Corrigé du devoir

Questions de cours :

1. L'image de $A$ est l'ensemble des images par $f$ des éléments de $A$.
   $$f(A)= \{ f(x) ,\;x\in A \}=\{ y\in B ,\;\exists x\in A ,\;y=f(x) \}\;.$$
   L'image réciproque de $B$ est l'ensemble des éléments de $E$ dont l'image appartient à $B$.
   $$f^{-1}(B) = \{ x\in E ,\;f(x)\in B \}\;.$$

2. Soit $x$ un élément quelconque de $A$. Posons $y=f(x)$. Alors $y\in f(A)$ car $x\in A$. Donc $x$ est un élément de $E$ dont l'image par $f$ appartient à $f(A)$. Par définition de l'image réciproque, $x$ appartient à $f^{-1}(f(A))$. Tout élement de $A$ appartient à $f^{-1}(f(A))$, donc $A\subset f^{-1}(f(A))$. Soit $y$ un élément quelconque de $f(f^{-1}(B))$. Par définition de l'image, il existe $x\in f^{-1}(B)$ tel que $f(x)=y$. Puisque $x\in f^{-1}(B)$, l'image de $x$ est dans $B$, donc $y\in B$. Tout élement de $f(f^{-1}(B))$ appartient à $B$, donc $f^{-1}(f(B))\subset B$.
3. On dit que $f$ est injective si tout élément de $F$ a au plus un antécédent dans l'ensemble de départ.
   $$\forall x_1,x_2\in E\;,\quad \Big(f(x_1)=f(x_2)\Big)\;\Longrightarrow\; x_1=x_2\;.$$
   On dit que $f$ est surjective si tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent dans l'ensemble de départ.
   $$\forall y\in F ,\;\exists x\in E \;;\quad\; f(x)=y\;.$$

4. Nous allons montrer que si $f$ est injective, alors $f^{-1}(f(A))\subset A$. Soit $x$ un élément de $f^{-1}(f(A))$. Par définition de l'image réciproque, $f(x)\in f(A)$. Donc il existe un élément de $A$ dont l'image est égale à celle de $x$. Mais comme $f$ est injective, cet élément ne peut être que $x$ lui-même. Donc $x\in A$. Tout élément de $f^{-1}(f(A))$ appartient à $A$, donc $f^{-1}(f(A))\subset A$. Comme d'après la question 2, $A\subset f^{-1}(f(A))$, nous avons bien démontré que $A=f^{-1}(f(A))$, si $f$ est injective. Nous allons maintenant montrer que si $f$ est surjective, alors $B\subset f(f^{-1}(B))$. Soit $y$ un élément de $B$. Comme $f$ est surjective, il existe $x\in E$ tel que $f(x)=y$. Par définition de l'image réciproque, puisque $y\in B$, $x\in f^{-1}(B)$, et donc $y=f(x)\in f(f^{-1}(B))$. Tout élément de $B$ appartient à $f(f^{-1}(B))$, donc $B\subset f(f^{-1}(B))$. Comme d'après la question $2$, $f(f^{-1}(B))\subset B$, nous avons bien démontré que $B=f(f^{-1}(B))$.
5. Le graphe de $f$ est :
   $$\{ (-1,1) , (0,0) , (1,1) \}\;.$$
   L'application $f$ n'est pas injective car $-1$ et $1$ ont la même image. Elle n'est pas surjective car $-1$ n'a pas d'antécédent.
   $$f^{-1}(f(A))=\{-1,1\}\neq A$$   et$$\quad f(f^{-1}(B))=\{1\}\neq B\;.$$

Exercice 1 :

1. Notons $I$ l'assertion proposée.
   $$I=\Big( ( A\vee B) \Longrightarrow (A\vee C) \Big)\;.$$
   Voici sa table de vérité.
   $$\begin{array}{\vert ccc\vert cc\vert c\vert} \hline A&B&C&A\... ...F&V&F&V&F&F\\ F&F&V&F&V&V\\ F&F&F&F&F&V\\ \hline \end{array}$$

