Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$.

1. Donner une définition pour :
   $$\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty\;.$$

2. Démontrer que :
   $$\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty\;.$$

3. Quand dit-on que $f(x)\sim \sqrt{x}$ au voisinage de $0^+$ ?
4. Démontrer que si $f(x)\sim \sqrt{x}$ au voisinage de $0^+$, alors :
   $$\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}=+\infty\;.$$

5. Démontrer que si $f(0)=0$ et si $f(x)=O(\sqrt{x})$ au voisinage de $0^+$, alors $f$ est continue à droite en 0.

Exercice 1 :  

1. Soit $a$ un réel strictement positif. Montrer que :
   $$\lim_{x\to +\infty} a^{1/x}=1\;.$$

2. Montrer que, au voisinage de $+\infty$,
   $$a^{1/x} = 1+\frac{\ln(a)}{x}+o(1/x)\;.$$

3. Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Montrer que :
   $$\lim_{x\to+\infty} \left(\frac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)^x=\sqrt{ab}\;.$$

4. Déterminer :
   $$\lim_{x\to 0+} \left(\frac{a^{2x}+b^{2x}}{2}\right)^{1/x}\;.$$

Exercice 2 : Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $x$ associe :

$$f(x)=\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{x-1}{x+1}\right\vert\;.$$

1. Déterminer le domaine de définition de $f$, noté ${\cal D}_f$ Montrer que $f$ est continue sur ${\cal D}_f$.
2. Vérifier que pour tout $x\in {\cal D}_f$, $f(-x)=-f(x)$, et que pour tout $x\in {\cal D}_f\setminus\{0\}$, $f(1/x)=f(x)$.
3. Montrer que :
   $$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} f(x)=0\;.$$

4. Montrer que :
   $$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty} xf(x) = \lim_{x\to -\infty} xf(x)=-1\;.$$

5. Montrer que :
   $$\lim_{x\to -1} f(x)=+\infty$$   et$$\quad \lim_{x\to 1} f(x)=-\infty\;.$$

6. En admettant que la fonction $t\mapsto \ln(t)$ est strictement croissante, montrer que $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $]-1,1[$, sans calculer sa dérivée. En déduire que $f$ est strictement croissante sur $]-\infty,-1[$ et sur $]1,+\infty[$.
7. Donner une représentation du graphe de $f$, utilisant tous les résultats des questions précédentes.
8. On note $\varphi$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]-1,1[$. Montrer que $\varphi$ est une bijection de $]-1,1[$ dans $\mathbb{R}$.
9. Démontrer que pour tout $a\in\mathbb{R}^*$, l'équation $f(x)=a$ a exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$.
10. On considère l'application $\varphi^{-1}\circ f$, de ${\cal D}_f$ dans $]-1,1[$. Donner les expressions de $\varphi^{-1}\circ f(x)$ selon que $x$ appartient ou non à $]-1,1[$.
11. Montrer que $\varphi^{-1}\circ f$ est prolongeable par continuité en $-1$ et en $1$.