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Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours : Soient $ E$ et $ F$ deux ensembles. Soit $ f$ une application de $ E$ dans $ F$. Soit $ A$ un sous-ensemble de $ E$ et $ B$ un sous-ensemble de $ F$.

  1. Définir l'image $ f(A)$ de $ A$ et l'image réciproque $ f^{-1}(B)$ de $ B$.
  2. Démontrer que $ A\subset f^{-1}(f(A))$ et que $ f(f^{-1}(B))\subset B$.
  3. Quand dit-on que $ f$ est injective ? surjective ?
  4. Démontrer que si $ f$ est injective, alors $ A=f^{-1}(f(A))$. Démontrer que si $ f$ est surjective, alors $ B=f(f^{-1}(B))$.
  5. Soit $ E=F=\{-\!1,0,1\}$ et soit $ f$ l'application de $ E$ dans $ F$ qui à $ x$ associe $ x^2$. L'application $ f$ est-elle injective ? surjective ? Soit $ A=\{1\}$ et $ B=\{-1,1\}$. Ecrire en extension les ensembles $ f^{-1}(f(A))$ et $ f(f^{-1}(B))$.
Exercice 1 :Soient $ A$, $ B$ et $ C$ trois assertions.
  1. Ecrire la table de vérité de l'assertion :

    $\displaystyle ( A\vee B) \Longrightarrow (A\vee C)\;. $

  2. Ecrire la table de vérité de l'assertion :

    $\displaystyle ( A\wedge B) \Longrightarrow (A\wedge C)\;. $

  3. Utiliser les tables de vérité des deux questions précédentes pour démontrer que l'équivalence suivante est toujours vraie.

    $\displaystyle \Big( \big( ( A\vee B) \Longrightarrow (A\vee C) \big) ... ... C) \big) \Big) \;\Longleftrightarrow\; \big( B\Longrightarrow C \big)\;. $

  4. En utilisant les assertions $ A$ : «je suis une fille», $ B$ : «je fais du sport »  et $ C$ : «je garde la forme», exprimer en langage courant l'équivalence de la question précédente.
  5. Soit $ \mathbf{E}$ un ensemble, $ \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$ trois sous-ensembles de $ E$. Représenter dans trois diagrammes de Venn différents les ensembles $ \mathbf{E}, \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$, dans les trois cas suivants.
    $ \bullet$
    $ \mathbf{B}\subset \mathbf{C}$.
    $ \bullet$
    $ \mathbf{B}\not\subset \mathbf{C}$, $ (\mathbf{A}\cup \mathbf{B})\subset(\mathbf{A}\cup \mathbf{C})$, $ (\mathbf{A}\cap \mathbf{B})\not\subset(\mathbf{A}\cap \mathbf{C})$.
    $ \bullet$
    $ \mathbf{B}\not\subset \mathbf{C}$, $ (\mathbf{A}\cup \mathbf{B})\not\subset(\mathbf{A}\cup \mathbf{C})$, $ (\mathbf{A}\cap \mathbf{B})\subset(\mathbf{A}\cap \mathbf{C})$.
  6. Démontrer que l'équivalence suivante est toujours vraie.

    $\displaystyle \Big( \big( ( \mathbf{A}\cup \mathbf{B})\subset(\mathbf{A}\cup... ... \Big) \;\Longleftrightarrow\; \big( \mathbf{B}\subset \mathbf{C} \big)\;. $

Exercice 2 :
  1. Soient $ A_1$ et $ A_2$ deux assertions. Ecrire à l'aide des symboles $ \wedge, \vee,\neg$ l'assertion : «de deux choses l'une, soit $ A_1$ est vraie, soit $ A_2$ est vraie, mais pas les deux». On notera désormais $ (A_1 \mathrm{Xor}  A_2)$ cette assertion.
  2. Démontrer à l'aide des tables de vérité que l'implication suivante est toujours vraie.

    $\displaystyle \big( A_1 \mathrm{Xor}  A_2\big)\wedge \big(\neg A_1\big) \;\Longrightarrow\;A_2\;. $

  3. On considère les propositions suivantes : $ B$ : «je bois», $ C$ :«je conduis», $ F$ : «je vais voir un film», $ M$ : «je marche», $ R$ : «je vais au restaurant». Ecrire sous forme symbolique les assertions suivantes.
    $ A_1$ :
    «de deux choses l'une, soit je conduis, soit je marche».
    $ A_2$ :
    «de deux choses l'une, soit je vais voir un film, soit je vais au restaurant, et dans ce cas je bois».
    $ A_3$ :
    «si je conduis, alors je ne bois pas».
    $ A_4$ :
    «je ne marche pas».
  4. On suppose que les assertions $ A_1,A_2,A_3,A_4$ sont vraies. Démontrer que l'assertion $ F$ est vraie. Vous écrirez votre raisonnement sous forme symbolique, et en langage courant.
Exercice 3 :Soit $ {\cal R}$ la relation définie sur l'ensemble des réels $ \mathbb{R}$ par :

$\displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad \big( x{\cal R} y\big)\;\Longleftrightarrow\; \big( x^2-y^2=x-y\big)\;. $

Soit $ {\cal S}$ la relation définie sur l'ensemble des réels $ \mathbb{R}$ par :

$\displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad \big( x{\cal S} y\big)\;\Longleftrightarrow\; \big( x^2-y^2\leqslant x-y\big)\;. $

  1. Montrer que $ {\cal R}$ est une relation d'équivalence.
  2. Démontrer que pour tout $ x\in\mathbb{R}$,

    $\displaystyle \mathfrak{cl}_{\cal R}(x)=\{x,1-x\}\;. $

  3. Démontrer que la relation $ {\cal S}$ est réflexive, transitive, mais qu'elle n'est ni symétrique ni anti-symétrique.
  4. Soit $ I$ l'ensemble des réels supérieurs ou égaux à $ 1/2$. Soit $ {\cal S}'$ la relation définie sur $ I$ par :

    $\displaystyle \forall x,y\in I\;,\quad \big( x{\cal S'} y\big)\;\Longleftrightarrow\; \big( x^2-y^2\leqslant x-y\big)\;. $

    Montrer que $ {\cal S}'$ est une relation d'ordre sur $ I$.
  5. Démontrer que :

    $\displaystyle \forall x,y\in I\;,\quad \big( x{\cal S'} y\big)\;\Longleftrightarrow\; \big( x\leqslant y\big)\;. $


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