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L'ensemble de tous les ensembles

...  n'existe pas ! Un ensemble $ E$ n'est défini que si pour tout objet $ x$ l'énoncé $ (x\in E)\wedge \neg(x\in E)$ est faux.

Proposition 15   L'ensemble de tous les ensembles n'existe pas.

Démonstration : C'est un exemple de démonstration par l'absurde. Supposons que l'ensemble de tous les ensembles existe, et notons-le $ E$. Notons $ A$ l'ensemble

$\displaystyle A = \{ x\in E\;;\quad x\notin x \}\;. $

Comme $ E$ contient tous les ensembles, $ A$ appartient à $ E$. Est-ce que $ A$ appartient à $ A$ ?
$ \bullet$
si $ A\in A$ alors par définition de $ A$, $ A\notin A$,
$ \bullet$
si $ A\notin A$ alors par définition de $ A$, $ A\in A$.
L'assertion $ A\in A$ ne peut pas être vraie et fausse en même temps, c'est donc que l'hypothèse de départ ($ E$ existe) était fausse.$ \square$

Des versions plus prosaïques de ce paradoxe sont connues depuis l'antiquité. Par exemple :

Epiménide le Crétois a dit : tous les Crétois sont des menteurs
ou bien

Le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes.

D'autres notions, apparemment claires, ne sont pas définies parce qu'elles conduisent à une contradiction. Par exemple :

Le plus petit nombre qu'on ne puisse pas définir en moins de vingt mots
(la phrase ci-dessus comporte quinze mots).

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