Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $E=\{0,1,2\}$. Les graphes suivants définissent-ils une relation d'équivalence sur $E$ (oui ou non et pourquoi) ?

1. $\square\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) \}$
2. $\boxtimes\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,2) \}$
3. $\square\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,2) \}$
4. $\square\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2) \}$
5. $\boxtimes\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2) \}$

Vrai-Faux 2   Soit $E=\{0,1,2\}$. Les graphes suivants définissent-ils une relation d'ordre sur $E$ (oui ou non et pourquoi) ?

1. $\boxtimes\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,1),(2,2) \}$
2. $\square\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,2) \}$
3. $\boxtimes\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(2,2) \}$
4. $\square\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2) \}$
5. $\boxtimes\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2) \}$

Vrai-Faux 3   Soient $E$ un ensemble fini non vide et $x$ un élément fixé de $E$. Les relations $\sim$ définies ci-dessous sont-elles des relations d'équivalence sur ${\cal P}(E)$ (oui ou non et pourquoi) ?

1. $\boxtimes\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A\sim B\;\Longleftrightarrow\; A=B$
2. $\square\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A\sim B\;\Longleftrightarrow\; A\subset B$
3. $\square\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A\sim B\;\Longleftrightarrow\; (A\cap B=\emptyset)$
4. $\boxtimes\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A\sim B\;\Longleftrightarrow\; \Big((A\cap B=\emptyset)\vee(A\cup B\neq \emptyset)\Big)$
5. $\square\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A\sim B\;\Longleftrightarrow\; (x\in A\cup B)$
6. $\boxtimes\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A\sim B\;\Longleftrightarrow\; \Big((x\in A\cap B)\vee (x\in {^c\!A}\cap {^c\!B})\Big)$

Vrai-Faux 4   Soient $E$ un ensemble fini non vide et $x$ un élément fixé de $E$. Les relations ${\cal R}$ définies ci-dessous sont-elles des relations d'ordre sur ${\cal P}(E)$ (oui ou non et pourquoi) ?

1. $\boxtimes\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; A=B$
2. $\boxtimes\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; A\subset B$
3. $\square\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; (x\in(A\cap {^c\!B}))$
4. $\square\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; (x\in(A\cup {^c\!B}))$
5. $\boxtimes\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; \Big((A=B)\vee(x\in A\cap {^c\!B})\Big)$

Vrai-Faux 5   Les relations ${\cal R}$ définies ci-dessous sont-elles des relations d'ordre sur $\mathbb{R}$ (oui ou non, et pourquoi) ?

1. $\square\;$ $\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; x<y$
2. $\boxtimes\;$ $\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; \mathrm{e}^x\leqslant \mathrm{e}^{y}$
3. $\square\;$ $\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; \vert x\vert\leqslant \vert y\vert$
4. $\boxtimes\;$ $\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\;(x-y)\in\mathbb{N}$
5. $\square\;$ $\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; (x-y)\in\mathbb{Z}$

Vrai-Faux 6   Les relations ${\cal R}$ définies ci-dessous sont-elles des relations d'équivalence sur $\mathbb{C}$ (oui ou non, et pourquoi) ?

1. $\boxtimes\;$ $z{\cal R} z'\;\Longleftrightarrow\; \vert z\vert=\vert z'\vert$
2. $\square\;$ $z{\cal R} z'\;\Longleftrightarrow\; \vert z/z'\vert=1$
3. $\boxtimes\;$ $z{\cal R} z'\;\Longleftrightarrow\; \mathrm{e}^z= \mathrm{e}^{z'}$
4. $\square\;$ $z{\cal R} z'\;\Longleftrightarrow\; \vert z-z'\vert=1$
5. $\boxtimes\;$ $z{\cal R} z'\;\Longleftrightarrow\; \vert\mathrm{e}^{z-z'}\vert=1$

Vrai-Faux 7   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ La soustraction est une loi de composition interne dans $\mathbb{Z}$.
2. $\square\;$ 0 est élément neutre de la soustration dans $\mathbb{Z}$.
3. $\square\;$ La soustraction dans $\mathbb{Z}$ est associative.
4. $\boxtimes\;$ 0 est élément neutre pour l'addition dans $\mathbb{N}$.
5. $\boxtimes\;$ L'addition est associative dans $\mathbb{N}$.

Vrai-Faux 8   Les ensembles suivants, munis de l'addition des réels sont-ils des groupes (oui ou non et pourquoi) ?

1. $\boxtimes\;$ $\big\{ a/10^n ,\;a\in\mathbb{Z} ,\;n\in\mathbb{N} \big\}$
2. $\boxtimes\;$ $\big\{ a/2^n ,\;a\in\mathbb{Z} ,\;n\in\mathbb{Z} \big\}$
3. $\boxtimes\;$ $\big\{ a\sqrt{2} ,\;a\in\mathbb{Z} \big\}$
4. $\square\;$ $\big\{ a\sqrt{2} ,\;a\in\mathbb{N} \big\}$
5. $\boxtimes\;$ $\big\{ a\sqrt{2}+b\sqrt{3} ,\;a,b\in\mathbb{Z} \big\}$
6. $\square\;$ $\big\{ a\sqrt{2}+b\sqrt{3} ,\;a\in\mathbb{Z} ,\;b\in\mathbb{N} \big\}$

Vrai-Faux 9   Les ensembles suivants, munis de la multiplication des réels sont-ils des groupes (oui ou non et pourquoi) ?

1. $\boxtimes\;$ $\big\{ 1,-1 \big\}$
2. $\square\;$ $\big\{ 1,-1,1/2,2 \big\}$
3. $\boxtimes\;$ $\big\{ 2^n ,\;n\in\mathbb{Z} \big\}$
4. $\boxtimes\;$ $\big\{ a2^n ,\;a=\pm 1 ,\;n\in\mathbb{Z} \big\}$
5. $\square\;$ $\big\{ a+b\sqrt{2} ,\;a,b\in\mathbb{Q}^* \big\}$
6. $\boxtimes\;$ $\big\{ a+b\sqrt{2} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}\setminus \{0\}$

Vrai-Faux 10   Les ensembles suivants, munis de l'addition et de la multiplication des réels sont-ils des anneaux (oui ou non et pourquoi) ?

1. $\square\;$ $\big\{ b\sqrt{2} ,\;b\in\mathbb{Q} \big\}$
2. $\boxtimes\;$ $\big\{ a+b\sqrt{2} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
3. $\square\;$ $\big\{ a+b\pi ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
4. $\boxtimes\;$ $\big\{ a+b\sqrt{4} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
5. $\square\;$ $\big\{ a+b\sqrt[3]{2} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
6. $\square\;$ $\big\{ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3} ,\;a,b,c\in\mathbb{Q} \big\}$

Vrai-Faux 11   Les ensembles suivants, munis de l'addition et de la multiplication des réels sont-ils des corps (oui ou non et pourquoi) ?

1. $\square\;$ $\big\{ b\sqrt{2} ,\;b\in\mathbb{Q} \big\}$
2. $\boxtimes\;$ $\big\{ a+b\sqrt{2} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
3. $\square\;$ $\big\{ a+b\pi ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
4. $\boxtimes\;$ $\big\{ a+b\sqrt{4} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
5. $\square\;$ $\big\{ a+b\sqrt[3]{2} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
6. $\square\;$ $\big\{ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3} ,\;a,b,c\in\mathbb{Q} \big\}$