Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours :  

1. Soient $a$ et $b$ deux réels. Donner, sans démonstration, l'expression de $\sin(a+b)$ et $\cos(a+b)$ en fonction de $\sin(a)$, $\sin(b)$, $\cos(a)$ et $\cos(b)$.
2. Donner, sans démonstration, les limites suivantes.
   $$\lim_{h\to 0} \frac{\sin(h)}{h}$$   et$$\quad \lim_{h\to 0} \frac{\cos(h)-1}{h}\;.$$

3. Utiliser les résultats des deux questions précédentes pour démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables, avec pour tout $a\in\mathbb{R}$,
   $$\sin'(a)=\cos(a)$$   et$$\quad\cos'(a)=-\sin(a)\;.$$

4. Donner la définition des fonctions arc sinus et arc cosinus (sans oublier leur domaine de définition).
5. Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels dans l'intervalle $[-1,1]$. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $\arcsin(\alpha)+\arcsin(\beta)$ pour que :
   $$\arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2}+\beta\sqrt{1-\alpha^2})= \arcsin(\alpha)+\arcsin(\beta)\;.$$

Exercice 1 : Le but de l'exercice est de minimiser la quantité $x^y+y^x$, où $x$ et $y$ sont deux réels strictement positifs.

1. Montrer que la fonction $f : x\mapsto f(x)=x^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+*}$ et calculer sa dérivée.
2. Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^{+*}$. Montrer qu'elle admet un minimum unique, au point d'abscisse $1/\mathrm{e}$ et d'ordonnée $m=\mathrm{e}^{-1/\mathrm{e}}$.
3. Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $0<y\leqslant x<1$. Montrer que : Montrer que :
   $$x^y+y^x\geqslant m^{\frac{y}{x}}+m\frac{y}{x}\;.$$

4. Montrer que la fonction $\varphi : t\mapsto \varphi(t)=m^t+mt$ est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer sa dérivée, ainsi que sa dérivée seconde.
5. Montrer que pour tout $t\in ]0,1]$, $m^t+mt>1$.
6. En déduire que pour tous $x,y\in\mathbb{R}^{+*}$,
   $$x^y+y^x > 1\;.$$

7. Montrer que $1$ est le plus grand des minorants (borne inférieure) de l'ensemble :
   $$\{ x^y+y^x ;\;x,y\in\mathbb{R}^{+*} \}\;.$$

Exercice 2 : On considère la fonction $f$ qui à $x\in\mathbb{R}$ associe :

$$f(x)=\arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\;.$$

1. Vérifier que $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ et calculer sa dérivée.
3. Représenter le graphe de $f$.
4. Montrer que :
   $$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} -2\arctan(x)-\pi&\mbox{si}&x\in ]... ... [-1,1]\\ -2\arctan(x)+\pi&\mbox{si}&x\in [1,+\infty[\;. \end{array}\right.$$

Exercice 3 :  

1. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
   $$\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)\;.$$
   En déduire que pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ :
   $$\cosh(x)=\frac{\sinh(2x)}{2\sinh(x)}\;.$$

2. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ et pour tout entier $n$ :
   $$\prod_{k=0}^n\cosh(2^kx)=\frac{\sinh(2^{n+1}x)}{2^{n+1}\sinh(x)}\;.$$

3. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
   $$\tanh(2x)=\frac{2\tanh(x)}{1+\tanh^2(x)}\;.$$
   En déduire que pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ :
   $$\tanh(x)=\frac{2}{\tanh(2x)}-\frac{1}{\tanh(x)}\;.$$

4. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ et pour tout entier $n$ :
   $$\sum_{k=0}^n 2^k\tanh(2^k x) = \frac{2^{n+1}}{\tanh(2^{n+1}x)} -\frac{1}{\tanh(x)}\;.$$