2. Notons $J$ l'assertion proposée.
   $$J=\Big( ( A\wedge B) \Longrightarrow (A\wedge C) \Big)\;.$$
   Voici sa table de vérité.
   $$\begin{array}{\vert ccc\vert cc\vert c\vert} \hline A&B&C&A\... ...F&V&F&F&F&V\\ F&F&V&F&F&V\\ F&F&F&F&F&V\\ \hline \end{array}$$

3. Voici les tables de vérité des assertions $I\wedge J$ et $B\Longrightarrow C$.
   $$\begin{array}{\vert ccc\vert cc\vert cc\vert} \hline A&B&C&I... ...F&V&F&F\\ F&F&V&V&V&V&V\\ F&F&F&V&V&V&V\\ \hline \end{array}$$
   On constate que les tables de vérité des assertions $I\wedge J$ et $B\Longrightarrow C$ sont les mêmes. L'équivalence entre les deux assertions est donc toujours vraie.

4. $\bullet$

   $(A\vee B)\Longrightarrow (A\vee C)$ : Si je suis une fille ou je fais du sport, alors je suis une fille ou je garde la forme.

   $\bullet$

   $(A\vee B)\Longrightarrow (A\vee C)$ : Si je suis une fille et je fais du sport, alors je suis une fille et je garde la forme.

   $\bullet$

   $B\Longrightarrow C$ : Si je fais du sport, alors je garde la forme.

   De deux choses l'une : soit je ne suis pas une fille, soit j'en suis une. Si je ne suis pas une fille ($A$ est faux), la première implication dit que faire du sport est une condition suffisante pour garder la forme. La seconde implication dit que faire du sport est une condition suffisante pour garder la forme, aussi pour les filles. Affirmer les deux premières implications revient à dire que faire du sport est suffisant pour garder la forme, qu'on soit une fille ou non.
5. Voir figure 6.

   Figure 6: Diagrammes de Venn de trois sous-ensembles.

6. Notons respectivement $A$, $B$ et $C$ les assertions « $x\in\mathbf{A}$», « $x\in\mathbf{B}$»  et « $x\in\mathbf{C}$». Les inclusions de l'énoncé se traduisent comme suit.
   $$\Big( \big( ( \mathbf{A}\cup \mathbf{B})\subset(\mathbf{A}\cup ... ...htarrow\; \Big( \big(A\vee B\big)\Longrightarrow\big(A\vee C\big) \Big)\;,$$
   $$\Big( \big( ( \mathbf{A}\cap \mathbf{B})\subset (\mathbf{A}\ca... ...rrow\; \Big( \big(A\wedge B\big)\Longrightarrow\big(A\wedge C\big) \Big)\;,$$
   $$\Big( \mathbf{B}\subset \mathbf{C} \Big) \;\Longleftrightarrow\; \Big( B\Longrightarrow C \Big)\;.$$
   L'équivalence demandée est celle de la question 3.

Exercice 2 :

1. $$A_1 \mathrm{Xor}  A_2 = \big(\neg A_1\wedge A_2\big)\vee \big(A_1\wedge \neg A_2\big)\;.$$

2. $$\begin{array}{\vert cc\vert c\vert c\vert c\vert} \hline A_1... ...&V\\ V&F&V&F&V\\ F&V&V&V&V\\ F&F&F&F&V\\ \hline \end{array}$$

3. $A_1$ :

   $C \mathrm{Xor}  M$

   $A_2$ :

   $F \mathrm{Xor}  (R\wedge B)$

   $A_3$ :

   $C\Longrightarrow (\neg B)$

   $A_4$ :

   $\neg M$

4. 
   

   $$(C \mathrm{Xor}  M)\wedge (\neg M) \Longrightarrow C$$

   $$C \Longrightarrow (\neg B)$$

   $$(\neg B) \Longrightarrow \big(\neg(R\wedge B\big)$$

   $$\Big(F \mathrm{Xor}  (R\wedge B)\Big)\wedge \big(\neg(R\wedge B)\big) \Longrightarrow F\;.$$

   
   Soit je conduis, soit je marche. Puisque je ne marche pas, je conduis ; donc je ne bois pas. Puisque je ne bois pas, je ne suis pas au restaurant en train de boire. Donc je vais voir un film.

