Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $a$ un réel et $f$ une application définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ sauf peut-être en $a$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si $f$ admet une limite finie en $a$ alors $f$ est bornée au voisinage de $a$.
2. $\square\;$ Si $f$ admet une limite finie en $a$ alors $f$ est monotone au voisinage de $a$.
3. $\boxtimes\;$ Si $f$ admet une limite en $a$, alors $f$ admet une limite à droite en $a$.
4. $\square\;$ Si $f$ admet une limite à gauche et une limite à droite en $a$ alors $f$ admet une limite en $a$.
5. $\boxtimes\;$ $f$ admet $l$ pour limite à gauche et pour limite à droite en $a$ si et seulement si $f(x)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$.

Vrai-Faux 2   Soit $f$ une fonction définie sur $]0,+\infty[$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $f$ n'est pas bornée, alors $f$ tend vers l'infini quand $x$ tend vers $+\infty$.
2. $\square\;$ Si $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$, alors $f$ est monotone au voisinage de $+\infty$.
3. $\boxtimes\;$ Si pour toute suite $(x_n)$ convergeant vers $+\infty$, la suite $(f(x_n))$ converge vers $1$, alors $f$ a pour limite $1$ en $+\infty$.
4. $\boxtimes\;$ Si la suite $(f(n))$ converge vers 0 et la suite $(f(n+1/2))$ converge vers $1/2$, alors $f(x)$ n'a pas de limite en $+\infty$.
5. $\square\;$ Si $f$ est strictement positive au voisinage de $+\infty$, alors la limite de $f$ en $+\infty$, si elle existe, est strictement positive.

Vrai-Faux 3   Soit $a$ un réel et $f$ une application définie sur un intervalle ouvert contenant 0. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont équivalentes à

$$\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=0$$

lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

1. $\square\;$ $\forall \varepsilon >0 ,\; \exists \eta >0 ,\;\forall x\leqslant \eta\;,\quad \vert f(x)\vert\leqslant \varepsilon$
2. $\boxtimes\;$ $\forall \varepsilon \in]0,1[ ,\; \exists \eta\in]0,1[ ,\; 0<\vert x\vert\leqslant \eta\;\Longrightarrow\; \vert f(x)\vert\leqslant \varepsilon$
3. $\square\;$ $\forall \varepsilon >0 ,\; \exists \eta >0 ,\;\forall x\in[-\eta,\eta]\;,\quad \vert f(x)\vert\leqslant \varepsilon$
4. $\boxtimes\;$ $\forall \varepsilon >0 ,\; \exists \eta >0 ,\;\forall x\in[-\eta,0[\cup]0,\eta]\;,\quad \vert f(x)\vert<\varepsilon$
5. $\boxtimes\;$ $\forall n\in\mathbb{N}^* ,\; \exists \eta >0 ,\;\forall x\in[-\eta,0[\cup]0,\eta]\;,\quad \vert f(x)\vert<(1/n)$
6. $\square\;$ $\forall n\in\mathbb{N} ,\; \exists m\in\mathbb{N}\;,\quad \vert x\vert\leqslant (1/m)\Longrightarrow \vert f(x)\vert\leqslant (1/n)$
7. $\boxtimes\;$ $\forall n\in\mathbb{N} ,\; \exists m\in\mathbb{N}\;,\quad 0<\vert x\vert\leqslant (1/m)\Longrightarrow \vert f(x)\vert\leqslant (1/n^2)$

Vrai-Faux 4   Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que

$$\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=f(1)=1$$

Vous pouvez en déduire que (vrai ou faux et pourquoi ?)

1. $\boxtimes\;$ $f$ est bornée au voisinage de 0.
2. $\square\;$ $f$ est monotone au voisinage de 0.
3. $\square\;$ $f$ est minorée par $1$ au voisinage de 0.
4. $\boxtimes\;$ $f$ est minorée par 0 au voisinage de 0.
5. $\boxtimes\;$ $f$ est majorée par $2$ au voisinage de 0.
6. $\square\;$ la fonction $x\mapsto f(1/x)$ est bornée au voisinage de 0.
7. $\square\;$ la fonction $x\mapsto f(\ln(x))$ est bornée au voisinage de 0.
8. $\boxtimes\;$ la fonction $x\mapsto \ln(f(x))$ est définie sur un intervalle ouvert contenant 0.

Vrai-Faux 5   Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que

$$\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=1$$

Vous pouvez en déduire que (vrai ou faux et pourquoi ?)

