Dualité

Rappels : espace vectoriel dual

1. On appelle forme linéaire sur un espace vectoriel réel $E$ toute application linéaire de $E$ dans $\mathbb{R}$.
2. L'ensemble des formes linéaires sur un espace vectoriel réel $E$ constitue un espace vectoriel, appelé espace vectoriel dual de $E$ et noté $E^*$.
3. Si $E$ est de dimension finie $n$ et si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, on définit, pour tout $i=1,\dots,n$, une application $e_i^*$ de $E$ dans $\mathbb{R}$ par $e_i^*\left( \sum\limits_{j=1}^n x_j e_j\right)=x_i$. Cette application, appelée $i$-ième application coordonnée dans la base $(e_1,\dots,e_n)$, est une forme linéaire sur $E$ vérifiant
   $$e_i^*(e_j)=\delta_{i,j}= \begin{cases}1 &\text{ si }i=j\\ 0 & \text{ sinon,} \end{cases}$$
   et la famille $(e^*_1,\dots,e^*_n)$ est une base de $E^*$, appelée base duale de la base $(e_1,\dots,e_n)$. En particulier, $E^*$ et $E$ ont même dimension : $\dim E^*=\dim E$.

Proposition 31   Soit $E$ un espace vectoriel euclidien.

1. Pour tout vecteur $v$ de $E$, l'application $l_v: \; x\mapsto \langle v,x\rangle$ de $E$ dans $\mathbb{R}$ est une forme linéaire sur $E$.
2. L'application $v\mapsto l_v$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $E$ sur son dual $E^*$. En particulier, pour toute forme linéaire $l$ sur $E$, il existe un vecteur $v$ de $E$, et un seul, tel que $l(x)=l_v(x)=\langle v,x\rangle$ pour tout vecteur $x$ de $E$.

Démonstration : La première propriété découle immédiatement de la linéarité du produit scalaire.

Si $a$ et $b$ sont deux réels et $v$ et $w$ deux vecteurs de $E$, on a, pour tout $x\in E$ :

$$l_{av+bw}(x)=\la av+bw,x \ra=a\la v,x \ra + b \la w,x \ra=al_v(x)+bl_w(x) \,$$

d'où $l_{av+bw}=al_v+bl_w$ L'application $v\mapsto l_v$ de $E$ dans $E^*$ est donc linéaire.

Comme $E$ et $E^*$ ont même dimension, il suffit, pour démontrer que c'est un isomorphisme, de vérifier qu'elle est injective, ou encore que son noyau est réduit au vecteur nul. Mais si $l_v$ est la forme linéaire nulle, on a $l_v(x)=\la v,x \ra=0$ pour tout $x\in E$; en particulier, pour $x=v$, on a $\la v,v \ra=\Vert v\Vert^2=0$, d'où $v=0$.$\square$

En particulier, pour toute base orthonormale $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$, la base duale $(e_1^*, \dots, e_n^*)$ est donnée par $e_i^*=l_{e_i}$ pour tout $i=1,\dots,n$, puisque $e_i^*(x)=\langle e_i,x\rangle$ pour tout vecteur $x$ de $E$. Plus généralement, toute forme linéaire $l$ sur $E$ est de la forme $l(x)=\sum\limits_{i=1}^n v_i x_i$ pour un $n$-uplet $(v_1,\dots,v_n)$ de réels, où $(x_1,\dots,x_n)$ sont les coordonnées du vecteur $x$ dans la base $(e_1,\dots,e_n)$, de sorte que $l=l_v$, où $v=\sum\limits_{i=1}^n v_i e_i$.

Produit vectoriel

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien orienté de dimension $n$, $(v_1,\dots,v_{n-1})$ une famille de $n-1$ vecteurs de $E$. L'application de $E$ dans $\mathbb{R}$ qui à tout vecteur $x$ associe le produit mixte de la famille $(v_1,\dots,v_{n-1},x)$ est une forme linéaire sur $E$. Il existe donc (proposition 31) un vecteur $w$ de $E$ et un seul tel que $\mathrm{det}(v_1,\dots,v_{n-1},x)=\la w,x \ra$ pour tout vecteur $x$ de $E$. Ce vecteur est appelé produit vectoriel de la famille $(v_1,\dots,v_{n-1})$.

