (1,2,3,4),(2,3,4,1),(3,4,1,2),(4,1,2,3) \big\} ,\circ \Big)$$
      $$\left( \left\{ \left(\begin{array}{rr}1&0\ 0&1\end{array}\rig... ...eft(\begin{array}{rr}0&1\ -1&0\end{array}\right) \right\}\;,\times \right)$$

   3. On suppose $a\ast a=c\ast c =e$. Remplir la table de composition du groupe. Montrer qu'il est isomorphe aux groupes suivants.
      $$Z_2\times Z_2\quad;\quad \Big( {\cal P}(\{x,y\}) , \triangle \Big)$$
      $$\Big( \left\{ \left(\begin{array}{cccc} 1&2&3&4 \end{array}\ri... ... \left(\begin{array}{cccc} 2&1&4&3 \end{array}\right) \right\} ,\circ \Big)$$
      $$\left( \left\{ \left(\begin{array}{rr}1&0\ 0&1\end{array}\rig... ...ft(\begin{array}{rr}0&-1\ -1&0\end{array}\right) \right\}\;,\times \right)$$

   4. Vérifier que l'on est toujours dans le cas de la question (4b) ou dans le cas de la question (4c).
5. Vérifier que tous les groupes de cet exercice sont abéliens.

Exercice 8   On considère les éléments suivants de ${\cal S}_5$.

$$\sigma = \left(\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\ 3&4&2&5&1\end{array}\right)$$   et$$\quad \varrho = \left(\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\ 5&4&1&2&3\end{array}\right)$$

Calculer les puissances successives et déterminer l'ordre de $\sigma$ et $\varrho$, ainsi que de $\sigma\varrho$, $\varrho\sigma$, $\sigma\varrho^{-1}$ et $\varrho^{-1}\sigma$.

Exercice 9   On considère un pentagone régulier : pour fixer les idées, l'ensemble des points du plan complexe dont des sommets ont pour affixes les racines cinquièmes de l'unité, soit

$$P=\big\{ \mathrm{e}^{2\mathrm{i}k\pi/5} ,\;k=0,1,2,3,4 \big\}.$$

Le but de l'exercice est d'étudier le groupe (pour la composition des applications) des isométries du plan complexe qui laissent invariant ce pentagone. On notera $\varrho$ la rotation de centre l'origine et d'angle $2\pi/5$, et $\sigma$ la symétrie qui à un nombre complexe associe son conjugué.

$$\varrho : z\longmapsto z\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/5} \quad;\quad \sigma : z\longmapsto \overline{z}$$

1. Vérifier que $\varrho$ et $\sigma$ laissent invariant l'ensemble $P$.
2. Vérifier que les puissances successives de $\varrho$ sont des rotations dont on donnera l'angle, et déterminer l'ordre de $\varrho$.
3. Pour $n=0,\ldots,4$, montrer que $\sigma \varrho^n$ et $\varrho^n\sigma$ sont des symétries par rapport à un axe passant par l'origine, dont on donnera l'angle par rapport à l'axe réel.
4. Quel est l'ordre d'une symétrie ?
5. Montrer que le produit de deux des symétries de la question 3 est une puissance de $\varrho$.
6. Montrer que le plus petit groupe contenant $\varrho$ et $\sigma$ possède $10$ éléments.

Exercice 10   On rappelle que $Z_n$ est le groupe des entiers de 0 à $n-1$, muni de l'addition modulo $n$.

1. Montrer que l'ordre de $1$ dans $Z_{n}$ vaut $n$.
2. Montrer que l'ordre de $k$ dans $Z_n$ vaut $n$ si et seulement si $k$ est premier avec $n$.
3. Si $k$ est un diviseur de $n$, montrer que l'ordre de $k$ est le quotient de $n$ par $k$.
4. Soit $(G,\ast)$ un groupe quelconque. On suppose que $G$ contient un élément $a$ d'ordre $n$. On note $f$ l'application de $\{0,\ldots,n-1\}$ dans $G$ qui à 0 associe l'élément neutre de $G$ et à $k\geqslant 1$ associe la puissance $k$-ième de $a$ dans $G$. Montrer que $f$ est un isomorphisme de groupes entre $Z_n$ et $\mathopen\langle a\mathclose\rangle$.