Exercice 3 : 

1. La relation ${\cal R}$ est :

   $\bullet$

   réflexive :

   $$\forall x\in\mathbb{R}\;,\quad x^2-x^2=x-x\;,$$

   $\bullet$

   symétrique :

   $$\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad \big(x^2-y^2=x-y\big)\Longrightarrow \big(y^2-x^2=y-x\big)\;,$$

   $\bullet$

   transitive :

   $$\forall x,y,z\in\mathbb{R}\;,\quad \Big(\big(x^2-y^2=x-y\big)\wedge\big(y^2-z^2=y-z\big)\Big) \Longrightarrow \big( x^2-z^2=x-z\big)\;.$$

   Donc c'est une relation d'équivalence.
2. 
   

   $$\forall x,y\in\mathbb{R}^2\;,\quad x{\cal R}y \Longleftrightarrow \big(x^2-y^2=x-y\big)$$

   $$\Longleftrightarrow (x-y)(x+y-1)=0$$

   $$\Longleftrightarrow \Big( (x-y=0)\vee(x+y-1=0)\Big)$$

   $$\Longleftrightarrow \Big( (y=x)\vee(y=1-x)\Big)\;.$$

   
   
3. La relation ${\cal S}$ est :

   $\bullet$

   réflexive :

   $$\forall x\in\mathbb{R}\;,\quad x^2-x^2\leqslant x-x\;,$$

   $\bullet$

   transitive :

   $$\forall x,y,z\in\mathbb{R}\;,\quad \Big(\big(x^2-y^2\leqslant x-... ...g(y^2-z^2\leqslant y-z\big) \Longrightarrow \big( x^2-z^2\leqslant x-z\big)\;,$$

   $\bullet$

   non symétrique :

   $$0^2-2^2\leqslant 0-2$$   mais$$\quad 2^2-0^2>2-0\;,$$

   $\bullet$

   non anti-symétrique :

   $$0^2-1^2\leqslant 0-1$$   et$$\quad 1^2-0^2\leqslant 1-0\;.$$

4. La relation ${\cal S}'$ est réflexive et transitive, comme la relation ${\cal S}$ (car ce qui est vrai sur $\mathbb{R}$ reste vrai sur un sous-ensemble de $\mathbb{R}$). Nous devons démontrer qu'elle est anti-symétrique. Soit $I$ l'ensemble des réels supérieurs ou égaux à $1/2$.
   

   $$\forall x,y\in I\;,\quad \big( x{\cal S'} y\big)\wedge \big( y{\cal S'} x\big) \Longrightarrow x^2-y^2=x-y$$

   $$\Longrightarrow (y=x)\vee(y=1-x)\;,$$

   
   d'après la question 2. Or si $x>1/2$, alors $1-x<1/2$, et si $x=1/2$, alors $1-x=1/2$. Donc si $x$ et $y$ sont à la fois éléments de $I$ et tels que $\big( x{\cal S'} y\big)\wedge \big( y{\cal S'} x\big)$, alors $x=y$ : la relation ${\cal S}'$ est anti-symétrique.
5. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $I$. Si $x=y=1/2$, on a la fois $x{\cal S}'y$ et $x\leqslant y$. Si $x$ ou $y$ est strictement supérieur à $1/2$, alors $x+y-1$ est strictement positif. Dans ce cas :
   

   $$(x^2-y^2)\leqslant (x-y) \Longleftrightarrow (x-y)(x+y-1)\leqslant 0$$

   $$\Longleftrightarrow x-y\leqslant 0$$

   $$\Longleftrightarrow x\leqslant y\;.$$