Définition 14   Soit $E$ un espace vectoriel euclidien orienté de dimension $n$. On appelle produit vectoriel d'une famille $(v_1,\dots,v_{n-1})$ de $n-1$ vecteurs de $E$ l'unique vecteur $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_{n-1}$ de $E$ vérifiant

$$\mathrm{det}(v_1,\dots,v_{n-1},x) = \la v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_{n-1},x \ra$$

pour tout vecteur $x$ de $E$.

En particulier, pour $n=3$, le produit vectoriel de deux vecteurs $u$ et $v$ d'un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 est l'unique vecteur $u\wedge v$ vérifiant

$$\mathrm{det}(u,v,x)=\la u \wedge v,x \ra$$

pour tout vecteur $x$ de $E$.

Propriétés

Nous nous intéresserons surtout au cas $n=3$. C'est pourquoi nous donnerons les propriétés du produit vectoriel dans ce cadre.

Proposition 32   Soit $E$ un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.

1. Le produit vectoriel est une application bilinéaire alternée, donc antisymétrique, de $E \times E$ dans $E$ : pour tous vecteurs $u,u_1,u_2,v,v_1,v_2$ et tous réels $a$ et $b$ :
   • $(a u_1+b u_2) \wedge v =a \, u_1\wedge v + b \, u_2 \wedge v$ (linéarité à gauche)
   • $u \wedge (a v_1+b v_2) =a\, u \wedge v_1 + b \, u \wedge v_2$ (linéarité à droite)
   • $u \wedge u =0$
   • $u \wedge v= - v \wedge u$ (antisymétrie)
2. Le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires.
3. Le produit vectoriel de deux vecteurs est orthogonal à chacun de ces vecteurs.
4. Si les vecteurs $u$ et $v$ forment un système libre, $(u,v,u\wedge v)$ est une base directe de $E$.
5. Si $(e_1,e_2,e_3)$ est une base orthonormée directe de $E$, les coordonnées de $u\wedge v$ dans cette base sont $(u_2v_3-u_3v_2, \, u_3v_1-u_1v_3, \, u_1v_2-u_2v_1)$, si $u$ a pour coordonnées $(u_1,u_2,u_3)$ et $v$ $(v_1,v_2,v_3)$.
6. Pour tout couple $(u,v)$ de vecteurs de $E$, on a :
   $$\Vert u\wedge v\Vert^2+\la u,v \ra^2=\Vert u\Vert^2 \Vert v\Vert^2 \, .$$

7. Pour tout couple $(u,v)$ de vecteurs de $E$, on a :
   $$\Vert u \wedge v\Vert=\Vert u\Vert \; \Vert v\Vert \, \sin \theta$$
   où $0 \leq \theta \leq \pi$ est une mesure de l'angle non orienté des vecteurs $u$ et $v$.

Démonstration : La propriété 1 provient de la linéarité du produit scalaire et des propriétés analogues du déterminant.

Si $u$ et $v$ sont colinéaires, $u\wedge v$ est nul par 1. Si le système $(u,v)$ est libre, on peut le compléter en une base $(u,v,w)$ de $E$ et la relation $0 \not =\mathrm{det}(u,v,w)=\la u\wedge v,w \ra$ montre que $u\wedge v$ n'est pas nul.

Les relations $\la u\wedge v,u \ra=\mathrm{det}(u,v,u)=0$ et $\la u\wedge v,v \ra=\mathrm{det}(u,v,v)=0$ montrent que $u\wedge v$ est orthogonal à chacun des deux vecteurs $u$ et $v$.

La propriété 4 résulte de la relation $\mathrm{det}(u,v,u\wedge v)=\Vert u\wedge v\Vert^2>0$ si $(u,v)$ est un système libre.

Les composantes de $u\wedge v$ s'obtiennent en développant le déterminant $\mathrm{det}(u,v,x)$ par rapport à sa dernière colonne.