1. $\square\;$ $${\lim_{x\rightarrow 0} f(1-x)=0}$$
2. $\boxtimes\;$ $${\lim_{x\rightarrow 0} 1/f(x)=1}$$
3. $\boxtimes\;$ $${\lim_{x\rightarrow 1} 1-1/f(1-x)=0}$$
4. $\boxtimes\;$ $${\lim_{x\rightarrow 0} \sqrt{f(\sqrt{x})}=1}$$
5. $\square\;$ $${\lim_{x\rightarrow 0} f(\cos(x))=0}$$
6. $\boxtimes\;$ $${\lim_{x\rightarrow 0} 1/f(\sin(x))=1}$$
7. $\square\;$ $${\lim_{x\rightarrow 0} f(\mathrm{e}^{-x})=1}$$
8. $\boxtimes\;$ $${\lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(f(\mathrm{e}^{-x}))=0}$$

Vrai-Faux 6   Toutes les affirmations suivantes concernent des comparaisons de fonctions au voisinage de 0. Parmi elles, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $2x^3+\sqrt{x^4+x^2} =O(x^2)$
2. $\boxtimes\;$ $2x^3+\sqrt{x^4+x^2} =O(x)$
3. $\boxtimes\;$ $2x^3+\sqrt{x^4+x^2} =o(\sqrt{\vert x\vert})$
4. $\square\;$ $${\frac{1}{2x^3+\sqrt{x^4+x^2}} =o(1/\sqrt{\vert x\vert})}$$
5. $\boxtimes\;$ $${\frac{1}{2x^3+\sqrt{x^4+x^2}}=O(1/\vert x\vert)}$$
6. $\boxtimes\;$ $\ln(\vert x\vert)=o(1/\vert x\vert)$

Vrai-Faux 7   Toutes les affirmations suivantes concernent des comparaisons de fonctions au voisinage de $+\infty$. Parmi elles, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $2x^3+\sqrt{x^4+x^2} =O(x^2)$
2. $\boxtimes\;$ $2x^3+\sqrt{x^4+x^2} =O(x^3)$
3. $\square\;$ $2x^3+\sqrt{x^4+x^2} =o(x^2)$
4. $\boxtimes\;$ $${\frac{1}{2x^3+\sqrt{x^4+x^2}} =o(1/x^2)}$$
5. $\boxtimes\;$ $${\frac{1}{2x^3+\sqrt{x^4+x^2}}=O(\sin(1/x^3))}$$
6. $\boxtimes\;$ $\ln(x)=o(x)$
7. $\square\;$ $\mathrm{e}^{2x}=O(\mathrm{e}^x)$

Vrai-Faux 8   Soit $f$ une application définie sur un intervalle ouvert contenant 0. Toutes les affirmations suivantes concernent les propriétés de $f$ au voisinage de 0. Parmi elles, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $f(x)$ est équivalent à $x$, alors $f$ est croissante au voisinage de 0.
2. $\boxtimes\;$ Si $f(x)$ est équivalent à $x$, alors $f^2(x)$ est équivalent à $x^2$.
3. $\boxtimes\;$ Si $f(x)$ est un grand O de $x$, alors $f^2(x)$ est un petit o de $x$.
4. $\square\;$ Si $f(x)$ est dominé par $x$, alors $f(x)-x$ est négligeable devant $x$.
5. $\boxtimes\;$ Si $f(x)$ est équivalent à $x$, alors $f(x)-x$ est négligeable devant $x$.

Vrai-Faux 9   Soit $f$ une application continue sur $[0,1]$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$$f$ est bornée sur $[0,1]$.
2. $\boxtimes\;$$f([0,1])$ est un intervalle fermé borné.
3. $\square\;$si le produit $f(0)f(1)$ est strictement positif, alors $f$ est de signe constant sur $[0,1]$.
4. $\boxtimes\;$si le produit $f(0)f(1)$ est strictement négatif, alors $f$ s'annule sur $[0,1]$.
5. $\square\;$si le produit $f(0)f(1)f(1/2)$ est strictement négatif, alors $f$ s'annule en au moins deux points distincts de $[0,1]$.
6. $\boxtimes\;$les produits $f(0)f(1/2)$ et $f(1/2)f(1)$ sont strictement négatifs, alors $f$ s'annule en au moins deux points distincts de $[0,1]$.
7. $\square\;$pour tout $y\in f([0,1])$, l'équation $f(x)=y$ a au plus une solution dans $[0,1]$.

Vrai-Faux 10   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Il existe une application continue et surjective de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^*$.
2. $\boxtimes\;$ Il existe une application continue et bijective de $\mathbb{R}$ vers $]-1,1[$.
3. $\boxtimes\;$ Pour tout $\varepsilon >0$, il existe une application continue et bijective de $\mathbb{R}$ vers $]-\varepsilon ,+\varepsilon [$.
4. $\square\;$ Il existe une application continue et bijective de $[-1,1]$ vers $\mathbb{R}$.
5. $\boxtimes\;$ Il existe une application continue et bijective de $]-1,1[$ vers $\mathbb{R}$.
6. $\square\;$ Il existe une application continue et strictement croissante de $]-1,1[$ vers $[-1,1]$.
7. $\square\;$ Il existe une application continue et strictement croissante de $[-1,1[$ vers $]-1,1]$.
8. $\boxtimes\;$ Il existe une application continue et strictement décroissante de $[-1,1[$ vers $]-1,1]$.