Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $ a$ un réel et $ f$ une application définie sur un intervalle ouvert contenant $ a$ sauf peut-être en $ a$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ admet une limite finie en $ a$ alors $ f$ est bornée au voisinage de $ a$.
  2. $ \square\;$ Si $ f$ admet une limite finie en $ a$ alors $ f$ est monotone au voisinage de $ a$.
  3. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ admet une limite en $ a$, alors $ f$ admet une limite à droite en $ a$.
  4. $ \square\;$ Si $ f$ admet une limite à gauche et une limite à droite en $ a$ alors $ f$ admet une limite en $ a$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ f$ admet $ l$ pour limite à gauche et pour limite à droite en $ a$ si et seulement si $ f(x)$ tend vers $ l$ quand $ x$ tend vers $ a$.

Vrai-Faux 2   Soit $ f$ une fonction définie sur $ ]0,+\infty[$, à valeurs dans $ \mathbb{R}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si $ f$ n'est pas bornée, alors $ f$ tend vers l'infini quand $ x$ tend vers $ +\infty$.
  2. $ \square\;$ Si $ f(x)$ tend vers $ +\infty$ quand $ x$ tend vers $ +\infty$, alors $ f$ est monotone au voisinage de $ +\infty$.
  3. $ \boxtimes\;$ Si pour toute suite $ (x_n)$ convergeant vers $ +\infty$, la suite $ (f(x_n))$ converge vers $ 1$, alors $ f$ a pour limite $ 1$ en $ +\infty$.
  4. $ \boxtimes\;$ Si la suite $ (f(n))$ converge vers 0 et la suite $ (f(n+1/2))$ converge vers $ 1/2$, alors $ f(x)$ n'a pas de limite en $ +\infty$.
  5. $ \square\;$ Si $ f$ est strictement positive au voisinage de $ +\infty$, alors la limite de $ f$ en $ +\infty$, si elle existe, est strictement positive.

Vrai-Faux 3   Soit $ a$ un réel et $ f$ une application définie sur un intervalle ouvert contenant 0. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont équivalentes à

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x)=0
$

lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ \forall \varepsilon >0 ,\; \exists \eta >0 ,\;\forall x\leqslant \eta\;,\quad
\vert f(x)\vert\leqslant \varepsilon $
  2. $ \boxtimes\;$ $ \forall \varepsilon \in]0,1[ ,\; \exists \eta\in]0,1[ ,\;
0<\vert x\vert\leqslant \eta\;\Longrightarrow\;
\vert f(x)\vert\leqslant \varepsilon $
  3. $ \square\;$ $ \forall \varepsilon >0 ,\; \exists \eta >0 ,\;\forall x\in[-\eta,\eta]\;,\quad
\vert f(x)\vert\leqslant \varepsilon $
  4. $ \boxtimes\;$ $ \forall \varepsilon >0 ,\; \exists \eta >0 ,\;\forall
x\in[-\eta,0[\cup]0,\eta]\;,\quad
\vert f(x)\vert<\varepsilon $
  5. $ \boxtimes\;$ $ \forall n\in\mathbb{N}^* ,\; \exists \eta >0 ,\;\forall
x\in[-\eta,0[\cup]0,\eta]\;,\quad
\vert f(x)\vert<(1/n)$
  6. $ \square\;$ $ \forall n\in\mathbb{N} ,\; \exists m\in\mathbb{N}\;,\quad
\vert x\vert\leqslant (1/m)\Longrightarrow \vert f(x)\vert\leqslant (1/n)$
  7. $ \boxtimes\;$ $ \forall n\in\mathbb{N} ,\; \exists m\in\mathbb{N}\;,\quad
0<\vert x\vert\leqslant (1/m)\Longrightarrow \vert f(x)\vert\leqslant (1/n^2)$

Vrai-Faux 4   Soit $ f$ une fonction définie sur $ \mathbb{R}$ telle que

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x)=f(1)=1
$

Vous pouvez en déduire que (vrai ou faux et pourquoi ?)
  1. $ \boxtimes\;$ $ f$ est bornée au voisinage de 0.
  2. $ \square\;$ $ f$ est monotone au voisinage de 0.
  3. $ \square\;$ $ f$ est minorée par $ 1$ au voisinage de 0.
  4. $ \boxtimes\;$ $ f$ est minorée par 0 au voisinage de 0.
  5. $ \boxtimes\;$ $ f$ est majorée par $ 2$ au voisinage de 0.
  6. $ \square\;$ la fonction $ x\mapsto f(1/x)$ est bornée au voisinage de 0.
  7. $ \square\;$ la fonction $ x\mapsto f(\ln(x))$ est bornée au voisinage de 0.
  8. $ \boxtimes\;$ la fonction $ x\mapsto \ln(f(x))$ est définie sur un intervalle ouvert contenant 0.