La relation 6 découle de l'identité algébrique :

$$\begin{multline*} (u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2 +(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)^2\\ =(u_1^2+u_2^2+u_3^2) (v_1^2+v_2^2+v_3^2) \; . \end{multline*}$$

La relation 7 découle de la précédente et de la relation $\la u,v \ra= \Vert u\Vert \, \Vert v\Vert \, \cos\theta$.$\square$

Adjoint d'un endomorphisme

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f$ un endomorphisme de $E$ (i.e. une application linéaire de $E$ dans $E$). Pour tout vecteur $x$ de $E$, l'application $y \mapsto \langle x,f(y)\rangle$ de $E$ dans $\mathbb{R}$ est une forme linéaire sur $E$. Il existe donc un vecteur $f^*(x)$ de $E$ et un seul qui vérifie $\langle x,f(y)\rangle \; =\; \langle f^*(x),y\rangle$ pour tout $y\in E$. On vérifie facilement que l'application $f^*$ de $E$ dans $E$ ainsi définie est linéaire. C'est donc un endomorphisme de $E$, appelé endomorphisme adjoint de $f$.

Définition 15   Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f$ un endomorphisme de $E$. On appelle endomorphisme adjoint de $f$ et on note $f^*$ l'unique endomorphisme de $E$ vérifiant

$$\langle x,f(y)\rangle \; =\; \langle f^*(x),y\rangle$$

pour tout couple $(x,y)$ de vecteurs de $E$.

Proposition 33   Propriétés de l'adjoint :

1. L'application de l'espace vectoriel $\mathcal L (E)$ des endomorphismes de $E$ dans $\mathcal L (E)$ qui à un endomorphisme $f$ associe son adjoint $f^*$ est linéaire et involutive : $(f^*)^*=f$.
2. Si $f$ et $g$ sont deux endomorphismes de $E$, $(f\circ g)^*=g^* \circ f^*$.
3. La matrice de $f^*$ dans toute base orthonormée de $E$ est la transposée de la matrice de $f$ dans cette même base.
4. Le noyau de $f^*$ est l'orthogonal de l'image de $f$.
5. L'image de $f^*$ est l'orthogonal du noyau de $f$.
6. Les endomorphismes $f$ et $f^*$ ont même rang.

Démonstration : La linéarité vient de la relation

$$\la x,(af+bg)(y) \ra =a \la x,f(y) \ra+b \la x,g(y) \ra =\la af^*(x)+bg^*(x),y \ra$$

où $f$ et $g$ sont deux endomorphismes de $E$, $a$ et $b$ deux réels, $x$ et $y$ deux vecteurs quelconques de $E$.

La relation $(f^*)^*=f$ vient de même de

$$\la x,(f^*)^*(y) \ra =\la f^*(x),y \ra =\la x,f(y) \ra \;$$

et la relation $(f\circ g)^*=g^* \circ f^*$ de

$$\la x,(f\circ g)(y) \ra =\la x,f(g(y)) \ra =\la f^*(x),g(y) \ra =\la g^*(f^*(x)),y \ra \; .$$

La matrice $A$ d'un endomorphisme $f$ dans une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ a pour coefficients

$$a_{i,j}=\la e_i,f(e_j) \ra \; .$$

La matrice $B$ de l'endomorphisme $f^*$ dans cette même base a donc pour coefficients

$$b_{i,j}=\la e_i,f^*(e_j) \ra = \la f(e_i),e_j \ra =a_{j,i}$$

d'où $B=\tr{A}$.

Un vecteur $x$ de $E$ appartient au noyau de $f^*$ si et seulement si $f^*(x)=0$, i.e. si et seulement si $\la f^*(x),y \ra=\la x,f(y) \ra =0$ pour tout vecteur $y$ de $E$, i.e. si et seulement si $x$ est orthogonal à l'image de $f$.

En remplaçant $f$ par $f^*$ dans la relation $\mathrm{Ker}(f^*)=\mathrm{Im}(f)^\perp$, on obtient $\mathrm{Im}(f^*)^\perp = \mathrm{Ker}((f^*)^*)=\mathrm{Ker}(f)$, d'où $\mathrm{Ker}(f)^\perp=(\mathrm{Im}(f^*)^\perp)^\perp=\mathrm{Im}(f^*)$.