Exercice 11    

1. Soit $S$ un ensemble quelconque et $E=\{0,1\}^S$ l'ensemble des applications de $S$ dans $\{0,1\}$. On munit $E$ de l'addition modulo $2$ des images : pour tout $f,g\in E$, $f\oplus g$ est l'application de $S$ dans $\{0,1\}$ définie par :
   $$f\oplus g(x) =\left\{\begin{array}{ll} 1&\mbox{ si } f(x)\neq g(x)\\ 0&\mbox{ si } f(x)= g(x) \end{array}\right.$$
   Montrer que $(E,\oplus)$ est un groupe abélien, dans lequel chaque élément est son propre symétrique.
2. Soit $F={\cal P}(S)$ l'ensemble des parties de $S$. On munit $F$ de la différence symétrique ensembliste. On considère l'application $\phi$, de $F$ dans $E$ qui à une partie de $S$ associe sa fonction indicatrice :
   $$\phi : A\in {\cal P}(S) \longmapsto \mathbb{I}_A\;,$$
   où pour tout $x\in S$, $\mathbb{I}_A(x)=1$ si $x\in A$ et $\mathbb{I}_{A}(x)=0$ sinon.

   
   

   Montrer que $\phi$ est un isomorphisme de $E$ vers $F$, pour les lois $\oplus$ et $\triangle$. En déduire que $(F,\triangle)$ est un groupe abélien, dans lequel chaque élément est son propre symétrique.

   
   

   Dans toute la suite, $G$ désigne un groupe dans lequel chaque élément est son propre symétrique.

3. Montrer que $G$ est abélien.
4. Soit $a$ un élément quelconque de $G$, différent de l'élément neutre. On définit la relation $\sim$ sur $G$ par :
   $$\forall x,y\in G\;,\quad x\sim y\;\Longleftrightarrow\; \Big( x=y$$    ou $$x=ay \Big)$$
   Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence sur $G$. Montrer que chaque classe d'équivalence a deux éléments.
5. On définit la loi $\ast$ sur l'ensemble-quotient $G/\!\sim$ par :
   $$\forall x,y\in G\;,\quad \mathfrak{cl}(x)\ast\mathfrak{cl}(y) =\mathfrak{cl}(xy).$$
   Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne sur $G/\!\sim$, et que $G/\!\sim$ muni de $\ast$ est un groupe abélien, dans lequel chaque élément est son propre symétrique.
6. On suppose que $G$ est fini. Déduire des questions précédentes que le cardinal de $G$ est une puissance de $2$.

Exercice 12   On considère les applications suivantes, de $\mathbb{R}\setminus\{0,1\}$ dans lui-même.

$$f_1 :x\mapsto x\quad;\quad f_2 :x\mapsto 1-x\quad;\quad f_3 :x\mapsto \frac{1}{1-x}$$

$$f_4 :x\mapsto \frac{1}{x}\quad;\quad f_5 :x\mapsto \frac{x}{x-1}\quad;\quad f_6 :x\mapsto \frac{x-1}{x}$$

On munit l'ensemble $E=\{f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6\}$ de la composition des applications.

1. Écrire la table de composition de $(E,\circ)$.
2. Montrer que $G=(E,\circ)$ est un groupe.
3. Est-ce un groupe abélien ?
4. Déterminer tous les sous-groupes de $G$.
5. Déterminer l'ordre de chacun des éléments de $G$.
6. Quels sont les éléments de $\mathopen\langle f_2\mathclose\rangle$ ?
7. Quels sont les éléments de $\mathopen\langle f_3\mathclose\rangle$ ?

Exercice 13   Soient $(E,\ast)$ et $(F,\cdot)$ deux groupes. On munit l'ensemble produit $E\times F$ de la loi de composition $\odot$ definie par :

$$\forall (x,y),(x'y')\in E\times F\;,\quad (x,y)\odot (x',y') = (x\ast x',y\cdot y')$$

1. Montrer que $(E\times F,\odot)$ est un groupe.
2. Soit $E'$ un sous-groupe de $E$, $F'$ un sous-groupe de $F$. Montrer que $E'\times F'$ est un sous-groupe de $E\times F$, muni de la loi $\odot$.

Exercice 14   Montrer que les ensembles suivants d'applications de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$, munis de la loi de composition des applications, sont des groupes.

1. $\big\{ z\mapsto z+t ,\;t\in \mathbb{Z} \big\}$
2. $\big\{ z\mapsto z+t ,\;t\in \mathbb{C} \big\}$
3. $\big\{ z\mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}z ,\;\theta\in \mathbb{R} \big\}$
4. $\big\{ z\mapsto sz+t ,\;s\in \mathbb{C}^* ,\;t\in\mathbb{C}\big\}$
5. $\Big\{ z\mapsto \displaystyle\frac{az+b}{cz+d} ,\; (a,b,c,d)\in \mathbb{C}^4 ,ad-bc\neq 0 \Big\}$

Exercice 15   Soit $G$ un sous-groupe additif de $(\mathbb{R},+)$. On suppose que $G\neq \{0\}$.

