Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.



Questions de cours : Soit $ f$ une fonction définie sur $ \mathbb{R}^{+*}$, à valeurs dans $ \mathbb{R}$.

  1. Donner une définition pour :

    $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty\;.
$

  2. Démontrer que :

    $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty\;.
$

  3. Quand dit-on que $ f(x)\sim \sqrt{x}$ au voisinage de $ 0^+$ ?
  4. Démontrer que si $ f(x)\sim \sqrt{x}$ au voisinage de $ 0^+$, alors :

    $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}=+\infty\;.
$

  5. Démontrer que si $ f(0)=0$ et si $ f(x)=O(\sqrt{x})$ au voisinage de $ 0^+$, alors $ f$ est continue à droite en 0.


Exercice 1 :  
  1. Soit $ a$ un réel strictement positif. Montrer que :

    $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} a^{1/x}=1\;.
$

  2. Montrer que, au voisinage de $ +\infty$,

    $\displaystyle a^{1/x} = 1+\frac{\ln(a)}{x}+o(1/x)\;.
$

  3. Soit $ a$ et $ b$ deux réels strictement positifs. Montrer que :

    $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left(\frac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)^x=\sqrt{ab}\;.
$

  4. Déterminer :

    $\displaystyle \lim_{x\to 0+} \left(\frac{a^{2x}+b^{2x}}{2}\right)^{1/x}\;.
$


Exercice 2 : Soit $ f$ la fonction de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ qui à $ x$ associe :

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{x-1}{x+1}\right\vert\;.
$

  1. Déterminer le domaine de définition de $ f$, noté $ {\cal
D}_f$ Montrer que $ f$ est continue sur $ {\cal
D}_f$.
  2. Vérifier que pour tout $ x\in {\cal D}_f$, $ f(-x)=-f(x)$, et que pour tout $ x\in {\cal D}_f\setminus\{0\}$, $ f(1/x)=f(x)$.
  3. Montrer que :

    $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)
=
\lim_{x\to -\infty} f(x)=0\;.
$

  4. Montrer que :

    $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty} xf(x)
=
\lim_{x\to -\infty} xf(x)=-1\;.
$

  5. Montrer que :

    $\displaystyle \lim_{x\to -1} f(x)=+\infty$   et$\displaystyle \quad
\lim_{x\to 1} f(x)=-\infty\;.
$

  6. En admettant que la fonction $ t\mapsto \ln(t)$ est strictement croissante, montrer que $ f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $ ]-1,1[$, sans calculer sa dérivée. En déduire que $ f$ est strictement croissante sur $ ]-\infty,-1[$ et sur $ ]1,+\infty[$.
  7. Donner une représentation du graphe de $ f$, utilisant tous les résultats des questions précédentes.
  8. On note $ \varphi$ la restriction de $ f$ à l'intervalle $ ]-1,1[$. Montrer que $ \varphi$ est une bijection de $ ]-1,1[$ dans $ \mathbb{R}$.
  9. Démontrer que pour tout $ a\in\mathbb{R}^*$, l'équation $ f(x)=a$ a exactement deux solutions dans $ \mathbb{R}$.
  10. On considère l'application $ \varphi^{-1}\circ f$, de $ {\cal
D}_f$ dans $ ]-1,1[$. Donner les expressions de $ \varphi^{-1}\circ f(x)$ selon que $ x$ appartient ou non à $ ]-1,1[$.
  11. Montrer que $ \varphi^{-1}\circ f$ est prolongeable par continuité en $ -1$ et en $ 1$.



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