Le rang d'un endomorphisme est la dimension de son image. Mais :

$$\dim(\mathrm{Im}(f^*))=\dim((\mathrm{Ker}(f))^\perp) =\dim(E)-\dim(\mathrm{Ker}(f)) =\dim(\mathrm{Im}(f)) \; .$$

Les endomorphismes $f$ et $f^*$ ont donc même rang. On retrouve ainsi, dans le cas des matrices réelles carrées, le fait qu'une matrice et sa transposée ont même rang.

$\square$

Endomorphismes symétriques

Proposition 34   Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel euclidien $E$. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i)

$\langle f(x),y\rangle \; =\; \langle x,f(y)\rangle$ pour tout couple $(x,y)$ de vecteurs de $E$ ;

(ii)

la matrice de $f$ dans toute base orthonormale de $E$ est symétrique ;

(iii)

il existe une base orthonormale de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est symétrique ;

(iv)

$f=f^*$.

Un endomorphisme vérifiant ces propriétés est dit symétrique ou auto-adjoint.

Démonstration : L'équivalence de $(i)$ et $(iv)$ vient de la définition de l'adjoint, l'implication $(ii)\Rightarrow (iii)$ est évidente et les implications $(iii)\Rightarrow (iv)$ et $(iv)\Rightarrow (ii)$ viennent de la proposition 33.$\square$

Proposition 35   L'ensemble des endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien $E$ de dimension $n$ est un sous-espace vectoriel de dimension $\dfrac{n(n+1)}{2}$ de l'espace des endomorphismes de $E$.

Démonstration : La stabilité par combinaisons linéaires de l'ensemble des endomorphismes symétriques vient de la linéarité de l'application $f \mapsto f^*$. Soit $\mathcal B$ une base orthonormée de $E$. L'application qui à tout endomorphisme $f$ de $E$ associe sa matrice dans la base $\mathcal B$ est un isomorphisme de $\mathcal L (E)$ sur $M_n(\mathbb{R})$ qui induit un isomorphisme du sous-espace des endomorphismes symétriques de $E$ sur l'espace des matrices carrées symétriques d'ordre $n$. Ce dernier est de dimension $\dfrac{n(n+1)}{2}$, puisqu'une matrice symétrique $A=(a_{i,j})$ est déterminée par les coefficients $a_{i,j}$ pour $1\leq i \leq j \leq n$.$\square$

Remarque : le composé de deux endomorphismes symétriques $f$ et $g$ n'est en général pas symétrique ; plus précisément, il n'est symétrique que si ces endomorphismes commutent, puisque $(f\circ g)^*=g^* \circ f^*=g\circ f$.

La proposition suivante résulte immédiatement de la proposition 33 :

Proposition 36   Le noyau et l'image d'un endomorphisme symétrique sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux.

Exemple : projections et symétries orthogonales

Proposition 37   Une projection (resp. une symétrie) vectorielle est un endomorphisme symétrique si et seulement si c'est une projection (resp. une symétrie) orthogonale.

Démonstration : Soit $p$ une projection sur un sous-espace vectoriel $F$ d'un espace vectoriel euclidien $E$ dans la direction d'un sous-espace $G$, $s$ la symétrie par rapport à $F$ dans la direction $G$. La relation $s=2\, p-id_E$ montre que $p$ est symétrique si et seulement si $s$ l'est. Si $p$ est symétrique, son noyau $G$ et son image $F$ sont supplémentaires orthogonaux d'après la proposition 36 : $p$ est donc une projection orthogonale. Réciproquement, si $p$ est une projection orthogonale, $F$ et $G$ sont supplémentaires orthogonaux et

$$\la p(x),y \ra=\la p(x),p(y) \ra + \la p(x),y-p(y) \ra = \la p(x),p(y) \ra$$

pour tout couple $(x,y)$ de vecteurs de $E$, puisque $p(x)\in F$ et $y-p(y)\in G$ sont orthogonaux. En échangeant $x$ et $y$, on obtient de même $\la p(x),p(y) \ra=\la x,p(y) \ra$, d'où $\la p(x),y \ra=\la x,p(y) \ra$, ce qui montre que $p$ est un endomorphisme symétrique.$\square$

Formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien

Rappels

Une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel réel $E$ est une application $b$ de $E \times E$ dans $\mathbb{R}$ linéaire par rapport à chacun de ses arguments et symétrique :

• $b(x,a_1 y_1+a_2 y_2)=a_1 b(x,y_1)+a_2 b(x,y_2)$
• $b(a_1 x_1+a_2 x_2,y)=a_1 b(x_1,y)+a_2 b(x_2,y)$
• $b(x,y)=b(y,x)$

pour tous vecteurs $x,y,x_1,x_2,y_1,y_2$ de $E$ et tous réels $a,b$.

Une application $q$ de $E$ dans $\mathbb{R}$ est une forme quadratique sur $E$ s'il existe une forme bilinéaire symétrique $b$ sur $E$ telle que $q(x)=b(x,x)$ pour tout vecteur $x$ de $E$. La forme bilinéaire symétrique $b$, appelée forme polaire de $q$, est alors uniquement déterminée, puisque

$$b(x,y)=\dfrac12 [q(x+y)-q(x)-q(y)]=\dfrac14 [q(x+y)-q(x-y)] \; .$$

Pour tout endomorphisme symétrique $f$ de $E$, l'application $b$ : $(x,y)\mapsto \la x,f(y) \ra$ de $E \times E$ dans $\mathbb{R}$ est une forme bilinéaire symétrique. Réciproquement :

Proposition 38   Pour toute forme bilinéaire symétrique $b: E\times E \rightarrow \mathbb{R}$ sur un espace vectoriel euclidien $E$, il existe un endomorphisme symétrique $f$ de $E$ et un seul tel que $b(x,y)=\; \langle x,f(y)\rangle$ pour tout couple $(x,y)$ de vecteurs de $E$.

Démonstration : Pour tout vecteur $x$ de $E$, l'application $y\mapsto b(x,y)$ de $E$ dans $\mathbb{R}$ est une forme linéaire sur $E$. Il en résulte (proposition 31) qu'il existe un vecteur $f(x)$ et un seul tel que $b(x,y)=\la f(x),y \ra$ pour tout vecteur $y$ de $E$. Il résulte de la linéarité en $x$ de $b$ que $f$ est linéaire et de la symétrie de $b$ que $f$ est symétrique.$\square$

Corollaire 4   Pour toute forme quadratique $q$ sur un espace vectoriel euclidien $E$, il existe un endomorphisme symétrique $f$ de $E$ et un seul tel que $q(x)=\langle x,f(x)\rangle$ pour tout vecteur $x$ de $E$.

Réduction des matrices symétriques réelles

Théorème 1   Tout endomorphisme symétrique d'un espace vectoriel euclidien est diagonalisable dans une base orthonormale : pour tout endomorphisme symétrique $f$ d'un espace vectoriel euclidien $E$, il existe une base orthonormale de $E$ constituée de vecteurs propres de $f$.

Corollaire 5   Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $b$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Alors il existe une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ orthogonale pour $b$ : $b(e_i,e_j)=0$ pour tout $i \not = j$.

Démonstration : D'après la proposition 38, il existe un endomorphisme symétrique $f$ de $E$ tel que $b(x,y)=\la x,f(y) \ra$ pour tout couple $(x,y)$ de vecteurs de $E$. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormée de $E$ constituée de vecteurs propres de $f$ et $\lambda_i$ les valeurs propres correspondantes. Alors :

$$b(e_i,e_j)=\la e_i,f(e_j) \ra=\la e_i,\lambda_j e_j \ra=\lambda_j \la e_i,e_j \ra=0$$

pour tout couple $(i,j)$ tel que $i \not = j$.$\square$

Théorème 2   Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans $\mathbb{R}$. Plus précisément, pour toute matrice symétrique réelle $A$, il existe une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale réelle $D$ telles que $A=\, ^t\!P\, D\, P$.

Lemme 2   Tout endomorphisme symétrique d'un espace vectoriel euclidien admet au moins une valeur propre réelle.

