Cartographie

Si on assimile la surface de la terre à une sphère (elle est en fait plus proche d'un ellipsoïde légèrement aplati aux pôles), le problème de la cartographie est de représenter tout ou partie du globe terrestre sur une surface plane. Or on peut montrer qu'il n'est pas possible d'appliquer un domaine d'une sphère sur un plan sans déformation : on ne peut conserver à la fois les distances, les aires, les angles. Il importe donc de faire un choix.

Une projection est dite conforme si elle conserve les angles (en particulier, les parallèles et les méridiens se coupent à angle droit), équivalente si elle conserve les aires. Une projection quelconque ne conserve ni les aires, ni les angles, mais peut constituer un bon compromis entre ces deux exigences.

On peut par ailleurs projeter directement la sphère sur un plan (en général un plan tangent) ou sur une surface développable, c'est-à-dire une surface que l'on peut développer sans déformation sur un plan (un cylindre ou un cône, en général tangent ou presque à la sphère) et développer ensuite la figure obtenue. Le choix du centre et du type de projection est également important. C'est ainsi que plusieurs milliers de types de projection ont été développés par les géographes au cours du temps.

Si on veut représenter une petite surface du globe, le résultat diffère en général peu, car la projection entraîne peu de distorsions. S'il s'agit par contre de représenter une grande partie (voire la totalité : planisphère ou mappemonde) du globe terrestre, les distorsions deviennent beaucoup plus importantes et des systèmes de projection distincts mènent à des résultats radicalement différents.

Un des plus anciens systèmes de projection, encore utilisé de nos jours pour représenter une grande partie du globe, est le système de Mercator, établi en 1569 par le géographe flamand Gerardus Mercator (1512-1594).

L'idée était d'établir une représentation conforme de la terre, de sorte que les loxodromies (courbes faisant un angle constant avec les méridiens) apparaissent sous forme de droites. Ces trajets entre deux points, même s'ils ne sont pas les plus courts (les trajets les plus courts sont, comme on l'a vu, les arcs de grands cercles, appelés orthodromies en navigation), sont faciles à suivre par les navigateurs, puisqu'ils se font en maintenant le cap constant. Par contre, la carte de Mercator ne respecte ni les distances, ni les aires, si bien que les territoires ne sont pas représentés proportionnellement à leur importance réelle.

Pour établir une carte en projection de Mercator, on commence par projeter le surface de la terre sur un cylindre tangent le long de l'équateur, et on développe ensuite ce cylindre en le découpant le long d'une génératrice. Les méridiens sont ainsi espacés régulièrement, tandis que l'espace entre les parallèles croît à mesure que l'on s'approche des pôles (on ne représente en général pas toute la surface de la terre, mais on se limite aux zones habitées).

Les formules exprimant les coordonnées $(x,y)$ du point projeté en fonction de la latitude $\theta$ et de la longitude $\varphi$ d'un point de la terre sont alors

$$x=\varphi, \quad y=\ln \left( \tan \left( \dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{4} \right) \right)\; .$$

Ces formules s'obtiennent en exprimant la conservation des angles (la dérivée de $y$ par rapport à $\theta$ est $\dfrac{1}{\cos\theta}$).

Naturellement, Mercator ne connaissait pas les logarithmes (la première table de logarithmes a été publiée en 1614 par John Napier) et encore moins le calcul différentiel (apparu seulement à la fin du XVII^ième siècle avec les travaux de Newton et Leibniz). Son approche était donc empirique, mais remarquablement précise.