Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours :

1. Étant donné un polynôme $P\in\mathbb{R}[X]$, rappeler la définition du polynôme dérivé $P'$. Démontrer que l'application de $\mathbb{R}[X]$ dans lui-même, qui à un polynôme $P$ associe son polynôme dérivé $P'$ est linéaire, c'est-à-dire :
   $$\forall P,Q\in\mathbb{R}[X] ,\;\forall \lambda,\mu\in\mathbb{R}\;,\quad (\lambda P+\mu Q)'=\lambda P'+\mu Q'\;.$$

2. Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme à coefficients réels, et $n\in\mathbb{N}^*$ un entier strictement positif. Montrer que :
   $$(X^n P)'=nX^{n-1}P+X^nP'\;.$$

3. En déduire que pour tout couple de polynômes $(P,Q)$ à coefficients réels,
   $$(PQ)'=P'Q+PQ'\;.$$

4. Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme à coefficients réels, et $n\in\mathbb{N}^*$ un entier strictement positif. Montrer que :
   $$(P^n)'=nP'P^{n-1}\;.$$

5. Montrer que pour tout couple de polynômes $(P,Q)$ à coefficients réels,
   $$(Q(P))'=P'Q'(P)\;.$$

Exercice 1 : Soit $n$ un entier. On considère le polynôme $W_n=(X^2-1)^n$. Le $n$-ième polynôme de Legendre $L_n$ est proportionnel à la dérivée $n$-ième de $W_n$ :

$$L_n =\frac{1}{2^nn!} W_n^{(n)}\;.$$

NB : On admettra la formule de Leibniz, qui généralise la formule donnant la dérivée d'un produit. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes et $n$ un entier, alors :

$$(PQ)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}P^{(k)}Q^{(n-k)}\;.$$

1. Calculer $L_1$, $L_2$ et $L_3$.
2. Quel est le degré de $W_n$ ? Quel est son coefficient dominant ? Quel est le degré de $L_n$ ? Quel est son coefficient dominant ?
3. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, démontrer que $(X^2-1)W'_n=2nXW_n$. En prenant la dérivée $(n+1)$-ième des deux membres, en déduire que :
   $$(X^2-1)L''_n+2XL'_n-n(n+1)L_n=0\;.$$

4. En prenant la dérivée $(n+1)$-ième du produit $(X^2-1)(X^2-1)^{n-1}$, montrer que pour tout $n\geqslant 1$,
   $$W_n^{(n+1)}=(X^2-1)W_{n-1}^{(n+1)}+ 2X(n+1)W_{n-1}^{(n)}+n(n+1)W_{n-1}^{(n-1)}\;.$$

5. En utilisant les deux questions précédentes, montrer que pour tout $n\geqslant 1$ :
   $$L'_n=XL'_{n-1}+nL_{n-1}\;.$$

Exercice 2 :  

1. En utilisant l'identité $(X^3-1)=(X-1)(X^2+X+1)$, démontrer que les polynômes $X^3+1$ et $X^2+X+1$ sont premiers entre eux.
2. Effectuer la division euclidienne de $X^3+1$ par $X^2+X+1$.
3. Déterminer l'ensemble des couples de polynômes $(U,V)$ tels que :
   $$(X^3+1)U+(X^2+X+1)V=1\;.$$

4. Déterminer une décomposition en facteurs irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$ des polynômes $X^5-X^3+X^2-1$ et $X^3-1$. En déduire leur pgcd et leur ppcm.
5. Retrouver le pgcd de $X^5-X^3+X^2-1$ et $X^3-1$ en utilisant l'algorithme d'Euclide.

Exercice 3 : Le but de l'exercice est de calculer la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ de la fraction rationnelle : $(4X^4)/(X^4-1)^2$.

1. Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$, la fraction rationnelle $(2X)/(X^2-1)$. En déduire que :
   $$\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}=\frac{1}{(X^2+1)^2}+ \frac{1}{(X^2-1)^2} +\frac{2}{X^4-1}\;.$$

2. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $1/(X^2-1)$. En déduire la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $1/(X^2-1)^2$.
3. Utiliser la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $1/(X^2-1)$ pour donner la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ de la fraction rationnelle $1/(X^4-1)$.
4. Déduire des questions précédentes la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $(4X^4)/(X^4-1)^2$.
5. Retrouver le résultat de la question précédente en utilisant la méthode présentée dans le cours.