Un tour de passe-passe d'Euler

En ces temps insouciants où démontrer la convergence d'une intégrale avant de la calculer ne venait à l'idée de personne, le virtuose qu'était Euler ne se privait pas d'offrir au monde savant ces perles dont son cerveau fertile était prodigue. Celle-ci par exemple, parue aux commentaires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg en 1761.

$$\int_0^1 x^{m-1}(1-x^n)^k \mathrm{d}x = \int_0^\infty \frac{y^{m-1}}{(1+y^n)^{k+1+\frac{m}{n}}} \mathrm{d}y\;.$$

Comment avait-il trouvé cela ? Facile quand on s'appelle Euler : il suffit(!) de faire le changement de variable

$$x=\frac{y}{(1+y^n)^{\frac{1}{n}}}\;.$$

(Allez-y, vérifiez...) Comment Euler s'y prend-il pour calculer ces intégrales ? Admirez l'artiste. Il commence par poser

$$P=x^\alpha (1-x^n)^\gamma\;,$$

d'où il tire (nous reproduisons ses expressions)

$$\mathrm{d}P = \alpha x^{\alpha-1} \mathrm{d}x (1-x^n)^\gamma - \gamma nx^{\alpha+n-1} \mathrm{d}x (1-x^n)^{\gamma-1}\;.$$

Dans la partie gauche, le facteur $(1-x^n)^\gamma$ est récrit en $(1-x^n)^{\gamma-1}(1-x^n)$ ; les termes se réarrangent ainsi.

$$\mathrm{d}P = \alpha x^{\alpha-1} \mathrm{d}x (1-x^n)^{\gamma-1} - \gamma nx^{\alpha+n-1} \mathrm{d}x (1-x^n)^{\gamma-1}\;.$$

Dernier tour de passe-passe : le facteur $x^{\alpha+n-1}$ devient $x^{\alpha-1}(1-(1-x^n))$ :

$$\mathrm{d}P = (\alpha+\gamma n) x^{\alpha-1} \mathrm{d}x (1-x^n)^{\gamma} - \gamma nx^{\alpha-1} \mathrm{d}x (1-x^n)^{\gamma-1}\;.$$

Or $P$ s'annule en 0 et $1$ : Euler déduit trois identités d'intégrales des trois expressions de $\mathrm{d}P$.

$$\alpha\int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x^n)^{\gamma} \mathrm{d}x = \gamma n \int_0^1 x^{\alpha+n-1}(1-x^n)^{\gamma-1} \mathrm{d}x\;,$$

$$\alpha\int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x^n)^{\gamma-1} \mathrm{d}x = (\alpha+\gamma n) \int_0^1 x^{\alpha+n-1}(1-x^n)^{\gamma-1} \mathrm{d}x\;,$$

$$(\alpha+\gamma n)\int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x^n)^{\gamma} \mathrm{d}x = \gamma n \int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x^n)^{\gamma-1} \mathrm{d}x\;,$$

Une formule récurrente, et hop, le tour est joué ! Avec en prime une foule d'identités reliant des rapports d'intégrales à des produits infinis... dont la convergence ne faisait pas vraiment partie des préoccupations d'Euler.