Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours :  

  1. Soient $ a$ et $ b$ deux réels. Donner, sans démonstration, l'expression de $ \sin(a+b)$ et $ \cos(a+b)$ en fonction de $ \sin(a)$, $ \sin(b)$, $ \cos(a)$ et $ \cos(b)$.
  2. Donner, sans démonstration, les limites suivantes.

    $\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{\sin(h)}{h}$   et$\displaystyle \quad
\lim_{h\to 0} \frac{\cos(h)-1}{h}\;.
$

  3. Utiliser les résultats des deux questions précédentes pour démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables, avec pour tout $ a\in\mathbb{R}$,

    $\displaystyle \sin'(a)=\cos(a)$   et$\displaystyle \quad\cos'(a)=-\sin(a)\;.
$

  4. Donner la définition des fonctions arc sinus et arc cosinus (sans oublier leur domaine de définition).
  5. Soient $ \alpha$ et $ \beta$ deux réels dans l'intervalle $ [-1,1]$. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $ \arcsin(\alpha)+\arcsin(\beta)$ pour que :

    $\displaystyle \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2}+\beta\sqrt{1-\alpha^2})=
\arcsin(\alpha)+\arcsin(\beta)\;.
$


Exercice 1 : Le but de l'exercice est de minimiser la quantité $ x^y+y^x$, où $ x$ et $ y$ sont deux réels strictement positifs.
  1. Montrer que la fonction $ f : x\mapsto f(x)=x^x$ est dérivable sur $ \mathbb{R}^{+*}$ et calculer sa dérivée.
  2. Etudier les variations de la fonction $ f$ sur $ \mathbb{R}^{+*}$. Montrer qu'elle admet un minimum unique, au point d'abscisse $ 1/\mathrm{e}$ et d'ordonnée $ m=\mathrm{e}^{-1/\mathrm{e}}$.
  3. Soient $ x$ et $ y$ deux réels tels que $ 0<y\leqslant x<1$. Montrer que : Montrer que :

    $\displaystyle x^y+y^x\geqslant m^{\frac{y}{x}}+m\frac{y}{x}\;.
$

  4. Montrer que la fonction $ \varphi : t\mapsto \varphi(t)=m^t+mt$ est indéfiniment dérivable sur $ \mathbb{R}$ et calculer sa dérivée, ainsi que sa dérivée seconde.
  5. Montrer que pour tout $ t\in ]0,1]$, $ m^t+mt>1$.
  6. En déduire que pour tous $ x,y\in\mathbb{R}^{+*}$,

    $\displaystyle x^y+y^x > 1\;.
$

  7. Montrer que $ 1$ est le plus grand des minorants (borne inférieure) de l'ensemble :

    $\displaystyle \{  x^y+y^x ;\;x,y\in\mathbb{R}^{+*} \}\;.
$


Exercice 2 : On considère la fonction $ f$ qui à $ x\in\mathbb{R}$ associe :

$\displaystyle f(x)=\arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\;.
$

  1. Vérifier que $ f$ est définie et continue sur $ \mathbb{R}$.
  2. Montrer que $ f$ est dérivable sur $ \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ et calculer sa dérivée.
  3. Représenter le graphe de $ f$.
  4. Montrer que :

    $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
-2\arctan(x)-\pi&\mbox{si}&x\in ]...
... [-1,1]\\
-2\arctan(x)+\pi&\mbox{si}&x\in [1,+\infty[\;.
\end{array}\right.
$


Exercice 3 :  
  1. Montrer que pour tout $ x\in\mathbb{R}$ :

    $\displaystyle \sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)\;.
$

    En déduire que pour tout $ x\in\mathbb{R}^*$ :

    $\displaystyle \cosh(x)=\frac{\sinh(2x)}{2\sinh(x)}\;.
$

  2. Montrer que pour tout $ x\in\mathbb{R}^*$ et pour tout entier $ n$ :

    $\displaystyle \prod_{k=0}^n\cosh(2^kx)=\frac{\sinh(2^{n+1}x)}{2^{n+1}\sinh(x)}\;.
$

  3. Montrer que pour tout $ x\in\mathbb{R}$ :

    $\displaystyle \tanh(2x)=\frac{2\tanh(x)}{1+\tanh^2(x)}\;.
$

    En déduire que pour tout $ x\in\mathbb{R}^*$ :

    $\displaystyle \tanh(x)=\frac{2}{\tanh(2x)}-\frac{1}{\tanh(x)}\;.
$

  4. Montrer que pour tout $ x\in\mathbb{R}^*$ et pour tout entier $ n$ :

    $\displaystyle \sum_{k=0}^n 2^k\tanh(2^k x) = \frac{2^{n+1}}{\tanh(2^{n+1}x)}
-\frac{1}{\tanh(x)}\;.
$



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