La numérisation des raisons

Au temps d'Euclide¹, les rapports de longueurs, ou raisons (ratio en latin), ne sont pas considérés et manipulés comme des nombres. Tout le Moyen-Âge arabe ou européen cherchera à apprivoiser une numérisation des raisons, avec des contributions remarquables comme celles d'Omar Kayyam (1049-1125) et Nicolas Oresme (1325-1382), par la pratique des proportions. Mais dans la mesure où on ne savait pas rendre compte d'une telle numérisation par une procédure théorique ayant la netteté de celle d'Euclide, il restait, dans la pratique des mathématiciens exigeants, une profonde différence de nature opératoire entre des quantités comme $1$, $3$, $5/3$, $\sqrt{2}$ ou $\pi$. Cette différence est balayée d'un coup par Simon Stevin (1548-1620) dans son traité des incommensurables grandeurs en 1585. Voici ce qu'il écrit.

C'est chose vulgaire, entre les auteurs d'arithmétique, de traiter de nombres comme $\sqrt{8}$ et semblables, et qu'ils appellent absurdes, irrationnels, irréguliers, sourds², etc. Ce que nous nions, à quelque nombre à venir. Mais par quelle raison l'adversaire le pourra-t-il prouver ? Il me dit premièrement que racine de $8$ est à nombre arithmétique (comme $3$ ou $4$) incommensurable, ergo $\sqrt{8}$ est absurde. Vu que l'incommensurance ne cause pas d'absurdité des termes incommensurables, ce qui s'éprouve par la ligne et superficie qui sont grandeurs incommensurables ; c'est-à-dire qu'ils ne reçoivent point de commune mesure, toutefois ni ligne ni superficie n'est quantité absurde ni explicable : car disant que celle-là est la ligne et celle-ci, superficie, nous les expliquons. Et encore que cette incommensurance procréait (ce qui toutefois ne peut être, mais posons les cas) absurdité à l'une des quantités comparées, nous trouverons le nombre arithmétique autant coupable que le radical, car, comme la sphère autant que le cube et le cube autant que la sphère, est cause de leur dissimilitude ; ainsi, de ces nombres. Mais pour faire autre preuve par deux quantités d'un même genre de grandeur, prenons le côté et diagonale d'un carré, qui sont les lignes entre elles (par la dernière proposition du livre X d'Euclide) incommensurables, toutefois ni diagonale, ni côté (abstrait de nombre) n'est ligne absurde ou irrationnelle, l'incommensurance donc des quantités n'est pas l'absurdité d'icelles, mais c'est plutôt leur naturelle mutuelle habitude.

Il me manque de lui expliquer quelle chose soit $\sqrt{8}$. Je lui réponds qu'il m'explique quelle chose soit $3/4$ (qui selon son dire est rationnel) et je la lui expliquerai.