Vrai-Faux 5   Soit $ f$ une fonction définie sur $ \mathbb{R}$ telle que

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x)=1
$

Vous pouvez en déduire que (vrai ou faux et pourquoi ?)
  1. $ \square\;$ $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} f(1-x)=0}$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} 1/f(x)=1}$
  3. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} 1-1/f(1-x)=0}$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \sqrt{f(\sqrt{x})}=1}$
  5. $ \square\;$ $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} f(\cos(x))=0}$
  6. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} 1/f(\sin(x))=1}$
  7. $ \square\;$ $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} f(\mathrm{e}^{-x})=1}$
  8. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(f(\mathrm{e}^{-x}))=0}$

Vrai-Faux 6   Toutes les affirmations suivantes concernent des comparaisons de fonctions au voisinage de 0. Parmi elles, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ 2x^3+\sqrt{x^4+x^2} =O(x^2)$
  2. $ \boxtimes\;$ $ 2x^3+\sqrt{x^4+x^2} =O(x)$
  3. $ \boxtimes\;$ $ 2x^3+\sqrt{x^4+x^2} =o(\sqrt{\vert x\vert})$
  4. $ \square\;$ $ \displaystyle{\frac{1}{2x^3+\sqrt{x^4+x^2}} =o(1/\sqrt{\vert x\vert})}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\frac{1}{2x^3+\sqrt{x^4+x^2}}=O(1/\vert x\vert)}$
  6. $ \boxtimes\;$ $ \ln(\vert x\vert)=o(1/\vert x\vert)$

Vrai-Faux 7   Toutes les affirmations suivantes concernent des comparaisons de fonctions au voisinage de $ +\infty$. Parmi elles, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ 2x^3+\sqrt{x^4+x^2} =O(x^2)$
  2. $ \boxtimes\;$ $ 2x^3+\sqrt{x^4+x^2} =O(x^3)$
  3. $ \square\;$ $ 2x^3+\sqrt{x^4+x^2} =o(x^2)$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\frac{1}{2x^3+\sqrt{x^4+x^2}} =o(1/x^2)}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\frac{1}{2x^3+\sqrt{x^4+x^2}}=O(\sin(1/x^3))}$
  6. $ \boxtimes\;$ $ \ln(x)=o(x)$
  7. $ \square\;$ $ \mathrm{e}^{2x}=O(\mathrm{e}^x)$

Vrai-Faux 8   Soit $ f$ une application définie sur un intervalle ouvert contenant 0. Toutes les affirmations suivantes concernent les propriétés de $ f$ au voisinage de 0. Parmi elles, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si $ f(x)$ est équivalent à $ x$, alors $ f$ est croissante au voisinage de 0.
  2. $ \boxtimes\;$ Si $ f(x)$ est équivalent à $ x$, alors $ f^2(x)$ est équivalent à $ x^2$.
  3. $ \boxtimes\;$ Si $ f(x)$ est un grand O de $ x$, alors $ f^2(x)$ est un petit o de $ x$.
  4. $ \square\;$ Si $ f(x)$ est dominé par $ x$, alors $ f(x)-x$ est négligeable devant $ x$.
  5. $ \boxtimes\;$ Si $ f(x)$ est équivalent à $ x$, alors $ f(x)-x$ est négligeable devant $ x$.

Vrai-Faux 9   Soit $ f$ une application continue sur $ [0,1]$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$$ f$ est bornée sur $ [0,1]$.
  2. $ \boxtimes\;$$ f([0,1])$ est un intervalle fermé borné.
  3. $ \square\;$si le produit $ f(0)f(1)$ est strictement positif, alors $ f$ est de signe constant sur $ [0,1]$.
  4. $ \boxtimes\;$si le produit $ f(0)f(1)$ est strictement négatif, alors $ f$ s'annule sur $ [0,1]$.
  5. $ \square\;$si le produit $ f(0)f(1)f(1/2)$ est strictement négatif, alors $ f$ s'annule en au moins deux points distincts de $ [0,1]$.
  6. $ \boxtimes\;$les produits $ f(0)f(1/2)$ et $ f(1/2)f(1)$ sont strictement négatifs, alors $ f$ s'annule en au moins deux points distincts de $ [0,1]$.
  7. $ \square\;$pour tout $ y\in f([0,1])$, l'équation $ f(x)=y$ a au plus une solution dans $ [0,1]$.

Vrai-Faux 10   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Il existe une application continue et surjective de $ \mathbb{R}$ vers $ \mathbb{R}^*$.
  2. $ \boxtimes\;$ Il existe une application continue et bijective de $ \mathbb{R}$ vers $ ]-1,1[$.
  3. $ \boxtimes\;$ Pour tout $ \varepsilon >0$, il existe une application continue et bijective de $ \mathbb{R}$ vers $ ]-\varepsilon ,+\varepsilon [$.
  4. $ \square\;$ Il existe une application continue et bijective de $ [-1,1]$ vers $ \mathbb{R}$.
  5. $ \boxtimes\;$ Il existe une application continue et bijective de $ ]-1,1[$ vers $ \mathbb{R}$.
  6. $ \square\;$ Il existe une application continue et strictement croissante de $ ]-1,1[$ vers $ [-1,1]$.
  7. $ \square\;$ Il existe une application continue et strictement croissante de $ [-1,1[$ vers $ ]-1,1]$.
  8. $ \boxtimes\;$ Il existe une application continue et strictement décroissante de $ [-1,1[$ vers $ ]-1,1]$.


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