Vrai ou faux

Vrai-Faux 1 Soit un espace vectoriel euclidien. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Deux vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si $\Vert u+v\Vert^2=\Vert u\Vert^2+\Vert v\Vert^2$ .
$\boxtimes\;$ Deux vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si $\Vert u-v\Vert^2=\Vert u\Vert^2+\Vert v\Vert^2$ .
$\square\;$ Deux vecteurs et ont même norme si et seulement si les vecteurs et ont même norme.
$\boxtimes\;$ Deux vecteurs et ont même norme si et seulement si les vecteurs et sont orthogonaux.
$\boxtimes\;$ Deux vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si les vecteurs et ont même norme.
$\boxtimes\;$ Soient et deux parties de telles que $A\subset B$ . Alors $B^\perp \subset A^\perp$ .
$\square\;$ Soient et deux parties non vides de telles que $B^\perp \subset A^\perp$ . Alors $A\subset B$ .
$\boxtimes\;$ Soient et deux parties non vides de telles que $B^\perp \subset A^\perp$ . Alors $\Vect(A)\subset \Vect(B)$ .
$\square\;$ Soient et deux parties non vides de telles que $A^\perp = B^\perp$ . Alors .
$\boxtimes\;$ Soient et deux sous-espaces vectoriels de tels que $\dim (F)\leq \dim(G)$ . Alors $\dim(G^\perp)\leq \dim(F^\perp)$ .
$\boxtimes\;$ Soient et deux sous-espaces vectoriels de . Alors $(F+G)^\perp = F^\perp \cap G^\perp$ .
$\boxtimes\;$ Soient et deux sous-espaces vectoriels de . Alors $(F \cup G)^\perp = F^\perp \cap G^\perp$ .
$\square\;$ Soient et deux sous-espaces vectoriels de . Alors $(F \cap G)^\perp = F^\perp \cup G^\perp$ .
$\square\;$ Soient et deux sous-espaces vectoriels de . Alors $(F^\perp \cap G^\perp)^\perp = F \cup G$ .
$\boxtimes\;$ Soient et deux sous-espaces vectoriels de . Alors $(F^\perp \cap G^\perp)^\perp = F+G$ .
$\boxtimes\;$ Soient et deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de . Alors $F^\perp$ et $G^\perp$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
$\square\;$ Soient et deux sous-espaces vectoriels de tels que . Alors $F^\perp \cap G^\perp=\emptyset$ .

Vrai-Faux 2 Soit un espace vectoriel euclidien de dimension $n\geq 2$ , $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormée de . Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\square\;$ Si une famille $(v_1,\dots,v_m)$ de vecteurs de est orthogonale ( $\la v_i,v_j \ra=0$ pour $i \not = j$ ), alors $m\leq n$ .
$\boxtimes\;$ Si une famille $(v_1,\dots,v_m)$ de vecteurs est orthonormée ( $\la v_i,v_j \ra=0$ si $i \not = j$ , 1 si ), alors $m\leq n$ .
$\boxtimes\;$ Si un vecteur de est orthogonal à chacun des vecteurs $e_1, \dots,e_n$ , alors est nul.
$\square\;$ Une base $(v_1,\dots,v_n)$ de est orthonormée si et seulement si le déterminant de la matrice de passage de la base $(e_1,\dots,e_n)$ à la base $(v_1,\dots,v_n)$ est égal à $\pm 1$ .
$\boxtimes\;$ Les coordonnées $x_1,\dots,x_n$ d'un vecteur $x=\sum\limits_{i=1}^n x_i e_i$ de dans la base $(e_1,\dots,e_n)$ sont données par $x_i=\la e_i,x \ra$ .
$\boxtimes\;$ Toute famille orthonormée de vecteurs de est une base de .
$\boxtimes\;$ Si une famille $v_1,\dots,v_{n+1}$ de vecteurs de est orthogonale, alors au moins un de ces vecteurs est nul.
$\boxtimes\;$ Une famille $v_1,\dots,v_{n}$ de vecteurs de est une base de si et seulement si la matrice de coefficients $a_{i,j}=\la e_i,v_j \ra$ ( $1 \leq i,j \leq n$ ) est inversible.
$\boxtimes\;$ Une famille $v_1,\dots,v_{n}$ de vecteurs de est une base orthonormée de si et seulement si la matrice de coefficients $a_{i,j}=\la e_i,v_j \ra$ ( $1 \leq i,j \leq n$ ) est orthogonale.

Vrai-Faux 3 Soit un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, , , des vecteurs de . Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\square\;$ Si $\la u,v \ra=0$ , alors ou .
$\boxtimes\;$ $\mathrm{det}(u,v,u\wedge v)=\Vert u\wedge v\Vert^2$ .
$\boxtimes\;$ Si $\mathrm{det}(u,v,u\wedge v)=0$ , alors et sont colinéaires.
$\boxtimes\;$ Si $\la u,v \ra=0$ et $u\wedge v=0$ , alors ou .
$\boxtimes\;$ $(u \wedge v) \wedge w = w \wedge (v \wedge u)$ .
$\square\;$ $(u \wedge v) \wedge w = u \wedge (v \wedge w)$ .
$\boxtimes\;$ Si $\la u\wedge v,w \ra =0$ , alors le système est lié.
$\square\;$ Si $\Vert u\Vert=\Vert v\Vert=1$ , alors $(u,v,u\wedge v)$ est une base orthonormée directe de .
$\boxtimes\;$ Si le système est libre, alors $(u,v,u\wedge v)$ est une base directe de .