1. Montrer que $G\cap \mathbb{R}^{+*}$ possède une borne inférieure, que l'on notera $b$.
2. Montrer que $b\in G$.
3. On suppose $b>0$. Montrer que $G=b\mathbb{Z}$.
4. On suppose $b=0$. Montrer que si $x$ et $y$ sont deux réels tels que $x<y$, l'intervalle $]x,y[$ contient au moins un élément de $G$ (on dit que $G$ est dense dans $\mathbb{R}$).
5. Montrer que l'ensemble $\{ m+n\sqrt{2} ,\;(n,m)\in\mathbb{Z}^2 \}$ muni de l'addition est un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$, et qu'il est dense dans $\mathbb{R}$ (on rappelle que $\sqrt{2}$ est irrationnel).

Exercice 16   Soit $n\geqslant 1$ un entier. On définit une multiplication $\otimes$ sur $Z_{n}$ en convenant que $i\otimes j$ est l'unique entier $0\leqslant k\leqslant n-1$ tel que $ij-k$ est divisible par $n$.

1. Montrer que $(Z_{n},\oplus,\otimes)$ est un anneau.
2. Montrer que $(Z_{n},\oplus,\otimes)$ est un corps si et seulement si $n\geqslant 2$ et $n$ est premier.

Exercice 17   Montrer que l'application de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ qui à un nombre complexe associe son conjugué est un isomorphisme de corps : c'est une bijection, et un morphisme à la fois pour l'addition et la multiplication.

Exercice 18   On note $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ l'ensemble de réels suivant :

$$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\big\{ m+n\sqrt{2} ,\;m,n\in\mathbb{Z} \big\}.$$

1. Montrer que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, muni de l'addition et de la multiplication des réels, est un sous-anneau de $\mathbb{R}$.
2. On considère l'application $\phi$, de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ dans lui-même, qui à $m+n\sqrt{2}$ associe
   $$\phi(m+n\sqrt{2})=m-n\sqrt{2}.$$
   Montrer que $\phi$ est un automorphisme de l'anneau $(\mathbb{Z}[\sqrt{2}],+,\times)$ (c'est une bijection, et un morphisme pour chacune des deux lois).
3. Pour tout $x\in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, on pose $N(x)=x\phi(x)$. Montrer que $N$ est une application de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ dans $\mathbb{Z}$, qui est un morphisme pour la multiplication.
4. Démontrer que $x$ est un élément inversible de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ si et seulement si $N(x)=\pm 1$.
5. Vérifier que $3+2\sqrt{2}$ et $-3+2\sqrt{2}$ sont inversibles dans $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

Exercice 19   On considère les deux matrices suivantes.

$$U=\displaystyle\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right)$$   et$$\quad V=\displaystyle\left(\begin{array}{cc}0&0\\ 1&0\end{array}\right).$$

1. Calculer les produits $UV$ et $VU$.
2. En déduire que ${\cal M}_{2}(\mathbb{R})$ est un anneau non commutatif et non intègre.
3. Étendre ce résultat à l'anneau ${\cal M}_{n}(A)$ des matrices de taille $n\geqslant 2$ sur un anneau $A$ quelconque.

Exercice 20    

1. Soit $S$ un ensemble de cardinal au moins $2$ et $E=\{0,1\}^S$ l'ensemble des applications de $S$ dans $\{0,1\}$. On munit $E$ de l'addition modulo $2$ des images et de leur multiplication : pour tout $f,g\in E$, $f\oplus g$ et $f\otimes g$ sont les applications de $S$ dans $\{0,1\}$ définies par :
   $$f\oplus g(x) =\left\{\begin{array}{ll} 1&\mbox{ si } f(x)\neq g(x),\\ 0&\mbox{ si } f(x)= g(x), \end{array}\right.$$   et$$\quad f\otimes g(x) =\left\{\begin{array}{ll} 1&\mbox{ si } f(x)=g(x)=1,\\ 0&\mbox{ sinon.} \end{array}\right.$$
   Montrer que $(E,\oplus,\otimes)$ est un anneau commutatif.
2. Soit $\mathbb{I}$ l'application constante égale à $1$. Soit $f$ une application non constante de $S$ dans $\{0,1\}$. Calculer $f\otimes(\mathbb{I}\oplus f)$. En déduire que $(E,\oplus,\otimes)$ n'est pas un anneau intègre.
3. Soit $F={\cal P}(S)$ l'ensemble des parties de $S$. On munit $F$ de la différence symétrique et de l'intersection ensemblistes. On considère l'application $\phi$ de $F$ dans $E$ qui à une partie de $S$ associe sa fonction indicatrice :
   $$\phi : A\in {\cal P}(S) \longmapsto \mathbb{I}_A,$$
   où, pour tout $x\in S$, $\mathbb{I}_A(x)=1$ si $x\in A$ et $\mathbb{I}_A(x)=0$ sinon. Montrer que $\phi$ est un isomorphisme de $(E,\oplus)$ vers $(F,\triangle)$, et également un isomorphisme de $(E,\otimes)$ vers $(F,\cap)$. En déduire que $(F,\triangle, \cap)$ est un anneau commutatif non intègre.