Démonstration : Soit $f$ un endomorphisme symétrique d'un espace vectoriel euclidien $E$, $q$ la forme quadratique associée, $S$ la sphère unité de $E$. La fonction $q$ est continue sur le compact $S$, elle est donc bornée sur $S$ et atteint son maximum $\lambda$ en un point $x$ de $S$. On a $q(z)\leq \lambda=q(x)=\la x,f(x) \ra$ pour tout $z\in S$ et donc $q(z)\leq \lambda \Vert z\Vert^2$ par homogénéité pour tout $z\in E$, d'où, pour $z=x+ty$ :

$$\la x+ty, f(x+ty) \ra =\la x,f(x) \ra +2\, t\, \la f(x),y \ra +t^2 \la y,f(y) \ra$$

$$\leq \lambda \Vert x+ty\Vert^2$$

$$=\lambda +2\, \lambda t \, \la x,y \ra + \lambda t^2 \Vert y\Vert^2$$

soit encore

$$t^2\left( \lambda \Vert y\Vert^2-\la y,f(y) \ra \right) +2t\left( \lambda \la x,y \ra - \la f(x),y \ra \right) \geq 0$$

pour tout $y\in E$ et tout réel $t$. Ce trinôme du second degré en $t$ atteint son minimum en $t=0$, sa dérivée est donc nulle en ce point, ce qui s'écrit $\la f(x),y \ra=\lambda \la x,y \ra$ pour tout $y\in E$, ou encore $\la f(x)-\lambda x,y\ra=0$ pour tout $y\in E$, et implique $f(x)=\lambda x$.$\square$

Remarque : on vérifie immédiatement que la valeur propre $\lambda$ introduite dans cette démonstration est la plus grande valeur propre de $f$.

Lemme 3   Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $f$ un endomorphisme symétrique de $E$, $E_\lambda$ le sous-espace propre de $f$ associé à une valeur propre $\lambda$. Alors l'orthogonal $E_\lambda^\perp$ de $E_\lambda$ est stable par $f$.

Démonstration : Soit $y\in E_\lambda^\perp$. Pour tout $x\in E_\lambda$, on a:

$$\la f(y),x \ra=\la y,f(x) \ra=\la y,\lambda x \ra=\lambda \la y,x \ra=0 \; ,$$

d'où $f(y)\in E_\lambda^\perp$.$\square$

Démonstration du théorème 1 :  On démontre le théorème par récurrence sur la dimension $n$ de $E$. Pour $n=1$, tout vecteur unitaire de $E$ est vecteur propre de tout endomorphisme et constitue une base orthonormée de $E$. Supposons le théorème vrai pour tout espace vectoriel euclidien de dimension $\leq n-1$. Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$ et $f$ un endomorphisme symétrique de $E$. D'après le lemme 2, $f$ admet une valeur propre réelle $\lambda$. Soit $E_\lambda$ l'espace propre associé. D'après le lemme 3, l'orthogonal $E_\lambda^\perp$ de $E_\lambda$ est un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $<n$ stable par $f$. La restriction de $f$ à $E_\lambda^\perp$ est un endomorphisme symétrique de $E_\lambda^\perp$. Par l'hypothèse de récurrence, il existe une base orthonormée de $E_\lambda^\perp$ constituée de vecteurs propres de $f$. En la complétant par une base orthonormée de $E_\lambda$, on obtient une base orthonormée de $E$ constituée de vecteurs propres de $f$. $\square$

Corollaire 6   Une matrice réelle symétrique est positive (resp. définie positive) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives (resp. strictement positives).

Démonstration : Soit $A$ une matrice réelle symétrique d'ordre $n$. D'après le théorème 2, il existe une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale réelle $D$, de coefficients diagonaux les valeurs propres $\lambda_i$ de $A$, telles que $A=\, ^t\!P\, D\, P$. On a alors, pour tout vecteur colonne $X$ de $\mathbb{R}^n$ :

$$\tr{X}A X=\tr{X}\tr{P}DPX=\tr{Y}DY=\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$$

en posant $Y=PX=\tr{(y_1,\dots,y_n)}$. Le corollaire en résulte immédiatement, en remarquant que $X$ est nulle si et seulement si $Y$ l'est.$\square$