Points, vecteurs et coordonnées

Une des difficultés de la géométrie est de bien comprendre la différence entre les points et les vecteurs. On vous a appris que les points sont «fixés»  et les vecteurs sont «libres»  (d'être translatés n'importe où dans le plan ou dans l'espace). Cette vision des choses est largement suffisante pour vous permettre d'effectuer des calculs, et vous pouvez vous en contenter pour l'instant. Nous décrirons à la section suivante le formalisme mathématique de ces notions.

Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs muni de deux opérations, l'addition et la multiplication par un réel. Ce sont bien celles que vous connaissez et leurs propriétés vous sont familières (figure 1).

Figure 1: Addition de deux vecteurs et multiplication d'un vecteur par un réel.

L'addition et la multiplication par un réel induisent la notion de combinaison linéaire. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs, les combinaisons linéaires de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont les vecteurs de la forme $\lambda \vec{u}+\mu\vec{v}$, où $\lambda$ et $\mu$ sont deux réels quelconques. On dit que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont liés si une de leurs combinaisons linéaires est égale au vecteur nul (noté $\vec{0}$) sans que les coefficients $\lambda$ et $\mu$ soient tous les deux nuls. C'est équivalent à dire que l'un des deux vecteurs est égal au produit de l'autre par un réel : on dit aussi que les deux vecteurs sont colinéaires.

Une droite vectorielle est un espace vectoriel contenant des vecteurs non nuls, dans lequel tous les vecteurs sont colinéaires entre eux. Dans une droite vectorielle tout vecteur non nul constitue une base. Soit $D$ une droite vectorielle et $\vec{\imath}$ une base de $D$. Pour tout vecteur $\vec{u}$ de $D$, il existe un réel $x$ unique tel que $\vec{u}=x\vec{\imath}$.

Un plan vectoriel est un espace vectoriel contenant deux vecteurs non colinéaires, et dans lequel tout vecteur est combinaison linéaire de ces deux vecteurs. Soit $P$ un plan vectoriel. Tout couple de vecteurs de $P$ non colinéaires est une base du plan vectoriel. Soit $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ une base de $P$. À tout vecteur $\vec{u}$ de $P$ correspond un couple unique de réels $(x,y)$ tel que

$$\vec{u} = x\vec{\imath} +y\vec{\jmath}\;.$$

Les deux réels $x,y$ sont les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ dans la base $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

L'addition et la multiplication des vecteurs se traduisent par les mêmes opérations sur les coordonnées.

Proposition 1   Soit $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ une base du plan vectoriel. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs, dont les coordonnées respectives dans la base $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ sont $(x_u,y_u)$ et $(x_v,y_v)$. Soient $\lambda$ et $\mu$ deux réels quelconques. Les coordonnées du vecteur $\lambda \vec{u}+\mu\vec{v}$ dans la base $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ sont $(\lambda x_u+\mu x_v, \lambda y_v+\mu y_v)$.

$$\lambda \vec{u}+\mu\vec{v} =(\lambda x_u+\mu x_v) \vec{\imath} + (\lambda y_u+\mu y_v) \vec{\jmath}\;.$$

Soit $E$ un espace vectoriel. Un espace affine ${\cal E}$ est un ensemble de points. On suppose définie une application de ${\cal E}\times {\cal E}$ vers $E$, qui à un couple $(A,B)$ associe un vecteur, noté $\overrightarrow{AB}$. Voyez le couple $(A,B)$ comme une localisation dans l'espace affine du vecteur, $A$ étant l'origine et $B$ l'extrémité. Au sens de l'addition des vecteurs, la relation suivante, dite relation de Chasles, est vraie pour tous points $A,B,C$ de l'espace affine ${\cal E}$.

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\;.$$

Si de plus pour tout $A$, l'application de ${\cal E}$ vers $E$ qui à $B$ associe $\overrightarrow{AB}$ est bijective, on dit que l'espace vectoriel $E$ et l'espace affine ${\cal E}$ sont associés, ou bien que ${\cal E}$ est dirigé par $E$. Lorsque $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, on écrit :

$$B = A+\vec{u}\;,$$

malgré le risque de confusion avec l'addition des vecteurs. Cet abus de notation sera justifié plus loin. Soit $A$ un point d'un espace affine ${\cal E}$, $\vec{u}$ un vecteur non nul de $E$, et $B=A+\vec{u}$.

$\bullet$

La droite affine passant par $A$ et $B$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=\lambda \vec{u}$, quand $\lambda$ parcourt $\mathbb{R}$.

$$D = \{ M=A+\lambda\vec{u} ,\;\lambda\in\mathbb{R} \}\;.$$

$\bullet$

Le segment $[A,B]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=\lambda \vec{u}$, quand $\lambda$ parcourt l'intervalle $[0,1]$.

$$[A,B] = \{ M=A+\lambda\vec{u} ,\;\lambda\in[0,1] \}\;.$$

$\bullet$

Le milieu du segment $[A,B]$ est le point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=(1/2) \vec{u}$.

$$M=A+\frac{1}{2} \vec{u}\;.$$

La droite vectorielle

$$D = \{ \lambda\vec{u} ,\;\lambda\in\mathbb{R} \}\;,$$

est associée à la droite affine

$${\cal D} = \{A+\lambda\vec{u} ,\;\lambda\in\mathbb{R} \}\;.$$

Le plan vectoriel

$$P = \{ \lambda\vec{u} +\mu\vec{v} ,\;(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2 \}\;,$$

est associé au plan affine

$${\cal P} = \{A+(\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}) ,\; (\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2 \}\;.$$

Dans le plan, deux droites affines sont dirigées par une même droite vectorielle si et seulement si elles sont parallèles (d'intersection vide) ou confondues. Par un point donné, passe une unique droite dont un vecteur directeur est donné, et donc une unique parallèle à une droite donnée : c'est le fameux cinquième postulat d'Euclide.

Il est possible de choisir une même origine $O$ pour les représentants de tous les vecteurs: à chaque vecteur $\vec{u}$ on associe alors l'unique point $A$ tel que $\overrightarrow{OA}=\vec{u}$. On définit ainsi une bijection de l'ensemble des vecteurs vers l'ensemble des points.

Si $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, la relation de Chasles justifie la notation $B=A+\vec{u}$, puisqu'alors

$$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{OA}+\vec{u}\;,$$

au sens de l'addition des vecteurs.

La donnée d'une origine $O$ et d'une base de l'espace vectoriel $E$ constitue un repère de l'espace affine associé: tout point $A$ de ${\cal E}$ est repéré de façon unique par les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OA}$ dans la base. Par exemple si le plan affine ${\cal P}$ est muni d'un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, à tout point $A$ du plan correspond le couple unique de réels $(x,y)$ qui sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OA}$ dans la base $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$.