Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours :  

1. Soient $\vec u=(x_1,y_1)$ et $\vec v=(x_2,y_2)$ deux vecteurs de $\mathbb{R}^2$, muni de sa base canonique. Démontrer que si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires, alors $\mathrm{Det}(\vec{u},\vec{v})=0$.
2. Soient $\vec u=(x_1,y_1,z_1)$ et $\vec v=(x_2,y_2,z_2)$ deux vecteurs de $\mathbb{R}^3$, muni de sa base canonique. Démontrer que si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires, alors $\vec{u}\wedge \vec{v}=0$.
3. Soient $\vec u=(x_1,y_1,z_1)$ et $\vec v=(x_2,y_2,z_2)$ deux vecteurs de $\mathbb{R}^3$, muni de sa base canonique. Démontrer que le vecteur $\vec u\wedge \vec v$ est orthogonal au plan vectoriel engendré par $\vec u$ et $\vec v$.
4. Soient $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ trois vecteurs de $\mathbb{R}^3$, muni de sa base canonique. En utilisant l'expression du déterminant à l'aide du produit scalaire et du produit vectoriel, démontrer que si $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires, alors $\mathrm{Det}(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=0$.
5. On pose $\vec{u}=(1,0,-1)$, $\vec{v}=(1,-2,1)$, $\vec{w}=(0,1,-1)$. Calculer le déterminant de ces trois vecteurs par la règle de Sarrus, puis vérifier que chacun des trois vecteurs est orthogonal au produit vectoriel des deux autres.

Exercice 1 : On considère un espace affine de dimension 3, muni du repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Dans cet espace, on considère le plan ${\cal P}$ d'équation $2x+y-2z=-4$, et les points $A$ de coordonnées $(3,2,6)$, $B$ de coordonnées $(1,2,4)$ et $C$ de coordonnées $(4,-2,5)$.

1. Vérifier que le plan ${\cal P}$ est l'unique plan contenant les points $A$, $B$ et $C$.
2. Calculer les distances $d(A,B)$, $d(A,C)$ et $d(B,C)$ et démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
3. Donner les coordonnées d'un vecteur $\vec{n}$, normal au plan ${\cal P}$. Vérifier que les trois produits vectoriels $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BA}\wedge \overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CA}\wedge \overrightarrow{CB}$ sont colinéaires au vecteur $\vec{n}$.
4. Calculer la distance de $O$ au plan ${\cal P}$.
5. Ecrire un système d'équations paramétriques de la droite ${\cal D}$ passant par $O$ et orthogonale au plan ${\cal P}$.
6. Soit $K$ la projection orthogonale de $O$ sur ${\cal P}$. Calculer les coordonnées de $K$, puis la norme du vecteur $\overrightarrow{OK}$. Retrouver le résultat de la question 4.
7. Soit $G$ le barycentre des points $O,A,B,C$, munis des poids respectifs $3,1,1,1$. Déterminer les coordonnées de $G$, puis la distance de $G$ au plan $P$.
8. On note $I$ le centre de gravité du triangle $ABC$. Démontrer que $G$ est le milieu du segment $[O,I]$.
9. Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ de l'espace, vérifiant :
   $$\Vert 3\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} \Vert=6\;.$$
   Montrer que l'intersection de $\Gamma$ avec ${\cal P}$ est un cercle, déterminer son centre et son rayon.

Exercice 2 : On considére un espace affine de dimension 3, muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Soit $A$ le point de coordonnées $(0,1,1)$ dans le repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Soit $\vec u$ le vecteur de coordonnées $(3,1,0)$ dans la base $(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.

1. Donner des équations paramétriques et implicites de la droite ${\cal D}$ passant par $A$ et admettant $\vec u$ comme vecteur directeur.
2. Donner des équations paramétriques et une équation implicite du plan ${\cal P}$ passant par $A$ et orthogonal à ${\cal D}$.
3. Calculer la distance de $O$ à ${\cal P}$ et la distance de $O$ à ${\cal D}$.
4. Soit ${\cal P}'$ le plan passant par 0 et parallèle à ${\cal P}$. Soit $A'$ l'intersection de ${\cal P}'$ avec ${\cal D}$. Justifier, sans calculs, le fait que la distance de $O$ à $A'$ est égale à la distance de $O$ à la droite ${\cal D}$.
5. Soit $I$ la projection orthogonale de $O$ sur le plan ${\cal P}$. Calculer les coordonnées de $I$.
6. Démontrer que les 4 points $O,A,A',I$ sont dans un même plan, et que le quadrilatère $OAA'I$ est un rectangle.