Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit une fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ , à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

Donner une définition pour :

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty\;.$
Démontrer que :

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty\;.$
Quand dit-on que $f(x)\sim \sqrt{x}$ au voisinage de ?
Démontrer que si $f(x)\sim \sqrt{x}$ au voisinage de , alors :

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}=+\infty\;.$
Démontrer que si et si $f(x)=O(\sqrt{x})$ au voisinage de , alors est continue à droite en 0.

Exercice 1 :

Soit un réel strictement positif. Montrer que :

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} a^{1/x}=1\;.$
Montrer que, au voisinage de $+\infty$ ,

$\displaystyle a^{1/x} = 1+\frac{\ln(a)}{x}+o(1/x)\;.$
Soit et deux réels strictement positifs. Montrer que :

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left(\frac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)^x=\sqrt{ab}\;.$
Déterminer :

$\displaystyle \lim_{x\to 0+} \left(\frac{a^{2x}+b^{2x}}{2}\right)^{1/x}\;.$

Exercice 2 : Soit

la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à

associe :

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{x-1}{x+1}\right\vert\;.$

Déterminer le domaine de définition de , noté ${\cal D}_f$ Montrer que est continue sur ${\cal D}_f$ .
Vérifier que pour tout $x\in {\cal D}_f$ , , et que pour tout $x\in {\cal D}_f\setminus\{0\}$ , .
Montrer que :

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} f(x)=0\;.$
Montrer que :

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty} xf(x) = \lim_{x\to -\infty} xf(x)=-1\;.$
Montrer que :

$\displaystyle \lim_{x\to -1} f(x)=+\infty$ et $\displaystyle \quad \lim_{x\to 1} f(x)=-\infty\;.$
En admettant que la fonction $t\mapsto \ln(t)$ est strictement croissante, montrer que est strictement décroissante sur l'intervalle , sans calculer sa dérivée. En déduire que est strictement croissante sur $]-\infty,-1[$ et sur $]1,+\infty[$ .
Donner une représentation du graphe de , utilisant tous les résultats des questions précédentes.
On note $\varphi$ la restriction de à l'intervalle . Montrer que $\varphi$ est une bijection de dans $\mathbb{R}$ .
Démontrer que pour tout $a\in\mathbb{R}^*$ , l'équation a exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$ .
On considère l'application $\varphi^{-1}\circ f$ , de ${\cal D}_f$ dans . Donner les expressions de $\varphi^{-1}\circ f(x)$ selon que appartient ou non à .
Montrer que $\varphi^{-1}\circ f$ est prolongeable par continuité en et en .