Vrai-Faux 4 Soit un espace vectoriel euclidien . Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\square\;$ Toute application de dans qui conserve la norme ( $\Vert\f(\v)\Vert=\Vert\v\Vert$ pour tout $v\in E$ ) est linéaire.
$\boxtimes\;$ Toute transformation orthogonale de conserve le produit scalaire : $\la f(u), f(v) \ra=\la u,v \ra$ pour tout couple de vecteurs de .
$\square\;$ Toute symétrie vectorielle par rapport à un sous-espace vectoriel de est un endomorphisme symétrique.
$\boxtimes\;$ Une projection vectorielle sur un sous-espace vectoriel de est un endomorphisme symétrique si et seulement si elle vérifie $\Vert p(u)\Vert \leq \Vert u \Vert$ pour tout vecteur de .
$\square\;$ Toute transformation orthogonale de est un endomorphisme symétrique.
$\square\;$ Tout endomorphisme symétrique de est bijectif.
$\boxtimes\;$ Toute application de dans qui conserve le produit scalaire ( $\la f(u), f(v) \ra=\la u,v \ra$ pour tout couple de vecteurs de ) est linéaire.
$\square\;$ Toute application de dans qui conserve l'orthogonalité ( $\la f(u),f(v) \ra=0$ pour tout couple de vecteurs de vérifiant $\la u,v \ra=0$ ) est linéaire.

Vrai-Faux 5 On se place dans un plan affine euclidien. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Deux rotations commutent si et seulement si elles ont même centre.
$\square\;$ Le composé de deux rotations est toujours une rotation.
$\boxtimes\;$ Le composé d'une rotation et d'une translation est toujours une rotation.
$\boxtimes\;$ Le composé de deux réflexions d'axes parallèles est une translation.
$\boxtimes\;$ Toute translation peut s'écrire comme composé de deux réflexions.
$\square\;$ Le composé de deux rotations d'angles opposés et de centres respectifs et est une translation de vecteur colinéaire à $\vv{O_1O_2}$ .
$\square\;$ Deux réflexions d'axes sécants commutent.
$\boxtimes\;$ Deux réflexions commutent si et seulement si leurs axes sont confondus ou perpendiculaires.

Vrai-Faux 6 Soit et deux cercles, de centres et et de rayons et . Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\square\;$ et sont tangents si et seulement si .
$\boxtimes\;$ et sont orthogonaux si et seulement si .
$\square\;$ et sont sécants si et seulement si .
$\square\;$ Il existe toujours une homothétie et une seule transformant en .
$\square\;$ Si est extérieur à , alors il existe exactement deux tangentes communes à et .
$\boxtimes\;$ Si et sont sécants, alors il existe exactement deux tangentes communes à et .

Vrai-Faux 7 On se place dans un espace affine euclidien de dimension 3. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\square\;$ Tout déplacement est une translation ou une rotation.
$\square\;$ Tout déplacement peut s'écrire comme composé de deux réflexions.
$\boxtimes\;$ Tout déplacement peut s'écrire comme composé de deux demi-tours.
$\boxtimes\;$ Une translation et une rotation commutent si et seulement si le vecteur de la translation appartient à la direction de l'axe de la rotation.
$\boxtimes\;$ Toute rotation peut s'écrire comme composé de deux réflexions.
$\square\;$ Une symétrie centrale est une rotation d'angle plat.
$\square\;$ Une symétrie centrale est un déplacement.
$\square\;$ Le composé de deux rotations d'angles $\theta_1$ et $\theta_2$ est une rotation d'angle $\theta_1+\theta_2$ .
$\boxtimes\;$ Deux rotations de même axe commutent.

Vrai-Faux 8 On se place dans le plan complexe. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\square\;$ Deux vecteurs d'affixes et sont orthogonaux si et seulement si .
$\square\;$ Deux vecteurs $\v_1$ et $\v_2$ d'affixes et non nulles vérifient $\Vert\v_1+\v_2\Vert=\Vert\v_1\Vert+\Vert\v_2\Vert$ si et seulement si le quotient $\dfrac{z_1}{z_2}$ est réel.
$\boxtimes\;$ Deux points d'affixes et non nulles sont alignés avec l'origine si et seulement si $z_1\bar z_2$ est réel.
$\boxtimes\;$ L'application qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe est une rotation.
$\boxtimes\;$ L'application qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe est une symétrie centrale.
$\square\;$ L'application qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe $2\bar z$ est une réflexion.
$\boxtimes\;$ L'application qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe $i \bar z$ est une réflexion.
$\square\;$ L'application qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe $z - 2 \bar z$ est une similitude.